聾校數(shù)學中的三類基本思想及其教學啟示*

蘇 明 強肖 非

一、問題提出

(一)特殊教育提升計劃要求提升教育教學質(zhì)量和教師專業(yè)水平

為了深入實施《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020 年)》，加快推進特殊教育發(fā)展，大力提升特殊教育水平，切實保障殘疾人受教育權(quán)利，2014 年1 月教育部等制定并頒布了《特殊教育提升計劃(2014—2016 年)》，明確指出2014－2016年的總體目標、重點任務和主要措施，提出了“提升教育教學質(zhì)量”和“根據(jù)國家義務教育課程標準，結(jié)合殘疾學生特點和需求，制訂盲、聾和培智三類特殊教育學校課程標準，健全適合殘疾學生學習特點的教材體系，提高特殊教育教師的專業(yè)化水平”的重點任務。研究聾校數(shù)學中的三類基本思想及其教學，是提升聾校教師教學水平以及教育教學質(zhì)量的重要基礎。

(二)聾校數(shù)學課標(送審稿)提出“基本思想”的目標要求

2014 年7 月教育部組織專家審定并形成了《全日制聾校義務教育數(shù)學課程標準(送審稿)》(以下簡稱為《聾校課標送審稿》)，在《聾校課標送審稿》的總目標中指出“通過聾校義務教育階段數(shù)學學習，聾生能:初步獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。聾校數(shù)學課程目標在原來“雙基”(即基礎知識、基本技能)的基礎上，拓展到了“四基”(即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)，增加了“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗”的目標要求，其中將數(shù)學的“基本思想”列為課程目標，這是我國聾校數(shù)學教育的一次重大進展和突破，對聾生后續(xù)的數(shù)學學習和未來的生活工作，都將有著深遠的意義。

(三)普通教育提出數(shù)學思想是數(shù)學課程教學的精髓

《義務教育數(shù)學課程標準(2011 年版)解讀》指出:使學生獲得數(shù)學的基本思想是數(shù)學課程的重要目標，數(shù)學課程固然應該教會學生許多必要的知識，但是絕不僅僅以教會數(shù)學知識為目標，更重要的是讓學生在學習這些結(jié)論的過程中獲得數(shù)學思想，數(shù)學思想是數(shù)學科學發(fā)生、發(fā)展的根本，是探索研究數(shù)學所依賴的基礎，是數(shù)學課程教學的精髓。［1］日本數(shù)學家米山國藏認為:“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、數(shù)學的方法隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益?！保?］

基于以上三方面的考慮，筆者認為聾校數(shù)學中的基本思想是今后聾校數(shù)學教學的一個重要研究問題。因此，本研究試圖根據(jù)《聾校課標送審稿》的內(nèi)容標準，梳理義務教育階段聾校數(shù)學的知識體系，挖掘出這些數(shù)學知識所蘊含的數(shù)學思想，從中歸納出三類基本思想，并給出相應的教學建議，旨在為貫徹落實聾校數(shù)學課程標準理念，提升聾校數(shù)學教學質(zhì)量和教師教學水平，做一次學科研究的嘗試，提供一種教學實踐的參考。

二、基本思想

數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。［3］數(shù)學中的基本思想是數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展和應用所依賴的最為重要的思想。史寧中認為:數(shù)學思想本質(zhì)上有三個，第一個是抽象，第二個是推理，第三個是模型。［4］因此，可以將聾校數(shù)學的三類基本思想概括為:抽象思想、推理思想和建模思想。

聾校義務教育階段數(shù)學課程，在充分考慮聾生數(shù)學學習的特點、認知規(guī)律和心理特征的基礎上，共安排了四個部分的課程內(nèi)容:“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”、“綜合與實踐”。其中“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”是聾校數(shù)學課程的主要內(nèi)容，下文將結(jié)合這兩部分課程內(nèi)容，闡述聾校數(shù)學中的三類基本思想。

(一)抽象思想蘊涵在數(shù)學概念的產(chǎn)生過程

數(shù)學概念是數(shù)學學習的重要基礎，是數(shù)學知識的重要內(nèi)容。在聾校數(shù)學中，數(shù)學概念主要有:數(shù)的概念、運算的概念、方程的概念、圖形的概念、周長的概念、面積的概念和體積的概念等。在這些數(shù)學概念的形成、理解和深化的過程中都蘊涵著抽象思想，主要包括對應思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、集合思想等。

1.在概念的形成中蘊含著對應思想

義務教育階段聾校數(shù)學中的數(shù)學概念一般都是來自于生活，在這些數(shù)學概念的形成中，一般都必須經(jīng)過一個生活問題數(shù)學化的過程，這是一個逐步抽象的過程。在數(shù)學上，經(jīng)過抽象后的結(jié)果都用一個對應的符號進行表征，將相應的數(shù)學符號與數(shù)學概念對應起來，比如:將一個蘋果、一個香蕉、一頭牛、一匹馬等抽象出數(shù)量“一”，并用對應的符號“1”進行表示等等，這里蘊涵著對應思想。在聾生數(shù)學學習過程中，將一個數(shù)學概念與一個數(shù)學符號建立起一一對應關系，這是后續(xù)數(shù)學學習的重要基礎。

2.在概念的理解中蘊含著數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學概念是客觀事物的數(shù)量關系和空間形式進行抽象的結(jié)果，具有高度的抽象性，一般比較難于理解，這是造成聾生數(shù)學學習困難的主要原因。因此，聾生在數(shù)學概念的理解過程中，常常需要借助一些具體的直觀手段，用直觀的“形”來描述表征抽象的“數(shù)”的概念。通過“以形助數(shù)”、“數(shù)形結(jié)合”的方式，幫助聾生更好理解數(shù)學概念，這個過程蘊涵著數(shù)形結(jié)合的思想，它是數(shù)學概念學習的一種重要方法和策略。如:在分數(shù)概念的學習中，常常需要借助長方形或圓形的紙片，通過對折并把其中的一部分涂上顏色，以此來幫助聾生理解平均分和1/2 這個分數(shù);在自然數(shù)、小數(shù)、負數(shù)等概念的學習中，也常常需要借助“數(shù)軸”幫助聾生理解數(shù)的大小和相對位置等，在這里都蘊含著“數(shù)形結(jié)合思想”。

3.在概念的深化中蘊含著分類思想和集合思想

數(shù)學知識體系是通過一系列數(shù)學概念建構(gòu)而成，分類是數(shù)學概念建構(gòu)的一種重要方法。分類思想是聾生學習數(shù)學概念的一種重要思想方法，通過“分類”的思想方法，可以把無序變成有序，可以把雜亂無章變成條理清晰，從而增進對數(shù)學概念的深化理解，進一步完善已有認知結(jié)構(gòu)。一般情況下，分類產(chǎn)生的結(jié)果就形成了新的集合。因此，在數(shù)學概念的深化理解過程中，常常蘊涵著分類思想和集合思想。如:在自然數(shù)和負數(shù)的概念基礎上，為了更為深刻理解整數(shù)、自然數(shù)和負數(shù)的概念，就必須把整數(shù)分成正整數(shù)、0、負整數(shù)，其中正整數(shù)和0 構(gòu)成自然數(shù);為了更深入理解三角形的概念，把三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形等。在這些數(shù)學概念的深化理解過程中，都蘊含著分類思想和集合思想。

(二)推理思想蘊涵在數(shù)學知識的發(fā)展過程

數(shù)學概念是數(shù)學發(fā)展的重要基礎，在數(shù)學概念基礎上經(jīng)過一定的推演就可以產(chǎn)生一些新的數(shù)學結(jié)論，從而推動數(shù)學進一步發(fā)展，數(shù)學知識體系得以完善與建構(gòu)。聾校數(shù)學的主要內(nèi)容是在數(shù)、運算、方程、圖形、周長、面積、體積等概念的基礎上推演而成的一些數(shù)學結(jié)果，在這個過程中常常蘊涵著推理思想。推理是數(shù)學思考的一種重要形式，它是數(shù)學得以發(fā)展、數(shù)學知識得以建構(gòu)的一種重要思想，主要包括歸納思想、轉(zhuǎn)化思想和類比思想等。

1.在數(shù)學結(jié)論形成中蘊涵著歸納思想

歸納是一種從個別事物特殊規(guī)律推演得出普遍事物一般規(guī)律的思維過程，它屬于合情推理。雖然通過歸納得到的結(jié)論不一定正確，但是通過歸納的思維形式得到的結(jié)論往往可能創(chuàng)新。因此，體會感悟歸納思想有利于培養(yǎng)聾生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。聾校數(shù)學中的結(jié)論基本上都是通過不完全歸納得到的，比如:數(shù)的運算定律中的加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、乘法對加法的分配律;數(shù)的整除性中的能被2 或5 整除的特征;三角形性質(zhì)中的三角形三邊關系、三角形內(nèi)角和;長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓等平面幾何圖形的周長公式、面積公式，以及長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形的體積公式等等，這些重要數(shù)學結(jié)論都蘊涵著歸納思想。

2.在問題解決過程中蘊涵著轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學學習過程從本質(zhì)上說就是一個問題解決的過程。在問題解決過程中，不斷積累操作活動經(jīng)驗和思維活動經(jīng)驗。當面臨一個新的問題或復雜的問題時，常常需要將它變成一個舊的問題或者簡單的問題，把不能解決的問題轉(zhuǎn)化成能夠解決的問題。在問題解決過程中逐步形成的一種較為穩(wěn)固的思維模式，這就是轉(zhuǎn)化思想。這是聾生數(shù)學學習的重要思想方法，有助于提高聾生的問題解決能力和學習的效率。比如:把小數(shù)四則運算的問題轉(zhuǎn)化成整數(shù)四則運算的問題，把異分母分數(shù)加減法問題轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)加減法問題;把平行四邊形或圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積問題，把梯形的面積問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積問題，把圓柱體的體積轉(zhuǎn)化成長方體的體積問題等。在這些新問題的解決過程中，都蘊含著轉(zhuǎn)化思想。

3.在數(shù)學新知探索中蘊涵著類比思想

推理包括合情推理和演繹推理兩種，類比是合情推理的重要內(nèi)容。類比思想就是把兩個(兩類)不同的對象進行比較，根據(jù)一個已知對象具有某種屬性，推斷出另一個未知對象也具有這種相似屬性的思維模式，這種思想常常蘊含在數(shù)學新知的探索過程中。雖然通過類比得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，但是通過類比可以獲得一些有價值的猜想，有利于對數(shù)學新知的探索，也有利于聾生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。比如:在加法交換律和結(jié)合律的學習之后，類比猜想這樣的運算規(guī)律在減法、乘法和除法中也成立;通過三角形兩邊之和大于第三邊這一規(guī)律的學習，類比猜想四邊形、五邊形、六邊形等也具有類似的規(guī)律等。在這些數(shù)學新知的探索與思考中都蘊涵著類比思想。

(三)建模思想蘊涵在數(shù)學知識的應用過程

《聾校課標送審稿》中指出:模型思想的建立是聾生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括:從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于聾生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。

所謂數(shù)學模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言抽象、概括、表征研究對象的主要特征、數(shù)量關系所形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。［5］因此，從這個意義上講，在聾校數(shù)學中，用字母、數(shù)字以及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關系式、方程、不等式以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型。在這些知識的應用過程中都蘊涵著建模思想，它是數(shù)學與外部世界建立起密切聯(lián)系的重要橋梁?！睹@校課標送審稿》在總目標中指出“通過聾校義務教育階段數(shù)學學習，聾生能初步體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系”。這也是聾生體會建模思想的具體目標要求。

三、教學啟示

《聾校課標送審稿》在實施建議中指出:“無論是設計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視聾生獲得知識技能，而且要激發(fā)聾生的學習興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數(shù)學的基本思想”。在聾校數(shù)學教學中，為了更好融入數(shù)學思想，啟發(fā)引導學生進行數(shù)學思考，讓聾生在數(shù)學學習中體會并感悟數(shù)學的基本思想，教師可以從以下三個方面入手。

(一)引導聾生經(jīng)歷數(shù)學概念的產(chǎn)生過程，讓聾生體會抽象思想

聾校的數(shù)學來源于生活，義務教育階段聾校數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個部分中的數(shù)學概念主要包括以下幾個方面:第一，數(shù)的概念。主要包括自然數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)等。第二，整除的相關概念。主要包括奇數(shù)、偶數(shù);因數(shù)、倍數(shù);質(zhì)數(shù)、合數(shù);最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等。第三，運算的概念。主要包括加法、減法、乘法、除法、乘方等。第四，運算定律的概念。主要包括交換律、結(jié)合律和分配律等。第五，圖形的相關概念。主要包括線段、射線、直線;角、平角、周角;鈍角、直角、銳角;平行和相交(包括垂直);平移、對稱和旋轉(zhuǎn);長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓;長方體、正方體、圓柱體、圓錐、球。第六，圖形度量的概念。主要包括周長、面積、表面積、體積等。

聾校這些數(shù)學概念大致可以分成兩大類:一是數(shù)的相關概念，二是圖形的相關概念。它們都是產(chǎn)生于生活實際問題或者生活具體情景，是客觀事物在數(shù)量關系和空間形式上的抽象結(jié)果。在這些數(shù)學概念的教學中，應該引導學生經(jīng)歷一個逐步抽象的數(shù)學化過程，讓學生體會數(shù)學的抽象思想，下面舉兩個例子說明。

比如，在數(shù)的概念《0 的認識》教學中，教師可以通過創(chuàng)設“小貓釣魚”的情境，給出情境圖(圖中有4只貓，釣魚竿后面的袋子中魚的數(shù)量不同，第一個袋子中有3 條魚，第二個袋子中有2 條魚，第三個袋子中有1 條魚，第四個袋子中“沒有”魚)。然后引導學生經(jīng)歷以下逐步抽象的數(shù)學化過程:首先是“去情境”(去掉貓、釣魚竿等無關事物的具體形象，留下袋子和袋中的魚)，從整體情境中抽象出局部情境，這是第一步抽象。其次，在黑板上畫出“○”來表示“袋子”，用“△”表示“魚”，去掉事物(袋子和魚)的非本質(zhì)屬性，突出魚的“數(shù)量”，并用圖形符號進行描述，這是第二步抽象。最后，再引導學生按照順序觀察“○”中“△”的數(shù)量，并用相應的數(shù)字符號(即3、2、1、0)表示出來，這是第三步抽象。這樣，在認識0 的學習過程中，不僅讓學生感受了0 的產(chǎn)生和意義，而且讓學生完整經(jīng)歷了一次從生活到數(shù)學的逐步抽象過程，體會了抽象思想。

再如，在圖形概念《長方形的認識》教學中，教師可以列舉生活中的一些“具體事物”(如牙膏盒、肥皂盒、電冰箱等)，然后把它們抽象成都用“長方體模型”進行表示，再從長方體模型中抽象出一個“長方形面”，最后再從長方形面中抽象出“長方形”。在這個過程中，不僅體現(xiàn)了從整體到局部的認識過程，體現(xiàn)了數(shù)學的“體－ 面－ 形”的邏輯過程，而且還體現(xiàn)了“面”從“體”中來和“形”從“面”中取的基本過程。這樣，聾生就可以經(jīng)歷一個“具體事物”→“長方體模型”→“長方形面”→“長方形”的逐步抽象數(shù)學化過程。在這個過程中，不僅有利于聾生抽象思維能力的培養(yǎng)，而且讓聾生充分體會了數(shù)學的抽象思想，為后續(xù)的數(shù)學學習奠定抽象的思維基礎。

(二)引導聾生經(jīng)歷數(shù)學知識的建構(gòu)過程，讓聾生體會推理思想

義務教育階段聾校數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個部分中的數(shù)學知識，主要包括以下三個方面的內(nèi)容:一是在數(shù)的概念基礎上，逐步深入研究數(shù)的大小、數(shù)的性質(zhì)、數(shù)的意義以及數(shù)的運算等，這些內(nèi)容構(gòu)成了聾校數(shù)學中“算術(shù)”的主要內(nèi)容;二是在式的概念基礎上，逐步深入研究代數(shù)式、方程、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解方程、解不等式等，這些內(nèi)容構(gòu)成了聾校數(shù)學中“代數(shù)”的主要內(nèi)容;三是在圖形概念的基礎上，逐步深入研究圖形的特征、圖形的運動、圖形的變換以及圖形的度量(周長、面積、體積)等，這些內(nèi)容構(gòu)成了聾校數(shù)學中“幾何”的主要內(nèi)容。以上聾校數(shù)學中的“算術(shù)”、“代數(shù)”和“幾何”三個方面的知識體系，都是在“數(shù)”、“式”和“圖形”等數(shù)學概念的基礎上，經(jīng)過一定的邏輯推導而建構(gòu)起來。因此在這些數(shù)學知識的學習過程中，教師不能僅僅讓聾生進行簡單模仿和機械記憶，而應該引導聾生經(jīng)歷這些數(shù)學知識的邏輯推導和逐步建構(gòu)的過程，從而體會數(shù)學知識建構(gòu)發(fā)展過程中的推理思想。這樣才能在數(shù)學學習過程中培養(yǎng)聾生的邏輯推理能力。

比如:整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的四則運算是聾校算術(shù)的主要內(nèi)容，整數(shù)的四則運算是算術(shù)的核心內(nèi)容和重要基礎。當教學小數(shù)的四則運算時，教師應該引導聾生通過觀察、分析、比較等活動，將小數(shù)運算的問題轉(zhuǎn)化成整數(shù)的運算問題;當教學異分母分數(shù)加減法時，教師應該引導聾生將異分母分數(shù)的運算轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)的運算等。在這些問題解決過程中，都包含著轉(zhuǎn)化和類比等推理過程，蘊涵著推理思想。這樣不僅能夠培養(yǎng)聾生的問題解決能力，而且能夠培養(yǎng)聾生的類比推理能力。再如:方程和不等式是聾校代數(shù)的主要內(nèi)容，方程是代數(shù)的基礎和重要內(nèi)容。當教學解方程時，教師應該引導聾生通過觀察、操作等數(shù)學活動，利用等式的基本性質(zhì)將方程轉(zhuǎn)化成形如“ax = b”的方程，這里蘊涵著轉(zhuǎn)化思想;當教學解不等式時，教師應該引導聾生通過觀察比較方程與不等式的異同，將解方程的方法和經(jīng)驗類比遷移到解不等式中，這里蘊涵著類比思想。這樣不僅能夠幫助聾生建立一個比較完善的知識結(jié)構(gòu)，有利于聾生的數(shù)學學習，而且能夠提高聾生的問題解決能力和類比推理的能力，為聾生后續(xù)的數(shù)學學習奠定推理的思維基礎。

(三)引導聾生經(jīng)歷數(shù)學知識的應用過程，讓聾生體會建模思想

在聾校的數(shù)學教學中，教師不僅要讓聾生了解數(shù)學“從哪里來”，還要讓聾生知道數(shù)學“到哪里去”，讓聾生理解數(shù)學知識的應用過程。義務教育階段的聾校數(shù)學知識，如數(shù)學概念的產(chǎn)生、計算法則的由來、幾何形體的特征以及一系列的計算公式等，都體現(xiàn)著數(shù)學在現(xiàn)代生活、生產(chǎn)和科技中的應用。因此在聾校數(shù)學教學中，教師應該關注“現(xiàn)實情境——知識形成——揭示聯(lián)系”的抽象過程，讓聾生體會抽象思想，積累抽象的經(jīng)驗，不斷培養(yǎng)抽象思維能力。與此同時還要重視“問題情境——建立模型——求解驗證”的建模過程，讓聾生體驗數(shù)學知識的實際應用，讓聾生知道生活到處都蘊含許多數(shù)學信息，并理解能夠用數(shù)學知識解決生活實際問題，增強數(shù)學的應用意識，提高數(shù)學的應用能力，同時也體會數(shù)學知識應用過程中的建模思想。

［1］［5］史寧中. 義務教育數(shù)學課程標準(2011 年版)解讀［M］.北京:北京師范大學出版社，2012:118.

［2］米山國藏.數(shù)學精神、思想和方法［M］. 成都:四川教育出版社，1986:18.

［3］中華人民共和國教育部，義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)［M］.北京:北京師范大學出版社，2012:8.

［4］史寧中.數(shù)學的基本思想［J］.數(shù)學通報，2011(1):1－7.12