淺析極限的幾種求法

黃紹東

摘要：極限是高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念，高等數(shù)學(xué)中很多重要的概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)和廣義積分等都是由極限來定義的。極限的問題一直是高等數(shù)學(xué)的困難之一，也是許多科學(xué)領(lǐng)域的重要思想之一，因此掌握好極限的計算方法與技巧是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)相當(dāng)關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié)。雖然極限的計算方法比較多，但每種方法都有其局限性，都不是萬能的。因此對于具體的極限計算問題，我們應(yīng)該去追求更簡便、更快捷的計算方法。為此本文通過實例歸納總結(jié)了極限的若干種計算方法與技巧，學(xué)習(xí)并掌握這些方法與技巧，對于學(xué)好高等數(shù)學(xué)頗有好處。

關(guān)鍵詞：極限 定義法 四則運(yùn)算法則 兩個重要極限 函數(shù)的連續(xù)性 定積分定義法 洛必達(dá)法則

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-1578（2015）07-0036-02

1 引言

極限是高等數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，極限思想貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，所以說極限的計算方法與技巧在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里顯得尤為重要。極限的計算方法與技巧多種多樣，常用的極限計算方法有利用極限的定義求極限、利用極限的四則運(yùn)算法則求極限、利用兩個重要極限求極限、利用等價無窮小求極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用定積分的概念求極限、利用洛必達(dá)法則求極限等。每種方法都有相應(yīng)的局限性，都不是萬能的。因此在具體解題的時候就需要大家仔細(xì)審題、綜合考慮，同時也要注意解題的方法與技巧，涉及到極限的計算問題特別多，而且技巧性強(qiáng)，難教也難學(xué)。本文主要探討并總結(jié)了一些極限的計算方法與技巧，對極限的計算有一定的參考價值，克服了許多學(xué)生在面對極限計算問題無從下手的缺點，能夠做到得心應(yīng)手。

2 利用定義法求極限

例1，證明： =2 .

證：對于任意給定的ε>0，要使xn-2= -2= <ε，只要n> ，取正整數(shù)N= ，則當(dāng)n>N時，xn-2<ε恒成立，故xn= （n=1，2，…）以2為極限，即： =2 .

上述證明方法叫做解析法（或倒推法），是證明極限問題經(jīng)常采用的方法.證明過程中，倒推語句“要使”，“只要”等不能省略，更不能寫成顛倒的因果關(guān)系.例如，若把上述證明敘述為“因為xn-2= <ε，所以n> ”，則在因果關(guān)系上是錯誤的。這里“n> ”不是作為從“xn-2<ε”推出的結(jié)果，而是作為使“xn-2<ε”成立的一個充分條件。有時證明過程中可先化簡xn-ɑ（必要時還需適當(dāng)放大）。

3 利用四則運(yùn)算法則求極限

對和差積商形式的函數(shù)求極限，自然會想到運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則去計算，但是為了能夠自然使用這些法則，往往需要先對函數(shù)作某些恒等變形或化簡，但要采用怎樣的變形和化簡還是要根據(jù)具體的算式來確定，一般來說常用的有分式的分解，分式的約分或通分，分子或分母的有理化和三角函數(shù)的恒等變形等?？偟膩碚f，函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。

例2，

解：（1）先用n3同時除分子、分母，然后取極限，得

= =-

4 利用兩個重要極限求極限

1、 =1，在利用這個重要極限的時候主要是學(xué)會湊成這個極限的形式，注意兩條。（1）分子分母同時趨于零。（2）在湊成重要極限的形式時要保證正弦的角度不變，只能通過調(diào)整分母使得滿足重要極限的形式。對于某些特殊的函數(shù)，也可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q或恒等變形，先轉(zhuǎn)化為重要極限的形式在求極限。

2、 （1+ ） =e，在利用這個重要極限的時候要注意：（1）函數(shù)應(yīng)具有這種形式；（2）括號內(nèi)是1加無窮小而括號外面的指數(shù)是這個無窮小的倒數(shù)。

所以用這兩個重要極限來求極限時要看所給的函數(shù)形式是否符合或經(jīng)過變化后符合這兩個重要極限的形式時才能運(yùn)用該方法求極限。

例3，求 .

解： = （ . ）

= ·

=1×1=1

5 利用等價無窮小代換求極限

定理1 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。

定理2 當(dāng)時，下列函數(shù)都是無窮小（即極限是0），且相互等價，既有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～ex-1

說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成g（x）時（g（x）→0），仍有上面的等價關(guān)系成立。例如：當(dāng)x→0時，e3x-1～3x；

ln（1+x3）～x3。

例4 求 .

解：當(dāng)x→0時，sin5x～5x，tan7x～7x， 所以

= =

6 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限

一切連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f（x）的定義區(qū)間內(nèi)的一點，則有 f（x）=f（x0）.

（下轉(zhuǎn)第58頁）

（上接第36頁）

例5， x0= 是初等函數(shù)y=ln sinx的定義區(qū)間（0，π）內(nèi)的點，所以 ln sinx=ln sinx| =ln 1=0.

7 利用定積分求極限

利用定積分的定義及牛頓-萊布尼茨公式求極限，可以求一些特定和式的極限，一般說來，利用定積分法求極限可以按照以下步驟進(jìn)行：

（1）將所給的和式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之成為積分和

f（ξi）△xi 的形式。

（2）由變形后的和式尋求出被積函數(shù)f（x）及積分區(qū)間

ɑ，b.

（3）將和式的極限轉(zhuǎn)化為定積分 f（x）dx，再利用牛頓-萊布尼茨公式去計算。

8 利用洛必達(dá)法則求極限

洛必達(dá)法則只有直接適用于 ， 未定式，而0·∞，∞-∞，00，∞0，1∞等類型不定式也可經(jīng)過簡單的變換轉(zhuǎn)化為 型或 型的極限，再用洛必達(dá)法則來計算，由于其分類明確，規(guī)律性強(qiáng)，且可以連續(xù)的進(jìn)行運(yùn)算，可以簡化一些較為復(fù)雜的函數(shù)極限的計算過程，但是在運(yùn)用時也不能忽視其他的一些技巧的運(yùn)用。

9 結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中極限的計算方法與技巧是十分重要的。本文雖然歸納了函數(shù)極限計算的一些方法與技巧，但是在做求解極限的題目時，同學(xué)們還要根據(jù)題目的要求來考慮，不同的情況采用不同的方法，不能機(jī)械地使用某種特定方法，并對具體的題目要通過觀察，仔細(xì)分析，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ部啥喾N方法混合使用，這樣將收到意想不到的效果。

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