基于分形理論的復旦人民幣匯率指數(shù)的預測分析

康鳳華

(南京財經大學應用數(shù)學學院，江蘇南京 210046)

基于分形理論的復旦人民幣匯率指數(shù)的預測分析

康鳳華

(南京財經大學應用數(shù)學學院，江蘇南京 210046)

運用R/S分析法和Hurst指數(shù)對復旦人民幣實際有效匯率指數(shù)的結構特征進行分析，發(fā)現(xiàn)市場具有狀態(tài)持續(xù)性和分形分布的特征;同時建立分形插值模型描繪其在一段時間內的變化規(guī)律，并預測短期內的指數(shù)走勢，發(fā)現(xiàn)與原數(shù)據(jù)走勢基本一致，且其平均標準誤差僅為2.618%.結果表明，運用Hurst指數(shù)來估計垂直比例因子和利用分形插值模型預測復旦人民幣匯率指數(shù)均是可行的.

分形插值;R/S分析;Hurst指數(shù)

復旦人民幣匯率指數(shù)由復旦大學金融研究院主持研發(fā)，于2010年10月22日正式對外發(fā)布.該指數(shù)為貿易加權綜合匯率指數(shù)，反映了人民幣匯率對中國對外貿易競爭力的綜合影響.復旦人民幣匯率指數(shù)是按日編制并發(fā)布，不同于國際清算銀行編制的人民幣有效匯率指數(shù)按月編制滯后1月發(fā)布，因而提高了人民幣匯率指數(shù)的及時性和動態(tài)性.目前人們對人民幣匯率問題的關注主要聚焦于人民幣對美元的雙邊匯率，談到人民幣升值或貶值就只看人民幣對美元的匯率，而實際上對國際貿易影響較大的是以貿易加權的實際有效匯率，所以從宏觀經濟效應來看，對匯率關注的焦點應該從人民幣對美元的雙邊匯率轉移到人民幣實際有效匯率上來［1］.

分形理論最早是由Mandelbrot于1967年提出，主要用來分析股票價格的波動變化.Peters等人將其引入到研究金融市場的復雜結構中，提出了分形市場假說，為進一步研究金融市場的非線性特征提供了一個新的方法.分形R/S分析法對于揭示金融市場的長期記憶性、分形統(tǒng)計結構等特征提供了一個穩(wěn)健的分析技術.現(xiàn)有研究已表明，人民幣匯率市場是一個具有分形和混沌結構的非線性動態(tài)復雜系統(tǒng)［2－3］.為了建立合理的分形插值模型對金融時間序列進行分析，本文采用了一種簡單實用的計算迭代函數(shù)系垂直比例因子di的算法，并以此建立了一種仿射分形插值模型［4］.

本文以復旦人民幣實際有效匯率指數(shù)為例，首先使用R/S分析法和Hurst指數(shù)分析復旦人民幣指數(shù)收益率的結構特征，再由分形插值函數(shù)的分數(shù)維定理，計算出di，并據(jù)此建立能分析和預測復旦人民幣指數(shù)的仿射分形插值模型，最后用matlab軟件來模擬和預測復旦人民幣指數(shù)的變化趨勢.

1 分形理論

1.1 分形插值原理

分形插值原理是美國科學家Barnsley于1986年在迭代函數(shù)系統(tǒng)的基礎上提出的基于拼貼原理的一種方法.對于數(shù)據(jù)集{(xn，yn):n=0，1，…，m}，其仿射變換wi具有如下形式:

令bi=0，此仿射變換wi的其余四個常數(shù)ai、ci、ei、fi可由下式得到:

式中di(垂直比例因子)為自由變量，且di∈［0，1)，否則迭代函數(shù)系統(tǒng)不收斂.由式(2)可知，di的選取對于仿射變換其余四個參數(shù)的計算有著很重要的影響，故準確計算di對預測結果尤為重要.

1.2 垂直比例因子的算法

對于離散數(shù)據(jù)集，Mazel和Hayes提出了計算di的兩種方法:幾何法和解析法［5］.在幾何法中，為了求得di，必須先求出分形插值曲線到數(shù)據(jù)集兩端點所成直線的最大縱向距離的點，由于此點只是插值曲線上的點，未必是插值點，其位置通常難以確定.李國璋利用三次B－樣條分形插值曲線，給出了求此點的代數(shù)解法［6］.然而此法在實用上很不方便，這里本文給出計算di的一種實用的方法.

根據(jù)分形插值函數(shù)的分數(shù)維定理，定義A為分形插值迭代函數(shù)系統(tǒng)的吸引子，如果，且插值點不共線，則A的分維數(shù)D滿足:

式(3)只要驗證復旦人民幣匯率指數(shù)數(shù)據(jù)具有自相似性，就可以通過分維數(shù)D計算出di，而D與自相似理論中的關鍵性參數(shù)Hurst指數(shù)(H)有如下關系:D=2－H，所以通過準確估計H值來間接計算di是簡便易行的.為了便于計算分析，設各個垂直比例因子di取值大小相等，均為|d|，則由式(3)可得:

根據(jù)式(4)，對復旦人民幣匯率指數(shù)數(shù)據(jù)進行Hurst指數(shù)估計，進而求出di的值，再由式(2)確定出其它參數(shù)的值，構建出完整的迭代系統(tǒng)，從而得到預測曲線.這里定義分形插值曲線與原歷史數(shù)據(jù)曲線的平均標準誤差ε為

2 自相似性檢測

描述一個自相似過程，關鍵的參數(shù)是Hurst指數(shù)，估計Hurst指數(shù)有方差－時間曲線法、R/S分析法(Rescaled Range Analysis)、周期圖法、小波變換分析法等等.本文使用R/S分析法來估計Hurst指數(shù)，下面對R/S分析法進行簡要描述，其他估算方法見文獻［7］.R/S分析法是經典的Hurst指數(shù)估計算法，具體描述如下:

給定時間序列T(i)，i=1，2…，N，則

根據(jù)Hurst的發(fā)現(xiàn)，在分形布朗運動的情況下，當n充分大時，有(R/S)n∝cnH，式中H稱為Hurst指數(shù)，且0≤H≤1.因此，我們只要對不同的n值，求出一系列的(R/S)n，然后利用log(R/S)n與log(n)的標繪圖逼近，即

通過最小二乘法回歸解出的斜率即為Hurst指數(shù)H.

3 實證分析

3.1 自相似性分析

選取時間跨度從2013年1月1日到2015年3月6日的復旦人民幣實際有效匯率指數(shù)(按日發(fā)布)作為研究對象，共559個數(shù)據(jù).為了消除時間序列可能存在的異方差，需要對數(shù)據(jù)進行必要的處理.利用公式Rt=ln Pt－ln Pt－1，其中Pt為第t日人民幣匯率指數(shù)，Rt為第t日對數(shù)收益率，就將此時間序列分別轉化為日對數(shù)收益率序列.圖1給出了復旦人民幣實際有效匯率指數(shù)和對數(shù)收益率的波動形態(tài).

圖1 復旦人民幣匯率指數(shù)原始數(shù)據(jù)與對數(shù)收益率圖

由圖1可看出，收益序列呈現(xiàn)出劇烈波動和波動聚集效應等特征，呈非線性變化.為了刻畫復旦人民幣匯率指數(shù)的結構特征，使用R/S分析法和Hurst指數(shù)對其收益率序列進行分析，由公式(7)可估計出Hurst指數(shù).繪制log(R/S)n關于log n的雙對數(shù)圖，如圖2所示，其中直線的斜率就是Hurst指數(shù)的估計值H=0.6689.由于0＜H＜1，說明復旦人民幣指數(shù)具有狀態(tài)持續(xù)性，再由時間序列分維數(shù)D與Hurst指數(shù)H的關系可知，D=1.3311，表明該序列有分形統(tǒng)計自相似特征.

圖2 復旦人民幣指數(shù)收益率的R/S分析圖

3.2 分形插值擬合與預測

選取時間跨度從2013年1月1日到2015年3月6日的復旦人民幣實際有效匯率指數(shù)(按日發(fā)布)作為研究對象，共559個數(shù)據(jù)，原始數(shù)據(jù)圖見圖1.先對2013年1月1日到2015年1月23日的529個數(shù)據(jù)進行分形插值擬合.將這些數(shù)據(jù)按時間進行等距分割，使得xi=31i+1，i=0，1，…，18，取(xi，yi)，i =0，1…，18為插值點集，即為構造仿射分形插值函數(shù)所需的插值點.根據(jù)表達式(4)可求得垂直比例因子di=0.1420，再由式(3)確定迭代函數(shù)系的其他系數(shù)，這樣就構造了一個含有18個仿射變換的迭代函數(shù)系.利用確定性迭代算法，經過三次迭代，得到如圖3所示的分形插值擬合曲線.

圖3 復旦人民幣指數(shù)的分形插值擬合圖

圖4 復旦人民幣指數(shù)的分形插值預測圖

比較圖1和圖2發(fā)現(xiàn)，雖然在前529個數(shù)據(jù)的原始圖與分形插值擬合圖之間存在一些誤差，但兩者總體變化趨勢是一致的.而且如果適當?shù)脑黾硬逯迭c的個數(shù)或者增加迭代次數(shù)，將會更好的模擬原始數(shù)據(jù)圖.這表明了利用分形插值來模擬復旦人民幣指數(shù)波動形態(tài)是可行的.

下面利用分形插值外推法對復旦人民幣匯率指數(shù)的變化趨勢進行預測，選取從2015年1月23日到2015年3月6日的31個數(shù)據(jù)進行預測.設x19=31×19+1，根據(jù)匯率數(shù)據(jù)變化的統(tǒng)計自相似性和擬周期性，且由di=0.1420經驗估計y19=149.66.再由式(1)和(2)確定了一個新的迭代函數(shù)系，經過三次迭代，得到復旦人民幣指數(shù)在2015年1月23日到2015年3月6日這一段時間內的預測圖，結果如圖4所示.由圖4可以發(fā)現(xiàn)，經過分形外推得到的預測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的基本走勢是一致的，且平均相對誤差約為2.618%.由此說明用分形插值來預測復旦人民幣指數(shù)的走勢是可行的.

4 結論

本文以復旦人民幣實際有效匯率指數(shù)為研究對象，選取時間跨度從2013年1月1日到2015年3月6日期間的559個數(shù)據(jù)進行分析和預測.文中首先利用R/S分析法和Hurst指數(shù)分析復旦人民幣指數(shù)收益率的結構特征，發(fā)現(xiàn)市場具有狀態(tài)持續(xù)性和統(tǒng)計自相似性.再由分形插值函數(shù)的分數(shù)維定理，給出了計算di的一種簡單實用的方法，并據(jù)此建立了能分析和預測復旦人民幣指數(shù)的仿射分形插值模型.結果發(fā)現(xiàn)，基于分形插值模型對復旦人民幣進行模擬和預測是可行的，而且結果與實際比較吻合.由于其平均標準誤差僅為2.618%，可分析得出，利用Hurst指數(shù)來估計垂直比例因子是可行的，而且這種方法不僅有理論參考依據(jù)，而且也有較高的精度.同時，它給我們提供了一個定量分析計算垂直比例因子的方法，可為我們解決一些處理數(shù)據(jù)分析的工作時遇到的難題.

［1］陳學彬，王培康，龐燕敏.復旦人民幣匯率指數(shù)的開發(fā)和應用研究［J］.復旦學報(社會科學版)，2011(2):1－15.

［2］黃飛雪，趙巖.基于分析的人民幣外匯市場分形特征實證研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報(社會科學版)，2008(6):6－71.

［3］Tang Xiaolei，Zhou Jizhong.Nonlinear relationship between the real exchange and economic fundamentals:Evidence from China and Korea［J］.Journal of International Money and Finance，2013(32):304－323.

［4］ZhaiMingyue.A newmethod for short－term load forecasting based on fractal interpretation and waveletanalysis［J］.Electrical Power and Energy Systems，2015(69):241－245.

［5］Mazel D S，Hayes M H.Using Iterated Function Systems to Model Discrete Sequences［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1999，40(7):1724－1734.

［6］李國璋，黃建波，黃海英.基于B－樣條分形插值的垂直尺度因子的計算方法［J］.軍械工程學院學報，2006，18(2):76－78.

［7］Zhai Mingyue.Signal recovery in power line communications systems based on the fractals［J］.IEEE Transactions Power Delivery，2011，26(3):1864－1872.

Forecasting Analysis of the Fudan RMB Exchange Rate Indices Based on Fractals

KANG Feng－h(huán)ua
(School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，210023，China)

The structural feature of the Fudan RMB exchange rate indices is investigated by using R/Sanalysis and Hurst indices in this paper.We find out that Fudan RMB exchange rate indices have the persistence of state and statistical properties of fractal distribution.We study the changing law of the Fudan RMB exchange rate indices during a certain time by establishing fractal interpolation model，and predict the changing tendency of the indices in a short time.We point out the forecasting results are almost the same as the original datamovements，and the standard error is only 2.618%.The fact shows that using Hurst indices and fractal interpolation model to calculate the vertical scale factor and predict the Fudan RMB exchange rate indices is feasible.

fractal interpolation;R/S analysis;Hurst indices

F832.52

A

1672－2590(2015)03－0065－05

2015－03－18

教育部人文社科規(guī)劃基金項目(12YJAZH020);南京財經大學研究生創(chuàng)新課題

康鳳華(1989－)，女，河南駐馬店人，南京財經大學應用數(shù)學學院碩士研究生.