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    有關(guān)非負(fù)張量的一些性質(zhì)

    2015-08-05 06:47:14楊瑞娟
    關(guān)鍵詞:張量特征向量特征值

    楊瑞娟,王 翔

    (天津大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系天津300072)

    在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中,Lim和Qi最先介紹并研究了張量的特征值.在最近幾年,非負(fù)張量的最大特征值問題備受關(guān)注.Chang等在文獻(xiàn)[3]中將P-F定理從非負(fù)矩陣推廣到了非負(fù)不可約張量上,并且將非負(fù)不可約矩陣的Collatz最小最大值定理也推廣到了非負(fù)不可約張量上.在文獻(xiàn)PF定理的進(jìn)一步結(jié)果[4]中,Yang等進(jìn)一步的證明了非負(fù)張量Perron-Frobenius定理,并且給出了張量的譜半徑的定義,更進(jìn)一步在文獻(xiàn)[5]中將文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]的一些結(jié)論從非負(fù)不可約張量推廣到了非負(fù)弱不可約張量,隨之求張量譜半徑的算法也相繼被提出.近來具有各種特殊特征的張量被廣泛研究,如正張量、素張量、弱素張量、非負(fù)不可約張量、弱不可約、隨機(jī)張良、本質(zhì)正張量、弱正張量、嚴(yán)格非負(fù)張量等,對(duì)這些張量的研究主要集中在譜半徑的代數(shù)、幾何單性[6-7],各種張量之間的關(guān)系,計(jì)算譜半徑的算法.

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義 張量是一個(gè)多維數(shù)組,一個(gè)實(shí)的m階n維張量A是由nm個(gè)元構(gòu)成:ai1…im∈R其中j=1,…,m,ij=1,…,n.一個(gè)m階n維張量稱為非負(fù)的(正的),如果 ai1…im≥0(ai1…im>0).

    定義 若存在(λ,x)∈C×Cn是齊次方程Axm-1=λx[m-1]的解,則稱 λ 為 A 的特征值,x 為 A的和 λ 對(duì)應(yīng)的特征向量,這里 Axm-1和 x[m-1]是 n維向量.它的第i個(gè)元素是

    這個(gè)定義在Qi[1]中有介紹,其中假設(shè)A是m階n維對(duì)稱張量,且m是偶數(shù),在Lim[2]中限制x是實(shí)向量,λ是實(shí)數(shù).

    定義 張量 A的譜半徑 ρ(A)=max{|λ|:λ是A的特征值}.

    張量A的弱不可約和弱素定義如下:

    定義 設(shè)A是m階n維的非負(fù)張量.

    2)若G(A)是可約矩陣,則稱張量是A弱可約的,若A不是弱可約的,則稱A是弱不可約的.類似若G(A)是素矩陣,則稱A是弱素的.

    定義 設(shè)A是m階n維的非負(fù)不可約張量,令 TAx=(Ax[1/m-1]),若對(duì)任意非零非負(fù)向量 x,若存在非負(fù)整數(shù)r,使得TrA(x)>0,則A是素張量.

    稱張量A是隨機(jī)的.

    定理 設(shè)A是m階n維的非負(fù)張量,則有存在λ0≥0和非負(fù)向量x0≠0使得

    定理 設(shè)A是m階n維的非負(fù)弱不可約張量,ρ(A)為張量A的譜半徑.那么

    1)ρ(A)>0.

    2)存在惟一的正特征向量x和譜半徑ρ(A)對(duì)應(yīng).

    定理 設(shè)A是m階n維的非負(fù)弱不可約張量,設(shè)(λ,y)為 A 的特征對(duì),且|λ|ρ(A),則|y|是惟一的與ρ(A)對(duì)應(yīng)的正特征向量.

    2 主要結(jié)論

    定理1 若m階n維非負(fù)張量是A隨機(jī)的,令w=mini(ai…i),則有|λ -w|≤1-w,λ 為 A 的任一特征值.

    證明:設(shè)λ是m階n維隨機(jī)張量A的任一特征值,x=(x1,x2,…,xn)為 A的與 λ 對(duì)應(yīng)的特征向量.令0 < |xk|=maxi(|xi|),又 λxm-1=Axm-1.所以

    即|λ - ak…k|≤1 - ak…k.

    所以|(λ -w)|=|(λ - ak…k- w)|≤ |λ - ak…k|+ |ak…k-w|≤1 -ak…k+ak…k-w=1 -w .得證.

    定理2 設(shè)A是m階n維非負(fù)弱不可約張量,若diag(A)>0那么A是弱素的.

    證明:由于非負(fù)張量A是弱不可約的,則G(A)是不可約,又

    G(A)ii= Σi∈{i2,…,im}aii2…im≥aii2…1>0,

    則由文獻(xiàn)的定理,得G(A)是素矩陣,再由定義知是A弱素的.

    定理3 設(shè)A是m階n維的非負(fù)張量,并且m≥3,若 ai,1…1> 0,i=1,…,n 且,ai,j,1…1> 0,j=2,…,n,i是任意的,則有譜半徑ρ(A)是復(fù)幾何單的.

    證明:由 G(A)ij= Σj∈{i2…im}ai,i2…im≥ai,j,1…1>0,?i=1,…,j=2,n,則G(A)ij>0,?i=1,…,n,j=2,…,n

    當(dāng) j=1 時(shí),ai,1,…1> G(A)i1= Σj∈{i2…im}ai,i2…im≥ai,j,1…1>0.?i=1,…,n,所以G(A)ij>0,?i=1,…,n

    則G(A)是不可約的.∴A是弱不可約的.

    由定理 3,得 Aym-1= ρ(A)ym-1,A|y|m-1,所以有,要使上式成立,

    則對(duì)指標(biāo){i2…im|,ai,i2…,im>0},?Φi,使

    令 yi=eiΦi|yi| i=1,2,…n.

    ∵ ai,1…1>0,i=1,…n,則

    Φ =Φi=Φj(mod 2π),且(m -1)φ1=Φ +2s1π,

    s1∈{0,…,m -1}

    由題設(shè)知 aij1…1>0,j=1,2…,n,則有

    (m -2)φ1+φj=Φ(mod 2π),j=2,…,n則有

    因此 φ =φi=φj(mod 2π).即 y=eiφ|y|也就是 y=k|y|,k∈C.

    因此譜半徑ρ(A)是復(fù)幾何單的.

    注:此定理是對(duì)文獻(xiàn)[8]定理3.2的推廣,將其中的不可約條件去掉,可以證明其仍然成立.用定理可將文獻(xiàn)中的引理和例的不可約張量的結(jié)論推廣到弱不可約張量,如下定理4、5:

    定理4 若A是m階n維非負(fù)弱不可約張量且m是偶數(shù),設(shè)y∈Rn是ρ(A)對(duì)應(yīng)的特征向量,且 y1,…,yl>0 和 yl+1,…yn<0,1 <l< n,這里 yi是 y的第i個(gè)元素,則對(duì)某些指標(biāo),{i,i2…,im},ai,i2…im> 0,有

    定理5 若A是m階n維非負(fù)弱不可約張量且 m 是奇數(shù),m≥3,a1,1,i…i> 0,i=2,…n. 則有 ρ(A)是實(shí)幾何單的.(注:運(yùn)用定理和定理參考文獻(xiàn)的引理和例的證明可得).

    [1]QI L.Eigenvalues of a real supersymmetric tensor[J].Journal of Symbolic Computation,2005(40):1302-1324.

    [2]LIM L H.Singular values and eigenvalues of tensors:A variational approach[J].Proceedings of the IEEE International workshop on computational advances of multi-tensor adaptive processing,2005,1:129-132.

    [3]CHANG K C,PEARSON K,ZHANG T.Perron - Frobenius theorem for nonnegative tensors [J].Commun.Math.Sci.,2008,6:507-520.

    [4]YANG Y,YANG Q.Further results for Perron-Frobenius theorem for nonnegative tensors[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,2010,31:2517-2530.

    [5]YANG Q,YANG Y.Further results for Perron-Frobenius theorem for nonneg - ative tensors II[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,2011,32:1236 -1250.

    [6]CHANG K C,PEARSON K,ZHANG T.Primitivity,the convergence of the NZQ method,and the largest eigenvalue for nonnegative tensors[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.,2011,32:806-819.

    [7]HU S L,HUANG Z H,QI L Q.Finding the spectral radius of a nonnegative tensor[DB/OL].http://arxiv.org.sci- hub.org/abs/1111.2138,2011 -11 -09.

    [8]YANG Y N,YANG Q Z.A note on the geometric simplicity of the spectral radius of nonnegative irreducible tensors[DB/OL].http://arxiv.org/abs/1101.2479,2011 -01 -13.

    [9]HENRYK M.Nonnegative matrices[M].New York:Wiley,1988.

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