馬蹄形隧洞斷面收縮水深迭代公式推求及程序?qū)崿F(xiàn)

雷 娟，張 華（.陜西渭南市洛惠渠管理局，陜西渭南7500；.陜西省渭南市石堡川水庫(kù)灌溉管理局，陜西澄城7500）

馬蹄形隧洞斷面收縮水深迭代公式推求及程序?qū)崿F(xiàn)

雷 娟1，張 華2
（1.陜西渭南市洛惠渠管理局，陜西渭南715100；
2.陜西省渭南市石堡川水庫(kù)灌溉管理局，陜西澄城715200）

為了解決馬蹄形隧洞收縮水深不易計(jì)算的問(wèn)題，本文首先引入恰當(dāng)?shù)臒o(wú)量綱參數(shù) ，使各種馬蹄形斷面收縮水深的計(jì)算公式統(tǒng)一化，從理論上推求得到了馬蹄形斷面收縮水深的迭代計(jì)算公式，然后針對(duì)實(shí)例采用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行編程計(jì)算，通過(guò)應(yīng)用實(shí)例可證明，編程方式能很好的解決馬蹄形斷面收縮水深計(jì)算公式復(fù)雜的問(wèn)題，該方法簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、通用，能為工程設(shè)計(jì)提供較為簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。

馬蹄形；收縮水深；迭代公式；MATLAB語(yǔ)言

收縮水深是水力學(xué)中的一個(gè)重要參數(shù)，是消能設(shè)計(jì)及判定水躍起始位置的前提，在灌溉排水工程、水電工程中經(jīng)常遇到，有較高的精度要求。馬蹄形過(guò)水?dāng)嗝媸芰μ匦约八l件好而被廣泛應(yīng)用于各種輸水工程中，是無(wú)壓輸水隧洞的常用斷面形式。目前對(duì)矩形［1-2］、閘壩［3］、城門(mén)洞［4］、拋物線［5］、立方拋物線［6］、梯形［7-8］等斷面的收縮水深均有較多成果，得到了不少通用的好公式。但對(duì)馬蹄形隧道的研究主要集中在臨界水深和正常水深［9-11］，文獻(xiàn)［12］得到了復(fù)雜的不便于實(shí)際應(yīng)用的收縮水深公式，文獻(xiàn)［13］得到了誤差較大的分段求解的公式。本文將常用的標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型和標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型的水力要素統(tǒng)一到一起來(lái)進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)引入恰當(dāng)?shù)臒o(wú)量綱參數(shù)統(tǒng)一了兩種斷面形式的幾何要素，得到其收縮水深的迭代公式，進(jìn)而利用MATLAB語(yǔ)言計(jì)算得到收縮水深的精確解。

1 馬蹄形斷面收縮水深基本方程

1.1 基本方程

收縮斷面的基本方程為:

式中:E0為從收縮斷面底算起上游總水頭（m）；hc為收縮水深（m）；Q為斷面流量（m3/s）；g為重力加速度，通常取9.81 m/s2；φ為流速系數(shù)，通常取0.95；Ac為收縮斷面面積（m2）。

1.2 馬蹄形斷面形式

馬蹄形斷面主要由底拱、頂拱和側(cè)拱三部分銜接而成 ，工程上較常用的是標(biāo)準(zhǔn) Ⅰ型和標(biāo)準(zhǔn) Ⅱ型馬蹄形斷面，即為幾何斷面中R與r比值分別為3和2時(shí)所對(duì)應(yīng)的圖形，圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）依次為水流在底拱、側(cè)拱、頂拱范圍內(nèi)時(shí)的示意圖。

1.3 馬蹄形斷面隧洞收縮水深迭代公式推導(dǎo)

馬蹄形斷面最常用的是標(biāo)準(zhǔn) Ⅰ型和標(biāo)準(zhǔn) Ⅱ型兩種斷面形式，標(biāo)準(zhǔn) Ⅰ型R=3r，標(biāo)準(zhǔn) Ⅱ型R= 2r?，F(xiàn)提出無(wú)量綱參數(shù):

圖1 馬蹄形斷面示意圖

即λ=3為標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型斷面，λ=2為標(biāo)準(zhǔn) Ⅱ型斷面；查閱相關(guān)資料［12］，標(biāo)準(zhǔn) Ⅰ型馬蹄形斷面，θ= 0.294515；標(biāo)準(zhǔn) Ⅱ型馬蹄形斷面，θ=0.424031；水深處于以上圖示三個(gè)不同位置，其過(guò)水?dāng)嗝婷娣eAc表達(dá)式均不相同:

水深 hc在圖示三個(gè)不同水深范圍的表達(dá)式也不一樣:

將式（3）、式（4）代入式（1），得到收縮斷面基本方程 :

2 馬蹄形斷面收縮水深的迭代公式

2.1 分界流量

先計(jì)算:

當(dāng)h=r時(shí)，

2.2 迭代公式

（1）當(dāng)0≤h≤e或0≤Q≤Qe

（2）當(dāng)e＜h≤r或Qe≤Q≤Qr

（3）當(dāng)r＜h≤2r或Q≥Qr

3 算 例

某輸水隧洞斷面采用標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面，已知上游總水頭 E0=12 m，r=7.5 m流速系數(shù) φ= 0.95，分別計(jì)算流量 Q=70 m3/s，Q=210 m3/s，Q= 1 000 m3/s時(shí)該馬蹄形斷面進(jìn)水口處的收縮水深。

解:首先根據(jù)已知參數(shù)計(jì)算以下常數(shù)值:

θ=0.294515，λ=3，Qe=118.4 m3/s，Qr=912.8 m3/s

3.1 計(jì)算0＜Q＜Qe時(shí)的收縮水深

因70 m3/s＜Qe=118.4 m3/s，先利用式（9）計(jì)算底拱水深對(duì)應(yīng)的角度β:

%創(chuàng)建符號(hào)變量及賦值

syms beta Q PHI lamda r g e

e=12；r=7.5；Q=70；lamda=3；g=9.81；

PHI=3；

%輸入計(jì)算方程

f=beta-sin（beta）*cos（beta）-Q/PHI/（lamda^ 2）/（r^2）/（2*g*（e-lamda*r*（1-cos（beta））））^ 0.5；

%計(jì)算底拱上水深對(duì)應(yīng)的角度

f=solve（f）；

vpa（f，10）

ans=0.2456564994

把底拱上水深對(duì)應(yīng)的角度 ，代入式（4）中第（1）式:

hc=lamda*r*（1-cos（ans））

hc=0.6754977715

得Q=70 m3/s時(shí)的收縮水深為0.6754977715 m。

3.2 計(jì)算 Qe＜Q≤Qr時(shí)的收縮水深

因 Qe=118.4 m3/s＜210 m3/s＜Qr=912.8 m3/s，先利用式（10）計(jì)算側(cè)拱水深對(duì)應(yīng)的角度α:

%創(chuàng)建符號(hào)變量及賦值

syms alpha theta lamda PHI r Q e g

e=12；r=7.5；g=9.81；theta=0.294515；

lamda=3；Q=210；PHI=0.95；

%輸入計(jì)算方程

f=alpha-2*theta-tan（theta）*（sin（theta））^2 +sin（theta）*cos（theta）+tan（theta）*（1-1/lamda）^ 2+sin（alpha）*

cos（alpha）-2*（1-1/lamda）*sin（alpha）+Q/ PHI/（lamda^2）/（r^2）/（2*g*（e-r*（1-lamda*sin （alpha））））^0.5；

%計(jì)算側(cè)拱上水深對(duì)應(yīng)的角度

f=solve（f）；

vpa（f，10）

ans=0.2702765298

再代入式（4）中第（2）式:

alpha=0.2702765298

hc=r*（1-lamda*sin（alpha））

hc=1.492546398

得到Q=210 m3/s時(shí)的收縮水深為1.492546398 m。

3.3 計(jì)算 Q＞Qr時(shí)的收縮水深

因1000 m3/s＞Qr=912.8 m3/s，先利用式（11）計(jì)算側(cè)拱水深對(duì)應(yīng)的角度

%創(chuàng)建符號(hào)變量及賦值

syms PHI pi lamda theta Q r phi g e

e=12；Q=1000；g=9.81；r=7.5；PHI=0.95；pi=3.1415926；lamda=3；theta=0.294515；

%輸入計(jì)算方程

f=phi-pi-4*（lamda）^2*theta+2*（lamda-1）^2*tan（theta）-sin（phi）+2*lamda*sin（theta）* cos（theta）+2*

sin（theta）*sin（theta）*tan（theta）*（lamda）^2+ 2*Q/（PHI*r^2）/（2*g*（e-r*（1+cos（phi/ 2））））^0.5；

%計(jì)算側(cè)拱上水深對(duì)應(yīng)的角度

f=solve（f）；

vpa（f，10）

f=solve（f）；

ans=2.226395369

再代入式（4）中第（2）式:

hc=r*（1+cos（ans/2））；

vpa（hc，10）

ans=10.81346315

以上算例摘自文獻(xiàn)［12］中算例 ，與原文對(duì)比，計(jì)算結(jié)果正確且精度度更高，因而本文所使用的方法正確，且精度高。

4 結(jié) 論

本文利用無(wú)量綱參數(shù)統(tǒng)一了各種斷面形式的馬蹄形斷面的幾何參數(shù)，從理論上推求得到了馬蹄形斷面收縮水深的迭代公式，并且計(jì)算出了判別收縮水深范圍的分界流量。然后通過(guò)實(shí)例，首先計(jì)算得到分解流量，后利用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行編程計(jì)算，經(jīng)與原例對(duì)比發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果精確，其過(guò)程簡(jiǎn)單 ，方法易于掌握，與已有的迭代法、分段函數(shù)法相比較均有一定的優(yōu)勢(shì)，MATLAB其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理和計(jì)算功能，

在水力計(jì)算中能夠得到很大的發(fā)揮空間，其強(qiáng)大的優(yōu)勢(shì)當(dāng)可在水利工程中得到更大的應(yīng)用和推廣。

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［

13］ 滕 凱.馬蹄形斷面隧洞收縮水深的簡(jiǎn)易算法［J］.西北水電，2013，（2）:19-23.

［14］ 成都科學(xué)技術(shù)大學(xué)水力學(xué)教研室.水力學(xué)［M］.北京:人民教育出版社，1979.

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Iterative Formula of Contraction Depth and Its Programming Implementation for Tunnels with Horseshoe Cross-sections

LEI Juan1，ZHANG Hua2
（1.Weinan Luohuiqu Management Bureau，Weinan，Shaanxi 715100，China；
2.Shibuchuan Reservoir Irrigation Administration Bureau in Weinan City of Shaanxi Province，Chengcheng，Shaanxi 715200，China）

In order to solve the difficulty of calculating the contraction depth for tunnels with horseshoe cross-sections，a set of proper dimensionless parameters were introduced to unify a variety of calculating formulas，and then an iterative formula of contraction depth for tunnels with horseshoe cross-sections were derived theoretically.By the calculation of MATLAB language on an actual example，it is demonstrated that programming can solve the complexity of calculating formula of contraction depth for horseshoe cross-section well.It is simple and universal with accurate calculation results，moreover it can provide a comparatively simple calculation method for engineering design.

horseshoe cross-section；contraction depth；iterative formula；MATLAB language

TV131.4

A

1672—1144（2015）02—0218—04

10.3969/j.issn.1672-1144.2015.02.045

2014-10-29

2014-12-19

雷 娟（1979—），女，陜西渭南人，工程師，主要從事水利工程管理工作。E-mail:690904082@qq.com