一種小線段平滑過渡軌跡控制算法的實(shí)現(xiàn)

林 峰，鄭力新

(1.福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校 信息管理工程系，福建 福州 350012;2.華僑大學(xué) 工學(xué)院，福建 泉州 362021)

0 引 言

在數(shù)控加工系統(tǒng)中，對(duì)于加工工件的曲面通常采用直線段進(jìn)行逼近，即把待加工的圖形分解成一系列的小線段后，再由數(shù)控系統(tǒng)中的控制器對(duì)每個(gè)小線段進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算.為了保證加工精度，傳統(tǒng)的直線插補(bǔ)算法在每個(gè)小線段之間進(jìn)行加減速處理，使加工每條小線段時(shí)的初始速度和終止速度都為零.這種方式必然造成系統(tǒng)的頻繁啟停，使得加工效率低，且加工的質(zhì)量不高.為了解決這些問題，科研人員相繼開展了小線段過渡技術(shù)的研究，并取得了一定成果［1－6］.為了進(jìn)一步提高小線段的加工效率，使小線段之間的過渡更為平滑，本研究提出了一種小線段平滑過渡算法，使其能夠應(yīng)用于一般的控制器中，從而在滿足加工精度和機(jī)械特性的條件下，提高工件的整體加工效率.

1 圓弧過渡的數(shù)學(xué)模型

如圖1 所示，由點(diǎn)Pi－1、Pi、Pi+1所構(gòu)成的線段Pi－1Pi、PiPi+1分 別 為2 條 相 鄰 的 小 線 段，圓 弧為在兩線段之間插入的過度曲線，其中Q0、Q2分別為圓弧在線段Pi－1Pi、PiPi+1上的切點(diǎn)，Q1為圓弧的中點(diǎn).為了分析圓弧與兩線段之間的關(guān)系，如圖2 所示，首先建立一個(gè)以Q0為原點(diǎn)、以為X 軸正向和以為Y 軸正向的坐標(biāo)系.假設(shè)加工路徑為Pi－1→Pi→Pi+1，Pi為線段之間的拐角點(diǎn)，按照這個(gè)順序取向量為和，則將2 個(gè)向量之間的夾角作為線段之間的夾角.在這個(gè)順序下，Q0即為過渡圓弧的接入點(diǎn)，而Q2即為過渡圓弧的轉(zhuǎn)出點(diǎn).

圖1 圓弧過渡示意圖

圖2 圓弧過渡坐標(biāo)系

圖2 中，△Q0OQ2為等腰三角形，從而可以推出△Q0PiQ2也為等腰三角形，因此拐角點(diǎn)Pi到接入點(diǎn)Q0和轉(zhuǎn)出點(diǎn)Q2的距離是相等的，即Pi到接入點(diǎn)Q0和轉(zhuǎn)出點(diǎn)的距離稱為線段Pi－1Pi和PiPi+1完成圓弧過渡所需的最小長(zhǎng)度，這里稱它為過渡距離.由于線段PiQ1垂直于圓O 上過點(diǎn)Q1的切線，所以線段PiQ1的長(zhǎng)度為拐角點(diǎn)Pi到過渡圓弧的最短距離，稱之為輪廓誤差.

假定線段Pi－1Pi與PiPi+1的長(zhǎng)度分別為Si和Si+1，且它們之間的夾角為α，過渡圓弧半徑為r，圓心角為φ，拐角點(diǎn)Pi到圓弧的最短距離為e，以及完成圓弧過渡所需的過渡距離為l.根據(jù)幾何知識(shí)，可以得到下面這組式子，

通過式(1)就可推導(dǎo)出相鄰小線段之間的夾角α、小線段的過渡距離l、拐角點(diǎn)到過渡圓弧的最短距離e 以及過渡圓弧的半徑r 之間的關(guān)系為，

2 圓弧過渡算法

采用插入圓弧的方式來實(shí)現(xiàn)相鄰小線段之間的平滑過渡時(shí)，實(shí)際加工路徑與原始加工路徑會(huì)有一定偏差.首先，需要滿足的就是使加工的輪廓誤差在允許范圍之內(nèi)，根據(jù)輪廓誤差、兩線段夾角和線段長(zhǎng)度就可以確定過渡圓弧的半徑以及接入點(diǎn)和轉(zhuǎn)出點(diǎn)，然后通過兩線段的向量關(guān)系得出過渡圓弧的旋轉(zhuǎn)方向，其次，是在過渡圓弧上的進(jìn)給速度需滿足加工平臺(tái)的機(jī)械特性，根據(jù)所允許的最大加速度即可算出最大進(jìn)給速度.最后，計(jì)算出全路徑上的數(shù)據(jù)并與控制器的插補(bǔ)指令相結(jié)合，即可實(shí)現(xiàn)小線段的平滑過渡.

2.1 過渡圓弧半徑和接入點(diǎn)、轉(zhuǎn)出點(diǎn)的確定

在兩線段間插入過渡圓弧后，實(shí)際加工路徑將不同于原始加工路徑，因此存在著一定的輪廓誤差.這個(gè)輪廓誤差的最大值就是拐角點(diǎn)到過渡圓弧中點(diǎn)的距離.為了使加工精度能夠滿足要求，在確定過渡圓弧的半徑和接入點(diǎn)、轉(zhuǎn)出點(diǎn)時(shí)需考慮它的輪廓誤差，因此取最大輪廓誤差Em來限制過渡圓弧的參數(shù).將Em代入式(2)中，可以得到由最大輪廓誤差所限制的過渡距離lc為，

由于式(3)是建立在圖2 的數(shù)學(xué)模型之上，且實(shí)際的Em取值會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于線段長(zhǎng)度，因此最大輪廓誤差Em限制的過渡距離lc一定小于相鄰線段的長(zhǎng)度.

圖3 線段自身長(zhǎng)度限制示意圖

如圖3 所示，任意3 條連續(xù)的小線段Pi－1Pi、PiPi+1、Pi+1Pi+2構(gòu)成了2 個(gè)相鄰的拐角，它們之間存在公共線段PiPi+1，因而2 個(gè)拐角在公共線段PiPi+1上的過渡距離可能發(fā)生重疊的情況，即后一個(gè)過渡圓弧的接入點(diǎn)位置在前一個(gè)過渡圓弧轉(zhuǎn)出點(diǎn)之前，所以過渡圓弧的半徑和過渡距離不僅受到最大輪廓誤差的限制，還受到小線段自身長(zhǎng)度的限制.假設(shè)受到線段自身長(zhǎng)度限制的過渡距離為ls，且每條小線段上的過渡距離不超過自身長(zhǎng)度的一半，則有，

為了使如圖1 所示的小線段Pi－1Pi和PiPi+1之間的過渡圓弧能夠同時(shí)滿足最大輪廓誤差和小線段長(zhǎng)度2 個(gè)約束，這里分成2 種情況進(jìn)行討論，以確定過渡圓弧的半徑r 和圓弧的接入點(diǎn)Q0及轉(zhuǎn)出點(diǎn)Q2.

1)當(dāng)lc≤ls時(shí)，表明由最大輪廓誤差確定的過渡距離能夠同時(shí)滿足小線段自身長(zhǎng)度的要求，因此過渡圓弧的參數(shù)僅根據(jù)最大輪廓誤差得出即可.此時(shí)過渡距離為lc，根據(jù)式(3)和幾何上的比例關(guān)系可以計(jì)算出過渡圓弧的半徑r 和圓弧的接入點(diǎn)Q0及轉(zhuǎn)出點(diǎn)Q2，它們分別為，

2)當(dāng)lc＞ls時(shí)，表明由最大輪廓確定的過渡距離不能夠滿足小于小線段自身長(zhǎng)度一半的要求，因此還應(yīng)該由小線段長(zhǎng)度進(jìn)一步約束過渡圓弧的參數(shù).此時(shí)的過渡距離為ls，同理，根據(jù)幾何上的比例關(guān)系可以計(jì)算出過渡圓弧的半徑r 和圓弧的接入點(diǎn)Q0及轉(zhuǎn)出點(diǎn)Q2，它們分別為，

首先根據(jù)最大輪廓精度和小線段長(zhǎng)度算出由它們分別決定的過渡距離，比較lc和ls根據(jù)情況將其一和線段端點(diǎn)Pi－1、Pi、Pi+1代入式(5)或(6)中就可以得到唯一的滿足最大輪廓誤差和小線段長(zhǎng)度2 個(gè)條件的過渡圓弧.

2.2 過渡圓弧旋轉(zhuǎn)方向的確定

圓弧插補(bǔ)有2 種描述方法:半徑描述方法和圓心坐標(biāo)描述方法.本研究的過渡圓弧采用的是半徑描述的方法，除了確定圓弧的起始坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)和半徑外，還需要判斷其是順時(shí)針或逆時(shí)針方向.在向量的叉乘中，2 個(gè)向量的向量積方向同樣符合右手定則，因此本研究將一系列小線段所在的平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為三維坐標(biāo)系，即原來小線段所在的xOy 面保持不變，作垂直于該坐標(biāo)平面的軸為z 軸，然后以相鄰小線段為向量，研究它們的向量積方向就可以判斷出相鄰小線段間過渡圓弧的旋轉(zhuǎn)方向.

假設(shè)有如圖1 的相鄰小線段，且Pi－1、Pi、Pi+1的坐標(biāo)分別為(xi－1，yi－1)、(xi，yi)、(xi+1，yi+1)，將平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為三維坐標(biāo)系后，由于小線段處于xOy面上，因此Pi－1、Pi、Pi+1在三維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xi－1，yi－1，0)、(xi，yi，0)、(xi+1，yi+1，0)，則 向 量分別表示為(xi－ xi－1，yi－ yi－1，0)、(xi+1－ xi，yi+1－ yi，0).設(shè)根據(jù)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式，

可知，

2.3 過渡圓弧段最大進(jìn)給速度的確定

直線段的插補(bǔ)按照設(shè)定的最大進(jìn)給速度工作，受到工作平臺(tái)機(jī)械特性的約束，其所能提供的最大加速度是有限的.為了保證加工過渡圓弧時(shí)的法向加速度滿足加工平臺(tái)的機(jī)械特性，需要限定過渡圓弧段的最大進(jìn)給速度.假設(shè)加工平臺(tái)所能提供的最大加速度為am，過渡圓弧的半徑為r，則根據(jù)向心加速度公式得出由最大加速度所限制的過渡圓弧段的最大進(jìn)給速度vm為，

為了使過渡圓弧既能符合加工工藝的要求，又能滿足加工平臺(tái)機(jī)械特性，最終過渡圓弧段的最大進(jìn)給速度應(yīng)取系統(tǒng)設(shè)定最大速度、最大加速度限制的進(jìn)給速度vm中的最小值，即，

在進(jìn)入到過渡圓弧段之前，應(yīng)當(dāng)提前進(jìn)行減速，使加工速度在過渡圓弧的接入點(diǎn)時(shí)恰好為v，并以該速度完成過渡圓弧的加工.

2.4 離線的前瞻控制

一般意義上的前瞻控制是實(shí)時(shí)的，若本研究算法采用實(shí)時(shí)前瞻控制實(shí)現(xiàn)，那么控制器應(yīng)當(dāng)先由用戶對(duì)加工圖形進(jìn)行編程，用直線插補(bǔ)指令對(duì)分解出來的一系列小線段進(jìn)行直線插補(bǔ).當(dāng)使用前瞻控制功能時(shí)，控制器從用戶編寫的指令中預(yù)先獲取待加工路徑的幾何信息，提前計(jì)算出各個(gè)相鄰小線段拐角處過渡圓弧的參數(shù)和最大進(jìn)給速度，并插入到相應(yīng)的拐角中，然后按照平滑后的加工路徑進(jìn)行加工，如圖4 所示.

圖4 平滑后的加工路徑

本研究采用固高GTS-400-PV 運(yùn)動(dòng)控制卡對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證，因此無法對(duì)其進(jìn)行前瞻控制，只能采用離線的方式完成前瞻控制功能并用控制卡自身的指令實(shí)現(xiàn).對(duì)此，本研究使用VC 6.0 作為開發(fā)工具，編寫程序完成前瞻控制的運(yùn)算并產(chǎn)生相應(yīng)的代碼.首先將原始路徑上各個(gè)端點(diǎn)的數(shù)據(jù)保存于文本文檔中，并與該程序存放于相同目錄下，運(yùn)行程序后自動(dòng)讀取文檔中的數(shù)據(jù)，再根據(jù)這些數(shù)據(jù)和程序中設(shè)定好的諸如最大加速度、進(jìn)給速度等加工參數(shù)自動(dòng)計(jì)算各個(gè)拐角處過渡圓弧的參數(shù)以及每個(gè)過渡圓弧段的最大進(jìn)給速度，最后將計(jì)算出來的結(jié)果按照該型號(hào)控制卡直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的指令格式輸出至新的文本文檔中，將指令復(fù)制到控制卡的程序代碼中，即可完成前瞻控制的功能.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在工件的小線段加工中，加工效率的高低主要取決于各個(gè)拐角點(diǎn)所允許的最大進(jìn)給速度.本研究采用固高GTS-400-PV 運(yùn)動(dòng)控制卡進(jìn)行驗(yàn)證.在進(jìn)給速度F = 20 pulse/ms，最大加速度am= 0.15 pulse/ms2，最大輪廓誤差Em= 1 pulse 的條件下，分別采用直接過渡的方式和本研究算法對(duì)如圖5 的圖形進(jìn)行加工，圖中一端為原點(diǎn)的斜線為圖形加工前的過渡段，計(jì)入整個(gè)加工過程，并實(shí)際測(cè)試它們的加工時(shí)間和加工時(shí)的速度曲線，結(jié)果如圖6、7 所示.

圖5 工件加工圖形

圖6 直接過渡方法的速度曲線

圖7 本研究算法的速度曲線

圖6、7 顯示，采用直接過渡的方式進(jìn)行加工的時(shí)間為29 063 ms，而采用本研究算法進(jìn)行加工的時(shí)間為25 250 ms.相比于直接過渡的方式，本研究算法對(duì)加工效率的提升為13.12%.同時(shí)，從加工時(shí)的速度曲線來看，直接過渡的方式在各個(gè)拐角點(diǎn)處仍保持一定的進(jìn)給速度，其加減速頻率明顯降低，整體速度有了大幅提高，但采用本研究算法時(shí)的速度曲線相比于直接過渡方法更為平滑，加減速頻率進(jìn)一步降低，且平均速度也有了一定的提高，有效提升了加工效率.

4 結(jié) 論

本研究在分析現(xiàn)有小線段平滑過渡算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)一般控制器的需求，首先建立過渡圓弧的數(shù)學(xué)模型，并以此推導(dǎo)基于過渡圓弧的小線段平滑過渡算法，最后采用固高GTS-400-PV 運(yùn)動(dòng)控制卡進(jìn)行測(cè)試.通過與控制卡前瞻控制模塊所使用的直接過渡方式進(jìn)行對(duì)比，可以看出該算法過渡平滑并實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，能夠在不影響加工質(zhì)量的條件下有效地提升小線段加工的效率.

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