如何在問題解決過程中獲得基本的數(shù)學(xué)思想

夏曉紅

【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅是傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中獲得數(shù)學(xué)思想。新課標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)把數(shù)學(xué)思考和問題解決作為兩個重要的方面，我們在教學(xué)中就應(yīng)該重新深入地探索和實踐，讓學(xué)生在問題解決過程中不斷豐富數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而獲得基本的數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】課堂教學(xué) 問題解決 數(shù)學(xué)思想方法 感悟和體會 應(yīng)用

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）07-0174-02

數(shù)學(xué)教學(xué)中有兩條線，一條是明線，即數(shù)學(xué)知識；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想。就如新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)論，也應(yīng)包括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法?！笨梢?，教師教給學(xué)生知識，是授人與“魚”，引導(dǎo)學(xué)生探索，教給學(xué)生獲得知識的方法，是授人以“漁”。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅應(yīng)該傳授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中獲得數(shù)學(xué)思想。新課標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)把數(shù)學(xué)思考和問題解決作為兩個重要的方面，我們在教學(xué)中就應(yīng)該重新深入地探索和實踐，讓學(xué)生在問題解決過程中不斷豐富數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而獲得基本的數(shù)學(xué)思想方法。

一、教師要轉(zhuǎn)變觀念，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得

以往，在教學(xué)中多強(qiáng)調(diào)“滲透”數(shù)學(xué)思想方法，可數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并不是將思想方法從外部注入到數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中去，因為在整個教學(xué)過程中，分析推理、舊知遷移、歸納猜想、抽象概括等數(shù)學(xué)思想方法是與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展和解決問題的過程密切聯(lián)系在一起的，因此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思想方法是“孕含”在解決問題的過程中的，在教學(xué)中，教師要審時度勢，隨機(jī)應(yīng)變，促進(jìn)學(xué)生對思想方法的獲得，讓思想方法在問題解決中，從深藏不露到揭開廬山真面目而顯山露水。

一般來說，在低、中段教學(xué)中，以探究數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題為明線，以數(shù)學(xué)思想方法為暗線，但在運用知識、課堂小結(jié)、復(fù)習(xí)歸納時，要根據(jù)需要對思想方法進(jìn)行提煉、歸納和概括；在高段教學(xué)中，應(yīng)該明確一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，甚至能用抽象的文字表述。如：在學(xué)習(xí)“圓”的知識時，就可以直接讓學(xué)生知道是用化歸的方法“化曲為直”推導(dǎo)圓的周長公式，用“化圓為方”推導(dǎo)圓的面積公式。

二、遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，感悟和體會思想方法

從心理學(xué)和教育學(xué)的觀點分析，不同年齡的學(xué)生有不同的思維特點，不同的智力水平和不同的思維個性，于此相匹配，小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)是一個由淺入深，由簡單到復(fù)雜，由易到難的過程，數(shù)學(xué)思想方法也不例外，在小學(xué)階段的形成過程有一個從未成形到半成形再到成熟的系統(tǒng)化過程。即：在低段教學(xué)中，常在具體感性的數(shù)學(xué)問題情境中感知數(shù)學(xué)思想方法；到了中段教學(xué)中，運用半具體半抽象的呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法，會有意識地運用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題；在高段教學(xué)中，可以采用抽象的文字表述，讓學(xué)生能靈活運用思想方法解決問題。

這方面，新版教材就是一個明顯的例子，教材中以鮮明的版塊呈現(xiàn)解決問題的一般步驟：第一學(xué)段，知道了什么？——怎樣解答——解答正確嗎？第二學(xué)段，閱讀與理解——分析與解答——回顧與反思。雖然都是給學(xué)生提供了解決問題的一個模式，但對比這兩種文字?jǐn)⑹錾系淖兓?，更加明確了在“解決問題”中教師對培養(yǎng)學(xué)生的能力應(yīng)該把握一個怎樣的度。即：低段讓學(xué)生直截了當(dāng)找出相關(guān)的數(shù)學(xué)信息并提出問題，避免學(xué)生顧左右而言它的情況，同時，對呈現(xiàn)的問題情境從數(shù)學(xué)角度觀察、分析處理，提煉有用信息，并轉(zhuǎn)化為可以進(jìn)行運算的數(shù)學(xué)符號，讓學(xué)生不知不覺中建立了數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。到了高年級提供大量相關(guān)和不相關(guān)信息，要求學(xué)生有較強(qiáng)的篩選、提煉信息的能力，在引領(lǐng)學(xué)生有序地組織和實施解決問題的過程，先發(fā)現(xiàn)問題，接著分析、解決問題，最后對解答的結(jié)果和解決的思想方法進(jìn)行檢驗和回顧反思，在分析和解答環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)不同的思維水平、不同思考角度的問題解決方法，尊重不同學(xué)生的發(fā)展現(xiàn)實，體現(xiàn)方法的多樣性。

三、精心設(shè)計學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，謀求數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，而這一能力的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建，在教學(xué)中，教師要精心設(shè)計學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，以使學(xué)生探究現(xiàn)實的問題，并最終提煉出基本的數(shù)學(xué)思想，教給學(xué)生舉一反三的方法。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是以數(shù)學(xué)知識為載體，師生共同努力，通過一系列的活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，形成一定的解決數(shù)學(xué)問題的策略和方法。

如，在教學(xué)“植樹問題”時，以數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用為主線，設(shè)計了幾個活動的環(huán)節(jié)：①出示題目：同學(xué)們在全長500米的小路的一邊植樹，每隔5米植一棵，一共需要多少棵樹？體驗500米的數(shù)據(jù)過大，轉(zhuǎn)化為10米或20米。②用畫圖解決問題，發(fā)現(xiàn)三種不同的情況，引導(dǎo)建立樹和間隔之間一一對應(yīng)的關(guān)系，從而實現(xiàn)建模。③讓學(xué)生用植樹問題的數(shù)學(xué)模型解決“鋸木頭”、“公交站點”等生活中的問題。④最后，提出問題讓學(xué)生思考和總結(jié)：我們是怎樣研究植樹問題的？引導(dǎo)學(xué)生回顧在解決問題時用的“數(shù)形結(jié)合”、“化繁為簡”、“一一對應(yīng)”、“數(shù)學(xué)模型”、“對比策略”。這樣，在一系列精心組織的活動中，探索的過程就深深地留在學(xué)生的心里，學(xué)生不僅積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，而且數(shù)學(xué)的思想方法也就在不知不覺中形成了，成為他們今后解決問題的重要策略。

四、培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高靈活應(yīng)用方法的能力

數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師只單純傳遞知識，會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)過程單薄，內(nèi)在發(fā)展性不強(qiáng)，因此，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中不斷總結(jié)，逐步領(lǐng)悟和獲得數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的問題解決能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

如：在解決“雞兔同籠”問題時，首先引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)字較大的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)字較小的相同問題：“籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)有8個頭，從下面數(shù)有26只腳。雞和兔各有幾只？”，題目的變化，為問題的分析和思考帶來了方便，其中就是轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)。接著，引導(dǎo)學(xué)生猜想籠中的雞和兔各有幾只？對猜想的結(jié)果用列表的方法求證。先猜想，再求證，這是在解決問題中常用的思想方法，對猜想過程的有序列表教會了學(xué)生列舉的思想方法。此外，還用了假設(shè)的方法，假設(shè)籠子里都是雞，學(xué)生馬上就想到還可以假設(shè)籠子里都是兔。假設(shè)的思想方法為快捷解決問題提供了便利，更為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力開辟了途徑。最后還引導(dǎo)學(xué)生用了列方程的代數(shù)方法，在已知和未知數(shù)之間建立一個等式，這種解決問題的思想方法可化難為易，特別是在解決比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時就更加體現(xiàn)它的直接、簡單。

從這個例題中可以看出，運用不同的數(shù)學(xué)思想方法就有了不同的思路，產(chǎn)生不同的解決問題的過程，但最終都能達(dá)到相同的結(jié)果。這種對同一數(shù)學(xué)問題多角度的審視而引發(fā)的一題多解，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性；同時，教師還應(yīng)組織引導(dǎo)學(xué)生對各種解法的簡捷性進(jìn)行反思評估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性。這樣，在解決問題的過程中，讓學(xué)生不斷經(jīng)歷對數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的“模仿——初步應(yīng)用——自覺應(yīng)用”過程，學(xué)生就能在用中逐步內(nèi)化，獲得提升，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的不斷發(fā)展。

總之，數(shù)學(xué)知識與技能是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓。一堂有思想、有深度的數(shù)學(xué)課，往往能給學(xué)生留下永久的記憶，作為一個有思想的教師，要看到知識背后負(fù)載的方法，蘊含其中的思想，針對不同的內(nèi)容，靈活設(shè)計教學(xué)，上有思想的數(shù)學(xué)課，引導(dǎo)學(xué)生在探索和解決問題中逐漸感受、理解和掌握各類數(shù)學(xué)知識中蘊含的基本的思想方法，并能用獲得的思想方法去解決新的問題。