加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型及實(shí)證研究

金 秀，劉家和，苑 瑩

（東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，沈陽 110819）

在金融市場中，投資組合作為一種有效的風(fēng)險(xiǎn)分散工具受到投資者關(guān)注，其理論的核心是在不確定環(huán)境下對資產(chǎn)進(jìn)行有效配置。1952年，Markowitz提出均值-方差投資組合模型，假設(shè)證券收益率為隨機(jī)變量，能夠通過證券歷史信息獲得證券收益率隨機(jī)分布參數(shù)。許多學(xué)者在均值-方差模型的基礎(chǔ)上，對投資組合理論進(jìn)行延伸[1-5]。然而，證券市場是一個(gè)復(fù)雜的動態(tài)系統(tǒng)，難以通過證券歷史信息獲得證券收益率隨機(jī)分布的準(zhǔn)確參數(shù)，投資者只能根據(jù)專家的意見和分析，對證券收益率的分布參數(shù)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)主觀估計(jì)，得到分布參數(shù)的區(qū)間數(shù)。Zadeh[6-7]提出模糊集和可能性理論，在此基礎(chǔ)上，一些學(xué)者提出證券收益率為模糊變量的模糊投資組合模型[8-12]。

在實(shí)際投資組合選擇問題中，投資者往往同時(shí)面臨證券市場隨機(jī)和模糊的雙重不確定性因素。Liu[13]提出隨機(jī)模糊變量，為投資者所面臨的隨機(jī)和模糊雙重不確定性提供了有效的研究方法。Liu[14]提出隨機(jī)模糊規(guī)劃理論，并利用隨機(jī)模糊模擬技術(shù)和混合智能算法對模型進(jìn)行了求解。Huang[15]假設(shè)證券收益率為隨機(jī)模糊變量，利用本原機(jī)會測量投資組合虧損值大于閾值的可能性，構(gòu)建了以本原機(jī)會為約束條件的隨機(jī)模糊投資組合模型。Hasuike等[16]將隨機(jī)模糊投資組合問題轉(zhuǎn)換為可利用凸規(guī)劃技術(shù)求解的問題，得到隨機(jī)模糊規(guī)劃問題的數(shù)值解，從而避免了隨機(jī)模糊模擬技術(shù)要求隨機(jī)模糊變量相互獨(dú)立的限制。

文獻(xiàn)[14-16]中主要集中于隨機(jī)模糊投資組合期末財(cái)富最大化研究。Kahneman等[17]提出的前景理論認(rèn)為，投資者更加看重財(cái)富的變化量而不是最終量，在盈利狀態(tài)下投資者是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，在虧損狀態(tài)下投資者是風(fēng)險(xiǎn)偏好的。在不確定環(huán)境下對投資目標(biāo)進(jìn)行決策時(shí)，投資者難以精確確定投資目標(biāo)的期望水平。因此，利用前景理論表達(dá)投資者真實(shí)的決策偏好，在投資組合財(cái)富變化量的基礎(chǔ)上，考慮期望收益和目標(biāo)概率隸屬度的最大化，更符合投資者的心理特征。

本文考慮投資者面臨證券市場隨機(jī)和模糊雙重不確定性因素，以期望收益和目標(biāo)概率的隸屬度作為目標(biāo)函數(shù)，利用加權(quán)極大-極小算子考慮不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度投資者對投資組合目標(biāo)權(quán)重的差異要求，構(gòu)建加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型。采用實(shí)證方法研究在隨機(jī)和模糊雙重不確定環(huán)境下，期望收益和目標(biāo)概率的權(quán)重變化對投資組合收益和風(fēng)險(xiǎn)的影響，以及比較投資組合模型的投資收益。

1 加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型

1.1 隨機(jī)模糊變量

定義1[13]如果ξ是從可能性空間（Θ，P（Θ），pos）到隨機(jī)變量集合R的函數(shù)，則稱ξ是一個(gè)隨機(jī)模糊變量。若ξ1，ξ2，…，ξn是隨機(jī)模糊變量，則ξ=（ξ1，ξ2，…，ξn）是n維隨機(jī)模糊變量。

定義2[13]設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn是隨機(jī)模糊變量，f：Rn→R是可測函數(shù)，則ξ=f（ξ1，ξ2，…，ξn）為定義在可能性空間（Θ，P（Θ），pos）上的隨機(jī)模糊變量，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

定理1[14]設(shè)ξj是隨機(jī)模糊變量，μj是ξj的隸屬度函數(shù)，j=1，2，…，n。f：Rn→R是可測函數(shù)，則ξ=f（ξ1，ξ2，…，ξn）是隨機(jī)模糊變量，其隸屬度函數(shù)為

Hasuike等[16]假設(shè)證券收益為隨機(jī)模糊變量，并且服從均值為L-R模糊變量的正態(tài)隨機(jī)分布，即其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中：L（x）和R（x）是非遞增、上半連續(xù)函數(shù)，且L（0）=R（0）=1，L（1）=R（1）=0；參數(shù)αj和βj分別為第j種證券均值模糊數(shù)左側(cè)和右側(cè)的參數(shù)，且αj和βj均為正數(shù)；n為資產(chǎn)的種類。于是，隨機(jī)模糊變量的隸屬度函數(shù)為

其中：Γ為正態(tài)隨機(jī)分布的全集表示隨機(jī)模糊收益率的程度。

1.2 投資組合隨機(jī)模糊目標(biāo)隸屬度函數(shù)

（1）投資組合隨機(jī)模糊期望收益隸屬度函數(shù)。令表示證券j的隨機(jī)模糊收益率，則為投資組合的期望收益。根據(jù)定義2可知，為隨機(jī)模糊變量，利用定理1可得投資組合期望收益的隸屬度函數(shù)：∈Y；σij為資產(chǎn)i和資產(chǎn)j的協(xié)方差。

（2）投資組合隨機(jī)模糊目標(biāo)概率隸屬度函數(shù)。Kahneman等[17]指出，投資者在面對收益時(shí)是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的。大多數(shù)投資者的投資目標(biāo)不是收益的最大化，而是在一定收益水平f下，使目標(biāo)概率最大。證券收益率是隨機(jī)模糊變量，因此，是隨機(jī)模糊變量。將式（1）代入中，可得投資組合目標(biāo)概率的隸屬度函數(shù)：

1.3 投資者模糊目標(biāo)隸屬度函數(shù)

（1）投資者模糊期望收益隸屬度函數(shù)。前景理論指出，投資者更加看重財(cái)富的變化量而不是最終量，即投資組合期末財(cái)富與參考點(diǎn)之間的距離。在面對收益時(shí)投資者更偏向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，在面對損失時(shí)投資者更偏向于風(fēng)險(xiǎn)偏好，并且財(cái)富的邊際效用呈現(xiàn)遞減趨勢。Kahneman等[17]的前景理論價(jià)值函數(shù)為

其中：v（x）為價(jià)值函數(shù)；x為相對于參考點(diǎn)的收益或損失；α和β分別為面對盈利時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度和面對損失時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)喜好程度；λ為損失厭惡系數(shù)。

投資者在進(jìn)行決策時(shí)受主觀因素和社會因素的影響，難以精確確定投資組合目標(biāo)期望值，只能確定目標(biāo)值的模糊范圍。設(shè)f0表示投資者期望收益的參考點(diǎn)，以文獻(xiàn)[17]中的研究為基礎(chǔ)，構(gòu)建以財(cái)富變化量為基礎(chǔ)的投資者模糊期望收益隸屬度函數(shù)：

式中：f1為投資者期望收益的上限；α為投資者在面對盈利時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。Tversky等[18]通過行為實(shí)驗(yàn)得到α=0.88，因此，選擇α=0.88。

（2）投資者模糊目標(biāo)概率隸屬度函數(shù)。設(shè)p0為投資者目標(biāo)概率的下限，即當(dāng)目標(biāo)概率低于p0時(shí)，投資組合目標(biāo)概率滿足投資者期望值的程度為0。設(shè)p1為投資者目標(biāo)概率的上限，即當(dāng)目標(biāo)概率高于p1時(shí)，投資組合目標(biāo)概率滿足投資者期望值的程度為1。利用線性表達(dá)式表示目標(biāo)概率在[p0，p1]范圍內(nèi)，投資組合目標(biāo)概率滿足投資者期望值的程度，投資者模糊目標(biāo)概率隸屬度函數(shù)為

1.4 模型建立

式（3）中，投資者的期望收益f為區(qū)間模糊數(shù)，需要在式（5）的基礎(chǔ)上，考慮期望收益滿足投資者的程度，才能使投資組合模型變成一個(gè)界線清晰的問題。投資者在進(jìn)行多目標(biāo)投資決策時(shí)，不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度投資者對目標(biāo)函數(shù)賦予不同的權(quán)重。為了能夠符合不同投資者的心理特征需求，利用保守策略以加權(quán)后期望收益和目標(biāo)概率中隸屬度最小值表示某個(gè)投資組合滿足投資者心理期望值的程度，即

式中，λ1和λ2分別為投資者對目標(biāo)概率和期望收益的目標(biāo)權(quán)重。

投資者的目的是找到一個(gè)投資組合使得能夠最大化滿足其心理期望值。根據(jù)式（6），在不允許賣空的條件下，加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型為：

2 模型求解

2.1 模型轉(zhuǎn)換

引理1當(dāng)（p）≥λ1h時(shí)，

其中：

證明 將式（2）代入μP～（p）≥λ1h，可得：

其中，Φ-1（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的反函數(shù)。

根據(jù)引理1，可得

根據(jù)式（8）、（9），可得：

根據(jù)定理2，可將式（7）轉(zhuǎn)換為

2.2 模型最優(yōu)解推導(dǎo)

由于式（10）既非凸規(guī)劃問題，亦非線性規(guī)劃問題。目標(biāo)變量h只存在于第1個(gè)約束函數(shù)當(dāng)中，對式（10）引入?yún)?shù)q，構(gòu)建式（10）的子問題：

當(dāng)q值固定后，式（11）變?yōu)橥挂?guī)劃問題。令x（q）和Z（q）分別為式（11）中權(quán)重的最優(yōu)解和目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，且x*和h*分別為式（10）中權(quán)重的最優(yōu)解和目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。

定理3當(dāng)0≤q≤1/λ1時(shí)，Z（q）是關(guān)于q的一個(gè)嚴(yán)格遞減函數(shù)。

證明假設(shè)q′＜q，x（q′）和x（q）分別對應(yīng)最優(yōu) 目 標(biāo) 值Z（q′）和Z（q）。由 于R*（λ1q）和Φ-1（（qλ1））分別是關(guān)于q的遞減函數(shù)和遞增函數(shù)。同時(shí)，由于目標(biāo)函數(shù)為求最大值，故（q′，x（q））所得到的函數(shù)值小于（q′，x（q′））所得到的函數(shù)值。

因此，當(dāng)0≤q≤1/λ1時(shí)，Z（q）是關(guān)于q的一個(gè)嚴(yán)格遞減函數(shù)。 證畢

定理4當(dāng)0≤q≤min（1/λ1，1/λ2）時(shí)，如果

證明根據(jù)式（10）、（11）可得，當(dāng)Z（q）≥）時(shí)，q滿足式（10）的第1個(gè)約束條件。因此可將式（10）轉(zhuǎn)換為求解滿足條件的最大q值點(diǎn)，其中q∈[0，min（1/λ1，1/λ2）]。假設(shè)存在，使，即

根據(jù)定理3可知

這與假設(shè)矛盾。

2.3 模型求解步驟

（λ2q）為關(guān)于q的遞增函數(shù)，根據(jù)定理3可知函數(shù)Z（q）和（λ2q）存在3種關(guān)系，如圖1所示。

圖1 函數(shù)Z（q）和g-1F（λ2q）的關(guān)系

由定理4可知，圖1（c）中，Z（q）和（λ2q）交點(diǎn)處的q值為式（10）的最優(yōu)值。可通過二分法得到Z（q）和（λ2q）交點(diǎn)處的q值，進(jìn)而得到式（10）的最優(yōu)值和最優(yōu)解，具體步驟如下：

（1）根據(jù)式（3）、（4）分別生成投資者模糊期望收益和目標(biāo)概率隸屬度函數(shù)；

（2）設(shè)置q←min（1/λ1，1/λ2）并求解式（11）。如果Z（q）≥（λ2q）（見圖1（a）），則停止運(yùn)算。在這種情況下，x（q）能夠完全滿足投資者的心理要求；否則，進(jìn)行下一步；

（3）設(shè)置q←0并求解式（11）。如果Z（q）≤（λ2q）（見圖1（b）），則停止運(yùn)算。在這種情況下，x（q）滿足投資者心理期望值為0，則應(yīng)放棄該期證券投資；否則，進(jìn)行下一步；

（4）Z（q）和（λ2q）存在交點(diǎn)（見圖1（c）），設(shè)置Rq←min（1/λ1，1/λ2）且Lq←0；

（5）設(shè)置q←（Rq+Lq）/2；

（6）求解式（11）。如果Z（q）＜（λ2q），則設(shè)置Rq←q并且返回（5）；如果Z（q）＞（λ2q），則設(shè)置Lq←q并且返回（5）；如果Z（q）=（λ2q），則停止運(yùn)算，（x（q），q）=（x*，h*）。

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

從上證180指數(shù)中隨機(jī)選取10支股票作為研究樣本，分別是三一重工、保利地產(chǎn)、宇通客車、同仁堂、亞盛集團(tuán)、包鋼稀土、中國衛(wèi)星、巨化股份、創(chuàng)興資源、金種子酒。選取10支股票2010-01-01～2013-04-30的周收盤價(jià)數(shù)據(jù)，對股票價(jià)格進(jìn)行后復(fù)權(quán)處理，數(shù)據(jù)來源于Wind數(shù)據(jù)庫。股票采用對數(shù)收益率，即股票j在第k周的周收益率為r j，k=lnPj，k-lnP j，k-1，j=1，2，…，n。其 中，P j，k和P j，k-1分別為股票j在第k周的周收盤價(jià)和第k-1周的周收盤價(jià)。

參考文獻(xiàn)[16]，假設(shè)每支股票的收益率服從均值為模糊變量的正態(tài)隨機(jī)分布，均值收益率設(shè)置為對稱的三角模糊數(shù)，如表1所示。

表1 10支股票的統(tǒng)計(jì)描述

3.2 計(jì)算結(jié)果與分析

3.2.1 模型有效邊界研究 投資者期望收益和目標(biāo)概率的模糊參數(shù)分別設(shè)置為：f1=0.80，f0=0.051）投資者一般以年收益率作為投資收益參考水平，本文所設(shè)置的期望收益為年收益率，可通過復(fù)利計(jì)算轉(zhuǎn)換為周收益率，p1=0.9，p0=0.7。目標(biāo)概率權(quán)重λ1從0.01～0.99，期望收益權(quán)重λ2從0.99～0.01變化。利用2010-01-01～2012-12-31股票周收盤價(jià)，根據(jù)式（10），按照模型求解步驟，采用Matlab R2010a求解加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型的投資組合，并計(jì)算對應(yīng)的收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合和均值-方差投資組合有效邊界如圖2所示。加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合不同期望收益和目標(biāo)概率權(quán)重所對應(yīng)的投資組合收益率和標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。

圖2 投資組合有效邊界

表2 不同目標(biāo)權(quán)重的投資組合收益率和標(biāo)準(zhǔn)差

（1）加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合有效邊界。由圖2可見，加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型有效邊界與均值-方差投資組合模型不一致。均值-方差投資組合模型假設(shè)能夠通過證券歷史信息，精確獲得證券收益率的隨機(jī)分布參數(shù)。在期望收益一定的情況下得到風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合，這與真實(shí)的證券市場不符。加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型將證券收益率視為隨機(jī)模糊變量，除了考慮證券歷史信息外，還根據(jù)專家信息獲得證券未來收益的區(qū)間范圍，導(dǎo)致加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型的有效邊界與均值-方差投資組合模型不一致。

（2）加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型的收益率和標(biāo)準(zhǔn)差。由表2可知，隨著目標(biāo)概率權(quán)重λ1的增大、期望收益權(quán)重λ2的減小，投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度從風(fēng)險(xiǎn)偏好轉(zhuǎn)為風(fēng)險(xiǎn)厭惡，投資組合收益率和標(biāo)準(zhǔn)差呈現(xiàn)遞減的趨勢。表明投資者目標(biāo)權(quán)重的變化，對投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生影響。因此，在構(gòu)建投資組合模型時(shí)應(yīng)考慮投資者目標(biāo)權(quán)重不等的要求。在實(shí)際投資決策時(shí)，若投資者對目標(biāo)概率更為關(guān)注，說明該投資者對投資組合風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)心程度大于對收益的關(guān)心程度，就加大目標(biāo)概率的權(quán)重；反之，如果投資者更加關(guān)心投資組合收益，就加大期望收益的權(quán)重。因此，加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型可以根據(jù)不同投資者對期望收益和目標(biāo)概率的差別需求，構(gòu)建與其心理期望一致的投資組合，達(dá)到投資目標(biāo)。

3.2.2 模型投資收益研究 設(shè)置均值-方差投資組合模型的年期望收益為10%、20%和30%，分別計(jì)算均值-方差投資組合。由于均值-方差投資組合模型的均值和方差是等權(quán)重的，令加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型的目標(biāo)概率權(quán)重λ1為0.5，期望收益權(quán)重λ2為0.5，計(jì)算加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合。利用所得到的投資組合，計(jì)算2013-01-01～2013-04-30的累積投資收益，如圖3所示。

由圖3可見，加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型的投資收益優(yōu)于均值-方差投資組合模型。均值-方差投資組合模型利用證券歷史信息，獲得證券收益率的分布參數(shù)。由于證券市場的復(fù)雜性，難以精確估計(jì)分布參數(shù)值。加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型除了考慮證券的歷史信息外，還考慮專家的信息，使得對證券收益的分布參數(shù)具有更加準(zhǔn)確的估計(jì)，導(dǎo)致加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型的投資收益優(yōu)于均值-方差投資組合模型。

圖3 投資組合模型投資收益比較

4 結(jié)語

考慮投資者面臨證券市場隨機(jī)和模糊雙重不確定性因素，根據(jù)Kahneman等[17]的前景理論建立符合投資者心理特征的期望收益和目標(biāo)概率隸屬度函數(shù)。以期望收益和目標(biāo)概率的隸屬度作為目標(biāo)函數(shù)，利用加權(quán)極大-極小算子考慮不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度投資者對投資組合目標(biāo)權(quán)重的差異要求，構(gòu)建加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型，推導(dǎo)模型的最優(yōu)解。采用實(shí)證的方法研究在隨機(jī)和模糊雙重不確定環(huán)境下，期望收益和目標(biāo)概率的權(quán)重變化對投資組合收益和風(fēng)險(xiǎn)的影響，以及比較投資組合模型的投資收益。結(jié)果表明：①加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型有效邊界與均值-方差投資組合模型不一致；②加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型可以根據(jù)投資者對期望收益和目標(biāo)概率的差別需求，構(gòu)建符合不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度投資者要求的投資組合；③加權(quán)極大-極小隨機(jī)模糊投資組合模型的投資收益優(yōu)于均值-方差投資組合模型。