壁湍流SL標(biāo)度律相關(guān)參數(shù)的實(shí)驗(yàn)分析

張 珂

(安徽廣播電視大學(xué) 城建學(xué)院，安徽 合肥 230001)

0 引 言

湍流又稱紊流，是普遍存在于自然界中的一種隨流速不同而變化多端的流動(dòng)現(xiàn)象，同時(shí)這種流動(dòng)狀態(tài)也給工程技術(shù)帶來了很多困擾.目前，許多相關(guān)領(lǐng)域的學(xué)者在研究分析湍流的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以尋求解決現(xiàn)實(shí)工程中遇到的湍流問題的方法.研究發(fā)現(xiàn)，近壁面處湍流的能量占據(jù)了總湍流的大部分，對(duì)整個(gè)湍流的發(fā)生和維持起重大的作用，因而對(duì)近壁面湍流的研究至關(guān)重要.一般認(rèn)為，標(biāo)度律［1］(也叫尺度律)是在全尺度空間和時(shí)間中，利用統(tǒng)計(jì)相似性的原理，對(duì)所有尺度的湍流脈動(dòng)量進(jìn)行相似性統(tǒng)計(jì).由于各項(xiàng)同性湍流的特殊性，它的標(biāo)度律被分析得最為詳盡.其中線性標(biāo)度律(K41 標(biāo)度律)是較早被研究提出的一種的標(biāo)度律，它是由Kolmogorov［2］在1941年根據(jù)局部各向同性假設(shè)而獲得的;奇異標(biāo)度律［3］是由Kolmogorov 對(duì)線性標(biāo)度律進(jìn)行修正研究獲得的;ESS 標(biāo)度律是Benzi 等［4－5］在1993年通過對(duì)圓柱尾流、自由射流進(jìn)行測(cè)量后研究發(fā)現(xiàn)的;SL 標(biāo)度律是我國著名學(xué)者佘振蘇和他的學(xué)生Leveque 在1994年共同提出的，這種標(biāo)度律是基于層次結(jié)構(gòu)模型［6－7］(一種刻畫湍流脈動(dòng)結(jié)構(gòu)的新的模型)得到的;1999年，Benzi 等［8］以各種標(biāo)度律理論研究為基礎(chǔ)，對(duì)位于湍流邊界層的不同壁面位置的速度結(jié)構(gòu)函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，提出一個(gè)假設(shè)并得到一種新的p 階結(jié)構(gòu)函數(shù)與二階結(jié)構(gòu)函數(shù)及耗散率的新形式標(biāo)度律;2002年，Jacob［9］利用熱線實(shí)驗(yàn)(HWA)對(duì)新形式標(biāo)度律進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并分別用三階結(jié)構(gòu)函數(shù)和二階結(jié)構(gòu)函數(shù)代替奇異標(biāo)度律中的r，使p 階結(jié)構(gòu)函數(shù)變得更為簡單，從而得到了2 種形式標(biāo)度律的另一種表現(xiàn)形式，并對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

1 SL 標(biāo)度律與相關(guān)參數(shù)介紹

SL 標(biāo)度律的層次結(jié)構(gòu)模型［6－7］認(rèn)為:尺度、相干度和幅度皆不相同的層次結(jié)構(gòu)構(gòu)成了湍流，最強(qiáng)間歇結(jié)構(gòu)(即最大振幅和最強(qiáng)相干度的結(jié)構(gòu))不間斷的分布在從積分尺度到耗散尺度的每個(gè)尺度上，幅度很小的結(jié)構(gòu)根據(jù)特定的層次對(duì)稱關(guān)系和最強(qiáng)間歇結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，層次模型就是如此的連接著多尺度和脈動(dòng)結(jié)構(gòu).

通過對(duì)相關(guān)結(jié)構(gòu)量進(jìn)行無量綱分析，再由層次結(jié)構(gòu)理論的基本假設(shè)作為基礎(chǔ)，結(jié)合奇異標(biāo)度律，進(jìn)而得出層次結(jié)構(gòu)模型SL 標(biāo)度律標(biāo)度指數(shù)的公式，

式中，γ 代表速度結(jié)構(gòu)函數(shù)最奇異標(biāo)度指數(shù)，也就是最高激發(fā)態(tài)的標(biāo)度指數(shù);β 代表間歇參數(shù);λ =3γ－1代表能量耗散率的最奇異標(biāo)度指數(shù)，也就是最強(qiáng)能量耗散率的標(biāo)度指數(shù).當(dāng)湍流處于均勻各向同性時(shí)，速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度指數(shù)公式可以寫成，

對(duì)SL 標(biāo)度律而言，當(dāng)假設(shè)湍流是各項(xiàng)同性時(shí)，SL 標(biāo)度律中的γ、β 及C 均為常數(shù)，而實(shí)際的湍流邊界層的變化是十分復(fù)雜的，不能將γ、β 及C當(dāng)作常量處理.對(duì)此，本研究利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)SL 標(biāo)度律的參數(shù)γ、β 進(jìn)行擬合分析.

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)備與相關(guān)參數(shù)

本研究在對(duì)實(shí)驗(yàn)段相關(guān)數(shù)據(jù)的測(cè)量時(shí)運(yùn)用PIV系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)的.PIV 系統(tǒng)［10］是一種較為先進(jìn)的流動(dòng)測(cè)量技術(shù)，現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用在流體力學(xué)測(cè)量中.實(shí)際的實(shí)驗(yàn)裝備由PIV 系統(tǒng)和實(shí)驗(yàn)水槽構(gòu)成，其中，CCD相機(jī)、激光器、同步器、幀采集器以及計(jì)算機(jī)組成了PIV 系統(tǒng).

圖1 是實(shí)驗(yàn)水槽和試驗(yàn)段的示意圖.實(shí)驗(yàn)水槽的長度為1 300 mm，寬度為142 mm，實(shí)驗(yàn)時(shí)水槽中水的深度為90 mm.為了達(dá)到較好的實(shí)驗(yàn)?zāi)康模? cm長的方格蜂窩器被安裝在實(shí)驗(yàn)段的上游的收縮段之前，實(shí)驗(yàn)段的下游安裝驅(qū)動(dòng)水泵，整個(gè)實(shí)驗(yàn)段的上部未密封，來流的湍流度被降低了.同時(shí)實(shí)驗(yàn)段的水面是自由表面，沒有壓力梯度，滿足實(shí)驗(yàn)要求.在實(shí)驗(yàn)中所用示蹤粒子為直徑12 μm 的空心玻璃球，它的跟隨性較好，能夠滿足實(shí)驗(yàn)的要求.

圖1 實(shí)驗(yàn)水槽及實(shí)驗(yàn)段示意圖

實(shí)驗(yàn)在二維平面(圖1 中的xy 平面)內(nèi)進(jìn)行的，x 方向?yàn)槠叫杏谄桨宀⒀刂骄鲃?dòng)的方向，y 方向?yàn)榇怪逼桨宓姆较?實(shí)驗(yàn)時(shí)，水槽的自由流速度為0.35 m/s，摩擦速度u*=0.014587 m/s，動(dòng)量厚度θ=0.007697 m，Reθ是以動(dòng)量損失厚度和主流速度表示的雷諾數(shù)，Reθ=2 694.質(zhì)詢窗大小為16 ×16像素，在400 μs 的脈沖間隔下，能夠識(shí)別的最大速度為0.41 m/s，圖像場(chǎng)(即采集域)大小為1 472像素×1 088像素，處理得到的速度矢量場(chǎng)大小同為92×68(即x 方向92 個(gè)矢量，y 方向68 個(gè)矢量)，每個(gè)矢量對(duì)應(yīng)一個(gè)質(zhì)詢窗，采樣頻率為每秒鐘15 幅圖，對(duì)應(yīng)7.5 幅矢量圖，采集的速度矢量樣本為2 500幅.

圖2 是實(shí)驗(yàn)所得的平均速度曲線與Spalding 剖面的對(duì)比圖.可明顯看出，圖中兩條曲線比較吻合，說明當(dāng)?shù)氐倪吔鐚铀俣确植寂c充分發(fā)展的湍流邊界層速度分布在近壁面區(qū)非常相似，可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)段的湍流邊界層已經(jīng)達(dá)到充分發(fā)展，符合實(shí)驗(yàn)條件.

圖2 Reθ =2 694 時(shí)的邊界層平均速度剖面與Spalding 剖面比較

3 結(jié)果與分析

本研究利用ESS 標(biāo)度律、廣義ESS 標(biāo)度律和新形式標(biāo)度律3 種標(biāo)度律［11］，對(duì)SL 標(biāo)度律相關(guān)參數(shù)進(jìn)行擬合.這3 種形式的標(biāo)度指數(shù)的表達(dá)式為:

1)ESS 標(biāo)度指數(shù).

2)廣義ESS 標(biāo)度律的標(biāo)度指數(shù).

3)新形式標(biāo)度律標(biāo)度指數(shù).

式中，Sp是脈動(dòng)量的結(jié)構(gòu)函數(shù)，Sp(r)=〈| u(x + r)－ u(x)|p〉=〈|u(r)|p〉，〈〉是系綜平均.

4)利用文獻(xiàn)［12］的湍流耗散率公式，

和湍流的能量耗散率公式，

代入式(3)、(4)、(5)中對(duì)3 種形式的標(biāo)度指數(shù)進(jìn)行SL 標(biāo)度律擬合研究，3 種形式標(biāo)度指數(shù)的擬合公式為，

根據(jù)計(jì)算要求小波特性，對(duì)大量的速度數(shù)據(jù)采用小波分析的方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行提取和分析，然后用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，其中小波分析應(yīng)用的是雙正交小波Symlet 小波，它是Matlab 包中的一種，具有很好的緊致性、正交性和對(duì)稱性，能夠滿足計(jì)算的要求.

為了簡便起見，將圖3 和圖4 中的圖形進(jìn)行以下說明，橫軸代表y+，范圍是0 ～120，縱軸分別代表β 和γ，圓圈代表由公式(6)的擬合結(jié)果，即β1和γ1，菱形代表公式(7)的擬合結(jié)果，即，β2和γ2，三角形代表公式(8)的擬合結(jié)果，即β3和γ3.

3.1 SL 標(biāo)度律中間歇參數(shù)的變化情況

圖3 給出了由流向脈動(dòng)速度計(jì)算出的3 種標(biāo)度指數(shù)擬合的間歇參數(shù)在不同尺度上隨壁面距離y+的變化曲線.圖3 顯示，在小尺度a = 2dx 時(shí)，β2和β3有緩慢下降的趨勢(shì)，但變化幅度不是很大，β1下降得較快.當(dāng)在a = 4dx 時(shí)，β2和β3變化較為混亂，而β1相對(duì)β2和β3來講，變化并不是很大.在a = 8dx時(shí)，β3的變化不是很穩(wěn)定，β2在黏性底層時(shí)變化不大，在對(duì)數(shù)律層，y+在大約40 ～60 之間時(shí)，β2基本不變，在y+大約是在70 ～112 之間時(shí)，β2變化也較小，只是在兩個(gè)區(qū)域內(nèi)β2的數(shù)值相差較大.當(dāng)a =16dx 時(shí)，β1大都在0.49 上下變化，β2除了少數(shù)點(diǎn)外，大多在0.13 上下震蕩，到了y+= 80 后有上升的趨勢(shì);而β3在過渡層內(nèi)變化不大，在對(duì)數(shù)律層內(nèi)震蕩較大.當(dāng)a = 32dx 時(shí)，β1、β2和β3相對(duì)前面的尺度來講，變化趨于穩(wěn)定.從整體上看，間歇參數(shù)隨著壁面距離的不同而變化，隨著尺度的增加，間歇參數(shù)也在逐漸地減小，但β1相對(duì)于β2和β3而言，它的變化較小.本研究認(rèn)為原因在于計(jì)算β2和β3時(shí)融入了能量耗散率，而隨著尺度的差異，計(jì)算出的能量耗散率也不完全相同，湍流的很多局部特征被很好地顯現(xiàn)出來了.上述得到的結(jié)果和文獻(xiàn)［12］不盡相同.文獻(xiàn)［12］運(yùn)用的是HWA 測(cè)量方法，在有限的法向位置上對(duì)間歇參數(shù)進(jìn)行的擬合分析，得出的結(jié)論是間歇參數(shù)不隨壁面測(cè)點(diǎn)位置的變化而改變，在計(jì)算和擬合的過程中未說明具體的尺度參數(shù);而在本研究中，是對(duì)實(shí)驗(yàn)段的整個(gè)測(cè)量范圍中的全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.通過對(duì)不同位置和尺度的間歇參數(shù)的擬合研究可以看出，本研究結(jié)論與文獻(xiàn)［13］的結(jié)論有部分是一致的，差異之處在于，在本研究中，a = 32dx 的大尺度上，在y+的一些范圍內(nèi)，由廣義ESS 標(biāo)度指數(shù)和新形式標(biāo)度指數(shù)擬合得到的間歇參數(shù)是穩(wěn)定的.從總體上看，隨著尺度由小到大，間歇參數(shù)則整體上出現(xiàn)由大到小的趨勢(shì)(個(gè)別點(diǎn)除外)，從層次相似性來講，大尺度的層次相似性要比小尺度的層次相似性弱.

圖3 不同尺度的間歇參數(shù)(β)隨y+ 的變化情況

3.2 SL 標(biāo)度律中速度結(jié)構(gòu)函數(shù)最奇異標(biāo)度指數(shù)γ的變化情況

圖4 反映了最奇異標(biāo)度指數(shù)γ 在不同的尺度上隨壁面距離變化的曲線.圖4 顯示，在a = 2dx 的較小尺度上，3 個(gè)最奇異標(biāo)度指數(shù)γ1、γ2和γ3的變化曲線混雜在一起，較為混亂;隨著尺度的不斷增加，3個(gè)最奇異標(biāo)度指數(shù)都在慢慢增大，并隨著壁面距離的變化逐漸趨于平緩.到了大尺度a = 32dx 時(shí)，γ2不隨y+的變化而變化，為一常數(shù)，而γ1和γ3也僅僅是在各自的2 個(gè)數(shù)值上變化，且2 個(gè)的數(shù)值差別都不是很大.在3 個(gè)最奇異標(biāo)度指數(shù)中，變化最明顯的是γ2，在小尺度上，隨著壁面距離的變化，最奇異標(biāo)度指數(shù)變化混亂，到了大尺度上，最奇異標(biāo)度指數(shù)不隨壁面的距離變化而變化，為一常數(shù).因此，這一運(yùn)算結(jié)果也從另一方面說明了湍動(dòng)能的級(jí)串過程［15］，也就是說，在整個(gè)湍流中，大尺度脈動(dòng)在較少地耗散能量的同時(shí)又在不斷地輸出能量，就像是一個(gè)特大的蓄能池，與此不同的是，小尺度湍流則消耗掉了大尺度運(yùn)送過來的動(dòng)能，就像一個(gè)專門消耗能源的機(jī)械，這就是湍流的級(jí)串過程.

圖4 不同的尺度時(shí)最奇異標(biāo)度指數(shù)(γ)隨y+ 的變化情況

3.3 流動(dòng)結(jié)構(gòu)顯示

圖5 反映了流向脈動(dòng)速度場(chǎng)的原始等值線圖，圖6 顯示了由小波分析重構(gòu)后的不同尺度下流向脈動(dòng)速度的等值線圖.圖5 是比較有代表性的湍流邊界層，沒有規(guī)律可循.利用小波分析重構(gòu)原理，可將圖5 的數(shù)據(jù)處理后得到圖6.其規(guī)律呈現(xiàn):在小尺度下，由于湍動(dòng)能的消耗與級(jí)串等原因，通過小波分析重構(gòu)后的速度等值線圖仍然很雜亂，但由于尺度的變大，重構(gòu)后的速度等值線圖越來越明顯，尤其是在大尺度a = 32dx 時(shí)，速度等值線圖有劇烈震蕩的位置和數(shù)值表現(xiàn)出明顯的規(guī)律，此種變化和最奇異標(biāo)度指數(shù)的變化曲線相對(duì)應(yīng)，即在小尺度上，最奇異標(biāo)度指數(shù)的變化較為混亂，隨著尺度的增加，最奇異標(biāo)度指數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定，不隨壁面距離的變化而改變;受到最奇異標(biāo)度指數(shù)及耗散率的作用，層次相似參數(shù)(間歇參數(shù))的規(guī)律性變化不明顯.圖6 的流動(dòng)圖案和圖5 的擬合結(jié)果是相輔相成的，這也從另一個(gè)方面驗(yàn)證了標(biāo)度律計(jì)算的正確性，但SL 標(biāo)度律的相關(guān)系數(shù)的確定還需進(jìn)一步研究.

圖5 流向脈動(dòng)速度場(chǎng)的原始等值線圖

圖6 小波分析重構(gòu)后的流向脈動(dòng)速度在不同尺度上的等值線圖

4 結(jié) 論

通過對(duì)上述間歇參數(shù)和最奇異標(biāo)度指數(shù)的擬合研究可以看出:隨著尺度的不斷增加，間歇參數(shù)隨壁面距離的變化逐漸趨于穩(wěn)定，特別是由廣義ESS 標(biāo)度指數(shù)和新形式標(biāo)度指數(shù)擬合計(jì)算出的間歇參數(shù)在大尺度上只是在有限的幾個(gè)數(shù)值上變動(dòng)，也就是說，在大尺度上，壁面距離對(duì)間歇參數(shù)的影響不大;而對(duì)于最奇異標(biāo)度指數(shù)而言，隨著尺度的增加，3 個(gè)最奇異標(biāo)度指數(shù)慢慢平穩(wěn)下來，最奇異標(biāo)度指數(shù)的穩(wěn)定性和尺度的大小是一致的，也就是說，在大尺度上，最奇異標(biāo)度指數(shù)與壁面位置無關(guān).就整體而言，尺度越大，間歇參數(shù)反而越小，從相似性方面講，大尺度脈動(dòng)的層次性比小尺度脈動(dòng)的層次相似性小，最奇異標(biāo)度指數(shù)則隨著尺度的增加逐漸增大，說明大尺度脈動(dòng)結(jié)構(gòu)具有較多的有序成分，空間分布上也更加不平均，此從另一個(gè)方面說明了大尺度結(jié)構(gòu)的相干性比小尺度結(jié)構(gòu)的相干性更顯著.最后，通過對(duì)不同尺度下脈動(dòng)速度的小波分析和重構(gòu)，并與擬合結(jié)果對(duì)比顯示了標(biāo)度律運(yùn)算的合理性，這為后續(xù)湍流邊界層標(biāo)度律和相干結(jié)構(gòu)的研究提供了實(shí)驗(yàn)依據(jù)，也為進(jìn)一步解決水庫滑坡，邊坡穩(wěn)定等工程問題提供了理論基礎(chǔ).

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