高中數(shù)學解題中“算兩次”思想方法的應用探析

邱文丁

【摘 要】“算兩次”這種數(shù)學方法在數(shù)學中又叫做富比尼原理，其基本思想是：把一個量按照兩個不一樣的角度進行兩次計算，然后建立一種等量關(guān)系。本文結(jié)合高中數(shù)學中具體例子探討了算兩次思想方法在高中數(shù)學的應用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學解題；算兩次思想方法；應用

解析幾何中如果要求某個動點的軌跡，一般是按照動點所滿足兩個條件來建立等式。算兩次思想方法在數(shù)學競賽題中也有較多的應用。在高中數(shù)學中，教師和學生在解題時也使用算兩次思想方法，但是該解題方法沒有受到重視，沒有從數(shù)學思想上認識它，在教師的解題教學中算兩次方法被應用的也不多。

一、算兩次數(shù)學思想方法在數(shù)學題中的體現(xiàn)

某省2010年的一道高考數(shù)學題把數(shù)列和不等式結(jié)合起來：數(shù)列{an}，各項都是正數(shù)，前n項和是Sn，已知條件是2a2=a1+a3，數(shù)列{√ns}是一個等差數(shù)列，其公差是d 。該題有兩個問題：（1）求出數(shù)列{an}的通項公式（公式中符號用n，d來表示）；（2）假設(shè)c是實數(shù)，m，n，k是三個正整數(shù)，它們都滿足條件m+n=3k并且m和n兩個值不相等，利用m，n，k建立的不等式Sm+Sn>cSk都成立 ，現(xiàn)在要證明c值最大時是9/2。第一小題不難求出通項公式，大部分考生都能求出來，但是對于第二小題不少考生就束手無策了。怎么會這樣呢？一個是學生缺少應變與創(chuàng)新能力，還有一個更重要的原因是很多學生沒有掌握算兩次思想方法。如果考生很熟悉算兩次思想方法，第二小題的證明并不難，過程是這樣的，從第一小題可得√a1=d，√Sn=√a1+（n-1）d，所以得出d>0，Sn=d?n?.對于三個正整數(shù)m，n，k從題設(shè)條件可知m+n=3k并且m和n兩值不相等，這時從一方面可以Sm+Sn=（m?+n?）d?>（m+n）?d?/2=9/2d?k?=9/2Sk，從這里可以看出cmax≧9/2；從另外一方面，可以取實數(shù)a≧9/2，這時假設(shè)k是偶數(shù)，讓m=3k/2+1，n=3k/2-1，所以m，n，k是符合條件的并且Sm+Sn=（m?+n?）d?=d?[（3k/2+1）?+（3k/2-1）?]=1/2d?（9k?+4），所以在9k?+4<2ak?，經(jīng)計算變形可得k>2/√2a-9，這時Sm+Sn<1/2d?*2ak?=aSk，滿足條件情況下c≤9/2，所以cmax≧9/2 。從兩個方面都證明了c值最大時是9/2 。

算兩次解題法表現(xiàn)出了從兩個方面來解題的特點，從深一層次來說它蘊含的思想是換角度看問題也就是轉(zhuǎn)換思想。使用算兩次法來解題，一般情況下有三個步驟：一方面……，其它方面……，從這兩方面可得……，如果兩方面結(jié)果都是準確的，結(jié)合起來可以獲得一個不等式。例如還是2010年某省的高考數(shù)學題，有一小題是求出點A與平面PBC之間的距離，解答這道題時也要用到算兩次法。

二、算兩次法在數(shù)學教材解題中的應用

該思想方法是以教材為基礎(chǔ)通過對很多道題的解答和證明而獲得的，所以說它來自教材，從數(shù)學水平和思想上來說又比教材高。在高考數(shù)學的命題過程中它是一個重要考查點，高考對它的考查也是以教材為基礎(chǔ)的，對于算兩次法現(xiàn)在的新數(shù)學教材中也出現(xiàn)了好幾次，例如在等差數(shù)列中求出它的前n項和公式，在推導中要用到倒序相加法；關(guān)于兩個角在推導其和、差的余弦公式時也用到了算兩次法。但在數(shù)學的課堂教學中。算兩次思想方法并不被重視，不少一線教師和高三骨干教師，對這種思想方法都知道的不多；還有的認為該數(shù)學思想方法對于高中階段數(shù)學學習來說不是重要的，所以就不對它做重點講解，這就使學生在高考解數(shù)學題時如果可以用該思想方法解答，學生就不會運用。學會找出數(shù)學思想與對應方法，使學生提高分析與解決問題的水平，從而提高他們的數(shù)學素質(zhì)，要把教材作為基礎(chǔ)。

在推導定理與公式時多多運用算兩次法，增強學生運用該思想方法來分析與解決數(shù)學題的意識。在新出版的高中數(shù)學教材中，像那些比較重要而又基礎(chǔ)性較強的定理與公式，對它們的結(jié)論進行證明時需要使用有創(chuàng)新性的方法，創(chuàng)新性主要是說選擇較為合適的角度來計算，更方便的建立等量或者不等量關(guān)系，這時算兩次法便是一種很好的方法，在課堂教學中教師要注意在講解這種題型時有效運用算兩次法，并讓學生聽明白，增強學生對該數(shù)學思想方法的認識。在給學生講解課本上和其它資料上的題時，對那些典型例題與習題要進行深入和多次講解，方便學生對算兩次思想方法的總結(jié)。

三、總結(jié)

在立體幾何中求兩點距離或其它距離經(jīng)常使用等體積法，這是運用了三棱錐的可換底性質(zhì)，對三棱錐體積進行兩次計算，然后建立等式來求高，算兩次法是一種常用到的解題方法，還是一個重要數(shù)學思想，在數(shù)學課本上它是化歸與方程思想的一種表現(xiàn)形式，同時也表現(xiàn)出了換角度思考這種理性思維特點。在使用算兩次法來解題時，不必注重其表面形式，重要的是要對該思想方法在本質(zhì)上認識與理解它。

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