簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單

徐 亮

（江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué)）

前不久，筆者在翻閱幾本高三二輪復(fù)習(xí)用書的過程中發(fā)現(xiàn)，不同的編者卻不約而同地都選用了這樣一道題：“設(shè)a∈R，二次函數(shù)f（x）=ax2-2x-2a，若f（x）＞0的解集為A，B=｛x|1＜x＜3｝，A∩B≠覫，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！背蹩创祟}，覺得條件簡(jiǎn)單直白，問題平淡無奇，但是為何編者們都對(duì)此題青睞有加，并將其寫入二輪復(fù)習(xí)用書中呢？筆者仔細(xì)研究了這道題，發(fā)現(xiàn)這道題確實(shí)有著豐富的內(nèi)涵和生命力，耐人尋味，值得細(xì)細(xì)琢磨。

初探

集合運(yùn)算是這道題的關(guān)鍵條件，抓住“A∩B≠覫”作為解題的切入口。集合B已知，故考慮先求出集合A。對(duì)于不等式ax2-2x-2a＞0（a≠0）的解集，考查含參的一元二次不等式的解法，需要進(jìn)行分類討論。

這樣的解法樸實(shí)無華，回歸集合運(yùn)算的本質(zhì)，通過解含參不等式，借助數(shù)軸比較區(qū)間端點(diǎn)的大小實(shí)現(xiàn)問題的解決。但是，不難發(fā)現(xiàn)，這種方法的求解過程中涉及無理不等式的求解，對(duì)計(jì)算能力的要求較高，學(xué)生易錯(cuò)。

再探

回到原題再看“B=｛x|1＜x＜3｝，A∩B≠覫”，豁然開朗——問題可以轉(zhuǎn)化為：不等式 ax2-2x-2a＞0（a≠0）在 a∈（1，3）上有解，也即存在 a∈（1，3），使 ax2-2x-2a＞0 成立。

此解法沒有停留在原有問題的表面，將集合A，B的交集不空轉(zhuǎn)化為不等式在給定區(qū)間上有解的問題，為解決本題跨出了堅(jiān)實(shí)有力的一步。但是，怎么看都覺得這個(gè)方法的解題過程略顯繁雜，還有簡(jiǎn)化改進(jìn)的空間嗎？

三探

既然解法二中已經(jīng)將問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x-2a＞0（a≠0）在a∈（1，3）上有解的問題，何不順藤摸瓜，沿著這條線繼續(xù)前行。對(duì)于一元二次不等式在給定區(qū)間上有解，借助二次函數(shù)的圖像研究更為直觀。

問題到此似乎已經(jīng)尋找到解決該題的最佳方法，但是學(xué)生的思路又給這道題的解決開辟了更廣闊的途徑。

學(xué)生的思路

先考查A∩B≠覫時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍。

對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax2-2x-2a，方程ax2-2x-2a=0兩根x1x2=-2＜0，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別在y軸的兩側(cè)；

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，此時(shí)若要求A∩B≠覫，只需（f3）≤0即可，解之得：0＜a≤；

當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，此時(shí)若要求A∩B≠覫，只需（f1）≤0即可，解之得：-2≤a＜0；

所以當(dāng)A∩B≠覫時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2≤a＜0或0＜a≤，那么若A∩B≠覫，且a≠0，則a的取值范圍是a＜-2a＞。

此解法從問題的另一個(gè)角度入手，另辟蹊徑，化歸為不等式無解問題進(jìn)行研究，顯得更加清晰明朗。

回顧本題的幾種不同解法，雖然有些略顯冗長(zhǎng)和復(fù)雜，有些卻娓娓道來，但是相比較本題的優(yōu)美解，筆者更欣賞解法一和解法二。對(duì)于某些數(shù)學(xué)問題，在計(jì)算并不復(fù)雜的情況下，回歸樸素自然的方法也是不錯(cuò)的選擇。數(shù)學(xué)解題就是一個(gè)從無到有、從有到優(yōu)的過程，“有”和“優(yōu)”兩個(gè)結(jié)果都可以實(shí)現(xiàn)問題的最終解決，并不是每一次的解題都能尋求到最簡(jiǎn)潔、最漂亮的方法。如果一味追求優(yōu)美解，可能就會(huì)忽略數(shù)學(xué)解題中最真實(shí)的本源、最自然的流露。巧解、妙解的背后也許就隱藏著更大的危機(jī)。在平時(shí)的教學(xué)中，教師也要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，從最基本的方法入手，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提高分析問題與解決問題的能力。同時(shí)，教師更要對(duì)高考試題進(jìn)行深入剖析與研究，從近幾年的高考題中，找到高考命題的共性與變化趨勢(shì)。從一些相似問題的研究中發(fā)現(xiàn)變化、尋找規(guī)律，讓這些陳題、好題發(fā)揮其內(nèi)在價(jià)值，滲透在平時(shí)復(fù)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，提高高三復(fù)習(xí)的效率。