變時滯脈沖高階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡的指數(shù)穩(wěn)定性

高秀芝，王炳濤

(1.山東協(xié)和學院 基礎部，山東 濟南 250109;2.山東英才學院 基礎部，山東 濟南 250104)

0 引 言

自1987年Kosko［1］首次提出雙向聯(lián)想記憶(Bidirectional Associative Memory，BAM)神經(jīng)網(wǎng)絡以來，由于BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)在模式識別和自動控制等方面得到廣泛應用，其穩(wěn)定性問題受到極大關注［2－8］．在神經(jīng)網(wǎng)絡電路實現(xiàn)過程中，由于放大器的切換速度是有限的，神經(jīng)網(wǎng)絡模擬電路不可避免地會產(chǎn)生時滯，而時滯的引入常常會破壞神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性．關于具有定常時滯或變時滯低階脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題的研究已取得一定成果［9－10］．目前，對于具有變時滯的脈沖高階BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性問題的研究還很少，因此這一問題的研究具有非常重要的意義．

研究如下高階變時滯脈沖BAM 神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，

其中，t ＞0，i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m;k = 1，2，…，0 ≤τj(t)≤τ 和0 ≤σi(t)≤σ 為傳輸時滯，且τ*= max{τ，σ};固定時刻tk滿足0 ＜t1＜t2＜…，分別表示第i 個和第j 個神經(jīng)元在t 時刻的狀態(tài)變量;fj(·)、gi(·)是神經(jīng)元的激勵函數(shù);Ii、Jj分別表示t 時刻的外部輸入．a(chǎn)i和dj都是正常數(shù)，bij、cji、bijl、cjil分別為神經(jīng)網(wǎng)絡的一階和二階連接權和分別表示第i 個和第j 個神經(jīng)元的脈沖擾動．

假設函數(shù)fj(·)、gi(·)、Hik(·)、Rjk(·)滿足如下條件:

(H1)．存在正常數(shù)kj，li，Mj，Ni使，

且，| fj(u)|≤Mj，| gi(u)|≤Ni，對一切u，v ∈R，i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m 都成立．

(H2)．存在正常數(shù)使，

對一切u，v ∈R，i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m;k = 1，2，…都成立．

1 系統(tǒng)描述與預備知識

為進一步討論系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性，引入如下定義和引理．

令Rn表示n 維實列向量空間，定義，

PC:= {φ:［－ τ*，0］→Rn| 當s ∈［－ τ*，0)時，φ(s+)= φ(s);當s ∈(－ τ*，0］時，φ(s－)存在，且φ(s－)= φ(s)僅對s ∈(－ τ*，0］中至多有限個點成立;t ∈R}．

向量值函數(shù)，z(t)= (x1(t)，x2(t)，…，xn(t)，y1(t)，y2(t)，…，ym(t))T:［－ τ*，+ ∞)→Rn+m稱為是系統(tǒng)(1)在滿足如下初始條件下的解，

如果，z(t)= PC［［0，+∞)，Rn+m］是滿足初始條件(2)的解，記滿足，x(s)= φ(s)，y(s)= φ(s)的解為，(x(t，φ)，y(t，φ))或(xt(φ)，yt(φ))，其中xt(s，φ)= x(t + s，φ)，yt(s，φ)= y(t + s，φ)，s ∈［－ τ*，0］，t ≥0.顯然，系統(tǒng)(1)的任意解z(t)在t≠tk處連續(xù)，在t = tk，t ≥0 處右連續(xù).

則系統(tǒng)(1)的平衡點z*稱為全局指定穩(wěn)定的.

引理1［11］假設(x，ρ)是一個完全度量空間，f∶X →X，且存在某個實數(shù)0 ＜k ＜1 使，

則存在唯一一個點，x0∈X，使f(x0)= x0.

引理2［12］對a ≥0，bk≥0(k = 1，2，…，m)有如下不等式成立，

其中，qk＞0，k = 1，2，…，r，為某些常數(shù)，且，= p－1，p ＞1.

引理3［13］假設常量p 和q 滿足p－q ＞0，y(t)是［t0－ τ，∞)上的非負連續(xù)函數(shù)且滿足，

則對任意，t ≥t0，有，y(t)≤y—(t0)e－k(t－t0)，其中，k ＞0 是方程，k = p－ qekτ的唯一解.

2 主要結果

定理1 如果系統(tǒng)(1)滿足條件(H1)、(H2)和2，…，m.其中，

則系統(tǒng)(1)存在唯一的平衡解.

證明 由條件(H3)可得，

定義α 如下，

顯然α ＜1.

定義映射，Φ:Rn+m→Rn+m如下，

下面證明，Φ:Rn+m→Rn+m是定義在Rn+m上的壓縮映射.

故有，

這就證明了，Φ ∶Rn+m→Rn+m是Rn+m中的壓縮映射.因此，由引理1，對映射Φ ∶Rn+m→Rn+m存在唯一的不動點，即系統(tǒng)(1)存在唯一解.

定理證畢.

定理2 如果系統(tǒng)(1)滿足條件(H1)、(H2)和(H3)，且以下條件成立，

(i)存在，qk＞0，λi＞0，μj＞0，αkj∈R，βkj∈R，γkj∈R，Ski∈R(i =1，2，…，n;j =1，2，…，m;k =1，2，…，r)，使得，其中，

(ii)存在，0 ＜ u ＜ λ*使得對所有k = 1，2，…都成立，其中，ηk=且則系統(tǒng)(1)的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

類似地，可得，

為進一步簡化，令ui(t)= xi(t)－，vj(t)=yj(t)－，i = 1，2，…，n，j = 1，2，…，m.可得，

為得到系統(tǒng)(1)全局指數(shù)穩(wěn)定的條件，定義如下Lyapunov 函數(shù)，

計算V(t)沿系統(tǒng)(1)的軌跡的Dini 右上導數(shù)可得，

對任意t ∈［t0，t1)，由Halanay 不等式可得，

即，

另一方面，根據(jù)假設(H2)有，

由于η1≥1，根據(jù)式(7)和(8)可以推出如下不等式，

類似于式(8)，對任意t ∈［t1，t2)，

由于(H2)成立，可推得，

注意到η2≥1，根據(jù)式(10)和(11)可得如下不等式，

由數(shù)學歸納法，對任意t ∈［tk，tk+1)，都有，

因此，

對任意，t ≥t0，i.e.

由定義1，得到系統(tǒng)(1)的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

定理證畢.

令qk= 1，p = 2，r = 1，λi= μj= 1，αkj= βkj=，可得如下推論.

推論1 如果系統(tǒng)(1)滿足條件(H1)、(H2)和(H3)，且如下條件成立:

(ii)存 在0 ＜ u ＜ λ*使得對任意k = 1，2，…，都成立，其中，ηk=且，則系統(tǒng)(1)的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

如果在系統(tǒng)(1)中不考慮脈沖，則得到如下系統(tǒng)，

類似于定理1，可得如下推論2.

推論2 如果系統(tǒng)(13)滿足假設(H1)、(H3)，且如下條件成立:

存在qk＞0，λi＞0，μj＞0，αkj∈R，βkj∈R，γki∈R，Ski∈R(i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m;k = 1，2，…，r)使得，其中:

則系統(tǒng)(13)的平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

3 實 例

考慮如下神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，

其中，激活函數(shù)，fj(yj)= 1/2(| yj+1| +| yj－1|)，gi(xi)= 1/2(| xi+1| +| xi－1|)，顯然有，kj= li=Mj= Ni= 1.取a1= 5，a2= 4，d1= 4，d2= 6.τ1(t)= τ2(t)= σ1(t)= σ2(t)= 0.5.

容易驗證推論1 中的所有條件均滿足，因此，系統(tǒng)(14)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

4 結 論

本研究中得到的神經(jīng)網(wǎng)絡穩(wěn)定性的充分條件容易被驗證，且其具有許多可調整的參數(shù)，通過調整這些參數(shù)可以對神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)進行設計與分析.需說明的是，本研究中所得結論不要求時滯函數(shù)是可微的.

［1］Kosto B.Adaptive bi-directional associative memories［J］.App Opt，1987，26(23):4947－4960.

［2］Arik Sabri.Global asymptotic stability of hybrid bi-directional associative memory neural networks with time delays［J］.Phys Lett A，2006，351(1－2):85－91.

［3］Gao Xiuzhi，Zhong Shouming，Liu Xinzhi.Global exponential stability of BAM neural networks with distributed delays andimpulse［C］//Proceedings of the 4th International Conference on Impulsive and Hybrid Dynamical Systems.Guangxi University，Nanning:Watam Press，2007:2916－2921.

［4］Zhou Dongming，Yu Shenghua，Zhang Zhengqiu.New LMIbased conditions for global exponential stability to a class of Cohen-Grossberg BAM networks with delays［J］.Neurocomputing，2013，121(3):512－522.

［5］Li Xiaodi，F(xiàn)u Xilin.Global asymptotic stability of stochastic Cohen-Grossberg-type BAM neural networks with mixed delays:An LMI approach［J］.J Comp Appl Math，2011，235(12):3385－3394.

［6］Zhang Zhengqiu，Liu Wenbin，Zhou Dongming.Global asymptotic stability to a generalized Cohen-Grossberg BAM neural networks of neutral type delays［J］.Neur Netw，2012，25(1):94－105.

［7］Zhang Ancai，Qiu Jianlong，She Jinhua.Existence and global exponential stability of periodic solution for high-order discrete-time BAM neural networks［J］.Neur Netw，2014，50:98－109.

［8］Liu Chao，Li Chuandong，Liao Xiaofeng.Variable-time impulses in BAM neural networks with delays［J］.Neurocomputing，2011，74(17):3286－3295.

［9］Liu Bingwen，Huang Lihong.Global exponential stability of BAM neural networks with recent-history distributed delays and impulse［J］.Neurocomputing，2006，69(16－18):2090－2096.

［10］Wang Hui，Liao Xiaofeng，Li Chuandong.Existence and exponential stability of periodic solution of BAM neural networks with impulse and time-varying delay［J］.Chaos Solit Fract，2007，33(3):1028－1039.

［11］Granas A，Dugundji J.Fixed Point Theory［M］.New York:Springer-Verlag，2003.

［12］Beckenbach E F，Bellman R.Inequalities［M］.Berlin，Germany:Springer-Verlag，1965.

［13］Halanay A.Differential equations:stability，oscillations，time lags［M］.New York:Academic Press，1966.