借助幾何直觀，提高運(yùn)算教學(xué)效率

徐偉平

數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的主要內(nèi)容之一，是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。數(shù)的運(yùn)算包括運(yùn)算概念、運(yùn)算法則和運(yùn)算規(guī)律（性質(zhì)）等，這些知識相互聯(lián)系又有所區(qū)別，是小學(xué)數(shù)運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)。在教學(xué)中，如何才能讓學(xué)生有效地形成運(yùn)算概念、掌握運(yùn)算法則和探究運(yùn)算規(guī)律呢？課標(biāo)（2011年版）指出：“幾何直觀利用圖形描述和分析問題，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用”。因此筆者以為：要提高運(yùn)算教學(xué)的效率，借助幾何直觀是一條非常有效的途徑。

一、 借助幾何直觀，理解運(yùn)算意義

運(yùn)算意義的理解直接關(guān)系著學(xué)生對運(yùn)算法則、規(guī)律的學(xué)習(xí)。課標(biāo)指出：“借助幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)?！笨梢姡诮虒W(xué)中如果教師適當(dāng)借助一些幾何直觀，幫助學(xué)生理解運(yùn)算的意義，可以提高運(yùn)算教學(xué)的效率。

1.“實(shí)物”直觀

實(shí)物與生活聯(lián)系緊密，趣味性濃，符合小學(xué)生的心理特點(diǎn)，是低年級中用得較多的幾何直觀方法。實(shí)物直觀既可以是小棒之類的實(shí)物，也可以是蘋果之類的“實(shí)物圖”。借助“實(shí)物”直觀可以幫助學(xué)生理解運(yùn)算意義，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。

2.“線形”直觀

數(shù)線圖是理解運(yùn)算的形象載體，不但可以將抽象的“數(shù)”直觀形象化，也可以將運(yùn)算直觀形象化，是幫助學(xué)生理解運(yùn)算意義的有效途徑。

[案例1]《乘法的認(rèn)識》教學(xué)片斷

（在學(xué)生認(rèn)識乘法算式，了解各部分名稱后。）

（1）如圖1：小青蛙做游戲，一步跳3格，一共跳了4步，你知道它總共跳了幾格嗎？

（2）引導(dǎo)學(xué)生通過“等距離跳躍”數(shù)數(shù)，理解：“3×□=□”

（3）引導(dǎo)學(xué)生得出：求幾個(gè)相同加數(shù)的和可以用乘法計(jì)算。

教師在教學(xué)“乘法的認(rèn)識”時(shí)，充分利用數(shù)線圖，讓學(xué)生理解“乘法就是在數(shù)線圖上從0開始幾個(gè)幾個(gè)地向右數(shù)，數(shù)到幾，積就是幾”。這種連續(xù)的“等距離跳躍”數(shù)數(shù)，還可以幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識乘法口訣中乘積的來源，理解相同加數(shù)連加的乘法本質(zhì)。同時(shí)，也可以讓學(xué)生認(rèn)識到“加法其實(shí)是在數(shù)線圖中往右數(shù)數(shù)；減法其實(shí)是在數(shù)線圖中向左數(shù)數(shù)”等，這是加法、減法等運(yùn)算意義的另一類有效表達(dá)方式。

二、 借助幾何直觀，掌握運(yùn)算法則

長期以來，廣大教師在教學(xué)運(yùn)算法則時(shí)，多強(qiáng)調(diào)運(yùn)算方法的掌握而忽視算理的理解，其中有一部分原因是不知如何引導(dǎo)學(xué)生正確理解算理。課標(biāo)指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象?！币虼嗽谶\(yùn)算教學(xué)時(shí)，教師要盡可能地借助一些必要的幾何直觀，讓學(xué)生通過觀察、想象、操作等過程，有效掌握運(yùn)算法則。

1.符號直觀

符號意識主要是指能夠理解并運(yùn)用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在運(yùn)算教學(xué)中，借助符號直觀可以把復(fù)雜的問題變得簡潔、易懂，是教學(xué)中重要的教學(xué)手段。

[案例2]《9+幾》教學(xué)片斷。

（1）出示：10+1= 10+2= 10+3= 10+4=

10+5= 10+6= 10+7= 10+8= 10+9= 口算后引導(dǎo)學(xué)生得出：“10加幾就是十幾”

（2）出示情境并引導(dǎo)學(xué)生列式“9+4=”

（在學(xué)生嘗試計(jì)算并反饋后，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生對“湊十法”的理解。）

①出示格子圖。

②同桌合作在格子里面擺9個(gè)圓片，外面放4個(gè)圓片（如圖2）。

③通過觀察，從外面拿1個(gè)放進(jìn)格子里，這樣格子里就“湊”成10個(gè)圓片，外面還有3個(gè)，“合”起來就是13個(gè)圓片。

④在原圖上進(jìn)行修改，變?yōu)椋?/p>

⑤引導(dǎo)學(xué)生思考，把4分成1和3，1和9湊成10，10加3是13。

……

在教學(xué)《9+幾》時(shí)，教師先通過“10+幾”的口算，讓學(xué)生感受到“10+幾就是十幾”的簡便，同時(shí)為“湊十法”作了有效鋪墊；然后借助格子圖讓學(xué)生經(jīng)歷操作、演示、思考等過程，把復(fù)雜的“湊十”變得直觀、簡單；最后又把9個(gè)小圓片變?yōu)椤?個(gè)○”，讓學(xué)生逐步擺脫了借助直觀對“湊十法”的理解，提升了學(xué)生思維。這節(jié)課學(xué)生通過符號化的圖形——小圓片，感知“湊十”的過程和方法，進(jìn)而理解“湊十”的意義，效果明顯。

2.圖形直觀

幾何圖形由于其簡單、直觀、易操作（折、畫），常用作數(shù)學(xué)教學(xué)的重要學(xué)具。教師如果能夠充分發(fā)揮幾何圖形的特性，挖掘幾何圖形的特有功能，注重“幾何圖形”與“數(shù)的運(yùn)算”的結(jié)合，可以幫助學(xué)生正確地理解算理。

[案例3]《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》教學(xué)片斷。

（2）在反饋的基礎(chǔ)上讓學(xué)生觀察下面的圖和相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

（5）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的變化把上面的分?jǐn)?shù)寫成：

3×□ 6×□ 12÷□ 6÷□

4×□ 8×□ 16÷□ 8÷□

（6）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

教學(xué)中，教師先讓學(xué)生把長方形三次對折涂色，比較涂色部分的大小，然后在線段圖的填數(shù)中比較分?jǐn)?shù)大小，引導(dǎo)學(xué)生觀察分子、分母的變化，總結(jié)得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐的過程中，把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合，積極思考，突破了教學(xué)的重難點(diǎn)。

2.“圖式”結(jié)合

張奠宙曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微?！眻D形與算式的結(jié)合，能有效幫助學(xué)生的理解，進(jìn)行數(shù)學(xué)的抽象與推理，提升教學(xué)效率。

[案例5]《乘法分配律》教學(xué)片斷。

（1）出示情境：（如圖7）學(xué)校要給兩塊連在一起的長方形地面鋪上草坪，至少需要購買多少平方米草皮？

（2）學(xué)生反饋：

①看作一個(gè)長方形算，列式為：（12+8）×10=200（平方米）

②先分開算再加起來，列式為：12×10+8×10=200（平方米）

（3）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計(jì)算結(jié)果把兩個(gè)算式表示為：

①（12+8）×10=12×10+8×10=200

②12×10+8×10=（12+8）×10=200

（4）改變情境：在種草坪時(shí)，想把花壇重新分割成兩個(gè)長方形，你能分一分嗎？

（學(xué)生根據(jù)圖形分割的結(jié)果列式計(jì)算，并理解算式所表示的實(shí)際意義。）

（5）引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)律得出：a×（b+c）=a×b+a×c

教學(xué)時(shí)，在求花壇草坪總面積的情境下，學(xué)生先用兩種不同策略列式求解，得出雖然算式不同，但積相等的結(jié)果；然后又通過分割圖形，把乘法分配律建立在了具體的情境之上；最后通過觀察、分析、對比、總結(jié)，深化了他們對乘法分配律的認(rèn)識。這種“圖”與“式”的結(jié)合，便于學(xué)生理解與掌握，有力地促進(jìn)了學(xué)生對知識點(diǎn)的把握。

總之，“數(shù)與形”雖然是數(shù)學(xué)教學(xué)中兩個(gè)不同的領(lǐng)域，但在教學(xué)時(shí)，教師如果能充分挖掘“數(shù)運(yùn)算”的幾何內(nèi)涵，理解“幾何直觀”的特性，打通“數(shù)與形”的聯(lián)系，“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)一定會(huì)取得意想不到的收獲。

【責(zé)任編輯：陳國慶】