理性思考 自然生長

王介鎖

《數(shù)學(xué)課程標準》（2011年版）在總目標中指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生要能“獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”，即“四基”，并將基本數(shù)學(xué)思想界定為抽象思想、推理思想和模型思想。那么，如何在教學(xué)中體現(xiàn)呢？前不久在一次市級觀摩課中，余棟梁老師執(zhí)教的《用字母表示數(shù)》一課給我們作了很好的示范。

一、抽絲剝繭，逐步抽象

抽象是數(shù)學(xué)研究的基本方法，數(shù)學(xué)研究的是抽象的概念以及它們間的相互關(guān)系，即從具體內(nèi)容中抽象出來的形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系。通過抽象，人們把外部世界與數(shù)學(xué)有關(guān)的東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)研究的對象。

《用字母表示數(shù)》是學(xué)習(xí)代數(shù)知識的重要內(nèi)容，對四年級學(xué)生來說，內(nèi)容較為抽象與枯燥，教學(xué)有一定難度。從物的個數(shù)抽象出自然數(shù)是學(xué)生思維的一次巨大飛躍，這需要經(jīng)歷一個過程，而從具體的數(shù)抽象到用字母表示數(shù)，是又一次飛躍。

余老師課始和學(xué)生做了個游戲：算24點。出示：10、6、7、A四張牌，讓學(xué)生算，學(xué)生說出了10+6+7+1=24；10-6=4，7-1=6，4×6=24；10-7+1=4，4×6=24等方法。然后提問：這里的1從哪里來？學(xué)生說A就表示1。余老師讓學(xué)生經(jīng)歷實際問題中的用字母表示數(shù)，讓學(xué)生感到，我們學(xué)習(xí)的就是我們身邊的數(shù)學(xué)。這樣，學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)活動過程中領(lǐng)悟了用字母表示數(shù)的目的和意義，也真正體會了用字母表示數(shù)是代數(shù)思想的本質(zhì)所在，很自然地把學(xué)生帶入了從現(xiàn)實朝著抽象的啟蒙了。

接著，余老師巧妙地安排了例1的教學(xué)：

（1）研究：（變化，數(shù)量關(guān)系，相同的數(shù)量可以用不同的字母來表示）

首先出示用小棒擺1個三角形，讓學(xué)生邊看邊思考三角形個數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系，提問：擺1個三角形，用幾根小棒？

接著出示擺2個三角形，問：擺2個三角形要用多少根小棒？怎么樣列式呢？（2×3）

擺3個、4個三角形呢，各要用幾根小棒？（9根、12根）能列出乘法算式嗎？（3×3、4×3）說說你的想法。

你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？可以同桌討論討論。（擺幾個三角形，小棒根數(shù)就有幾個3；小棒根數(shù)總是三角形個數(shù)的3倍。）這里的3是什么意思？

如果繼續(xù)擺下去，還有這樣的規(guī)律嗎？你準備擺幾個三角形？（5個）用幾根小棒？（5×3）（……能說得完嗎？能不能想一個簡單的辦法把無論擺多少個三角形的情況都包括進來呢？擺n個、擺x個、擺a個……也就是說可以用字母來表示）

為什么想到用字母來表示呢？（太多了，各種各樣的情況，說不完，用字母就把這些都包括了或概括了）

用a表示三角形的個數(shù)，那么小棒的根數(shù)是多少？（a×3）你是怎么算的？（三角形的個數(shù)×3=小棒的根數(shù)）

想一想，這里的字母a可以表示哪些數(shù)？（很多數(shù)、任意數(shù)）具體說說看？（1、2、3、4、5…）他說的這也叫任意的——（整數(shù)）自然數(shù)。我也說一個，1.2行嗎？（不行，a表示三角形的個數(shù)，只能是任意的自然數(shù)，不能是小數(shù)。）所以，字母a在這里就表示任意的自然數(shù)。那么，你覺得字母在這里還表示一個不變的數(shù)嗎？（不是，可以變化。）對，變化的數(shù)我們可以用字母來表示。（板書：變化）

（2）運用（同一情境中，不同的數(shù)量要用不同的字母來表示）。

練習(xí)十八：1.筆記本的單價是a元/本。你會根據(jù)這個條件填寫下表嗎？

這里的a表示——筆記本的單價，也就是筆記本每本的價錢，可以是哪些數(shù)？小數(shù)行不行？學(xué)生填表指名口答：a×7，a×10，a×18，根據(jù)什么？（單價×數(shù)量=總價）

后面還有一個，讓你去買，你準備買多少本？（50、100，結(jié)合前面的內(nèi)容，想一個簡單的辦法，把所有的情況都概括在內(nèi)呢？b本）想一想，為什么這里用b來表示買的本數(shù)，而不用a呢？（筆記本的單價是a元，a已經(jīng)表示筆記本的單價了）

師：在同一問題中，一般用不同的字母來表示不同的數(shù)量。

就這樣，通過循序漸進地逐步深入，讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中去理解、感悟、體會字母能夠表示任何數(shù)，相同的數(shù)量可以用不同的字母表示，字母還能表示數(shù)量之間的關(guān)系等，逐步抽象，發(fā)展學(xué)生的符號感，讓學(xué)生逐步學(xué)會用代數(shù)的思想方法分析和解決問題，體會其優(yōu)越性。

二、循序漸進，有序推理

思維形式有三種，即形象思維、邏輯思維和辯證思維。邏輯思維的集中表現(xiàn)是邏輯推理，數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的發(fā)展依賴的就是邏輯推理。

鑒于小學(xué)生的思維以形象思維為主，由形象思維逐步向邏輯思維過渡的特點，余老師在經(jīng)過例1的教學(xué)鋪墊的基礎(chǔ)上，在例2的教學(xué)中滲透了推理思想。

（1）出示題目：甲、乙兩地之間的公路長280千米，一輛汽車從甲地開往乙地。你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數(shù)嗎？

課件演示：一條線段表示甲、乙兩地之間的公路長280千米，（紅色箭頭）從甲地往乙地：已經(jīng)行駛了50千米，剩下的千米數(shù)是（280-50）；已經(jīng)行駛了74.5千米，剩下的千米數(shù)是（280-74.5）；（紅色箭頭顯示）從甲地往乙地，已經(jīng)行駛了（ ）千米，（對，不知道行了多少千米，也就是未知量可以用字母來表示，說說看。）（板書：未知）剩下的千米數(shù)是（ ）-（ ），為什么這樣列式？（總路程-已行路程=剩下路程）

想一想，這里的b又可以表示哪些數(shù)？可以是小數(shù)嗎？（可以表示整數(shù)，也可以表示小數(shù)）能是大于280的數(shù)嗎？（可以是0或280嗎？應(yīng)是0到280之間的數(shù)）字母表示的數(shù)有時候有一定的范圍。

（2）如果b=120，剩下多少千米？怎么想的？

小結(jié)：字母的值確定，含有字母的式子的值也就確定。

（3）運用。

練一練：根據(jù)“玲玲和媽媽談?wù)撃挲g”的對話填寫下表。

猜一猜：玲玲多少歲？也就是說玲玲的年齡是變化的，那根據(jù)剛才的經(jīng)驗，你能想個辦法表示任意一年玲玲的年齡嗎？（用字母來表示）如果用a來表示玲玲的年齡，你能知道媽媽的年齡嗎？（不能，因為不知道她們之間的關(guān)系。用字母可以，用含有字母的式子行嗎？）好的，出示媽媽的年齡a+28，你還能想到什么？那你知道玲玲和媽媽的年齡有什么關(guān)系？在這里，a+28不僅表示媽媽的年齡，還表示媽媽比玲玲大28歲這種關(guān)系。如果a=10，媽媽多少歲？如果a=40呢？如果a=400呢？（不行，人的年齡是有限的）好了，如果媽媽b歲呢？想一想，玲玲多少歲？這里的b-28不僅可以表示玲玲的年齡，還表示玲玲比媽媽小28歲這種關(guān)系。

以上三個環(huán)節(jié)中，每一個操作設(shè)計都在為學(xué)生的有效推理提供平臺，每一句問話都是在啟動學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生的思考，助推學(xué)生的推理。

三、還原真實，建構(gòu)模型

任何領(lǐng)域的研究最終都希望形成概念、探尋規(guī)律性的東西。用數(shù)學(xué)的語言表述概念、描述規(guī)律既簡潔又準確，這就是人們常說的數(shù)學(xué)模型。對小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)模型就是連接學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與他們所處的生活場景之間的紐帶。

縱觀整節(jié)課，盡管學(xué)生沒有進行過有關(guān)代數(shù)知識的學(xué)習(xí)，但余老師展示了大量學(xué)生所熟悉和喜愛的現(xiàn)實材料以及設(shè)計精妙的問題提供給學(xué)生，讓學(xué)生在直觀的視覺活動和細致的分析思考中理解問題的情境、分析問題的邏輯、領(lǐng)悟問題的實質(zhì)、掌握解決的辦法，從而很清晰地理解用字母可以表示一個數(shù)，也可以根據(jù)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系含有字母的式子表示另一個數(shù)，即用含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系，從而建立含有字母的式子的模型，自然地促進學(xué)生由算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡。這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、討論交流等，學(xué)生不僅獲得了解決問題的結(jié)果，也體驗到了自主解決問題的種種樂趣。比如：通過擺小棒的情境，讓學(xué)生體會用字母和含有字母的式子表示數(shù)的目的和意義，展示用字母表示數(shù)的優(yōu)越性；利用多媒體課件的直觀優(yōu)勢，把汽車從甲地到乙地的行進過程展示在學(xué)生眼前，讓學(xué)生知道用字母表示數(shù)的時候，有時是要考慮一定的范圍的；通過“玲玲和媽媽談?wù)撃挲g”這個學(xué)生感興趣的活動，讓學(xué)生從最簡單的加、減法數(shù)量關(guān)系開始，初步學(xué)會用含有字母的式子表示數(shù)量的方法，等等。

數(shù)學(xué)的基本思想為把現(xiàn)實生活引入到數(shù)學(xué)知識體系（即生活數(shù)學(xué)化）和把數(shù)學(xué)知識運用到現(xiàn)實生活中指導(dǎo)生活實踐（即數(shù)學(xué)生活化）提供了思維功能，準確地把握這個功能對數(shù)學(xué)教學(xué)以及學(xué)生的數(shù)學(xué)成長是很有好處的。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想是我們每個數(shù)學(xué)老師應(yīng)該關(guān)注的，也是必須做的。