全連續(xù)算子與拓?fù)涠鹊南嚓P(guān)證明及實(shí)例探究

祁瓊

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京 210046)

當(dāng)x∈D時(shí)必有某yi使‖Ax－yi‖＜ε，故di(Ax)＞0，從而d(Ax)＞0.

全連續(xù)算子與拓?fù)涠鹊南嚓P(guān)證明及實(shí)例探究

祁瓊

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京 210046)

非線性泛函是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中很重要的工具，非線性泛函分析包括拓?fù)涠壤碚摗胄蚍椒?、變分方法、分歧理論和Banach空間微分方程理論，本文討論非線性算子的連續(xù)性與有界性，全連續(xù)算子與拓?fù)涠认嚓P(guān)性質(zhì)的證明，并用實(shí)例證明相關(guān)結(jié)論.

非線性算子;連續(xù)性;有界性;全連續(xù)算子;拓?fù)涠?/p>

1 前言

線性方程的基本問(wèn)題是解的存在性和唯一性，而非線性方程的基本問(wèn)題是解的存在性和多解性.而拓?fù)涠壤碚撌顷P(guān)于非線性方程的多解性的理論，因此對(duì)拓?fù)涠鹊难芯磕軒椭覀兤浯致缘卮_定非線性方程的個(gè)數(shù).拓?fù)涠壤碚撌怯蒐.E.J.Brouwer［1］在1912年創(chuàng)立的，他所建立的拓?fù)涠柔槍?duì)的是有限維空間中的連續(xù)映射，即Brouwer度.全連續(xù)算子又稱(chēng)緊算子，是最接近于有限維空間上線性算子的一類(lèi)重要算子.在線性代數(shù)中，關(guān)于線性變換所相應(yīng)的線性方程組的求解問(wèn)題已被完全解決了，因此研究全連續(xù)算子有利于對(duì)無(wú)窮維及非線性方程的求解問(wèn)題.

2 全連續(xù)算子

2.1 連續(xù)性與有界性

對(duì)線性算子而言，連續(xù)性與有界性是等價(jià)的，而對(duì)非線性算子就沒(méi)有這種等價(jià)性，連續(xù)算子不一定是有界的，現(xiàn)舉例說(shuō)明.

顯然z(n)∈l2且‖z(n)‖=2，(n=1，2，…)，但f(z(n))=n→∞(n→∞).

2.2 全連續(xù)算子

____利用全連續(xù)算子定義［2］證明:設(shè)有界閉集(緊的)Ω?Rn，定義k(x，y，v)是Ω×Ω×R1上的連續(xù)函數(shù)，則積分算子K∶C(Ω)→C(Ω)，對(duì)?Ψ∈C(Ω)，有(KΨ)(x)=∫K(x，y，Ψ(y))d y，則K是全連續(xù)算子.

證明:(分三步證明)

(1)證明K是緊算子

對(duì)?Ψ∈B，?C0＞0使得‖Ψ‖≤C0，因此，B∈C(Ω)是有界集.由k(x，y，v)在Ω×Ω×［－C0，C0］連續(xù)，則?M＞0使得對(duì)?(x，y，v)∈Ω×Ω×［－C0，C0］，有 K(x，y，v)≤M，故由定理Arzela－Ascoli定理［3］，

對(duì)?x∈Ω，‖KΨ‖≤M，故K(B)在C(Ω)中有界.

(2)證明K(B)是等度連續(xù)的

?ε＞0，?δ＞0(δ=δ(ε))使得當(dāng)‖x1－x2‖ ＜δ，x1，x2∈Ω，對(duì)于

又K(x，y，v)在Ω×Ω× [－C0，C0]連續(xù)，故K(x，y，v)在Ω×Ω× [－C0，C0]一致連續(xù)，從而有?ε＞0，?δ＞0使得‖x1－x2‖＜δ時(shí)，

故

(3)證明K是連續(xù)的

則

綜上所述，K是全連續(xù)算子

2.3 全連續(xù)算子等價(jià)性的證明

設(shè)［4］A∶D→E2，且D是E2中的有界集，則下列三個(gè)結(jié)論是等價(jià)的:

(1)A∶D→E2全連續(xù);

(2)?ε＞0，?Aε∶D→Eε連續(xù)有界，使對(duì)一切x∈D均有‖Ax－Aεx‖＜ε，這里Eε是E的某個(gè)有限維子空間;

證明:(1)→(2):由假定，A(D)是E2中列緊集，故對(duì)于給定的ε＞0，?y1，…，ym∈A(D)，構(gòu)成A (D)的有限ε－網(wǎng)，用Eε表由y1，…，ym張成的有限維子空間.?y∈E2，令

顯然di(y)非負(fù)連續(xù)，且只在球‖y－yi‖＜ε內(nèi)為正.

令

當(dāng)x∈D時(shí)必有某yi使‖Ax－yi‖＜ε，故di(Ax)＞0，從而d(Ax)＞0.

由于A(D)列緊，故A(D)有界，從而?M＞0，使‖Ax‖≤M，?x∈D;而‖Ax‖≤M+ε，?x∈D;故Aε有界.

(2)→(3):由假定，?B ∶D→H連續(xù)有界，H表E的某有限維子空間，使

令A(yù)0=B0，A1=B1－B0，…，An=Bn－Bn－1，…顯然，當(dāng)n=1，2，…時(shí)，An∶D→，這里

An(n=0，1，2，…)的連續(xù)性和有界性是顯然的.

3 拓?fù)涠?/h2>

3.1 拓?fù)涠认嚓P(guān)性質(zhì)證明

定理［5］:由拓?fù)涠榷x［5］所定義的deg(f，Ω，p)具有下列四條基本性質(zhì):

(i)正規(guī)性:若p∈Ω，則deg(f，Ω，p)=1，這里I為單位算子;

(iii)區(qū)域可加性:設(shè)Ω1，Ω2?Ω是Rn中的有界開(kāi)集，Ω1∩Ω2=?，并且對(duì)任給的x∈(Ω1∪Ω2)，都有f(x)≠p，則必有

(iv)平移不變性:deg(f，Ω，p)=deg(f－p，Ω，p)

證明:

由上式知deg(H(t，.)，Ω，p)關(guān)于t是連續(xù)的.

事實(shí)上，由?(‖H(t，x)－p‖)JH(t，.)(x)在［0，1］×上連續(xù)并且是緊的，故復(fù)合函數(shù)一致收斂，i.e，?ε＞0，?δ＞0，使得當(dāng)＜δ及‖x1－x2‖＜δ時(shí)，有

所以deg(H(t，.)，Ω，p)關(guān)于t是連續(xù)的.

得證.

(iv)利用定義［5］

3.2 舉例

滿足拓?fù)涠榷x的連續(xù)非負(fù)函數(shù)

4 結(jié)論

本文對(duì)全連續(xù)算子及拓?fù)涠认嚓P(guān)定義及性質(zhì)給出了較為簡(jiǎn)潔的證明，并用相關(guān)實(shí)例對(duì)定義及性質(zhì)做出了進(jìn)一步的闡釋?zhuān)奖憷斫夥蔷€性泛函的基本知識(shí)，為之后更深層次的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

［1］Brouwer，L.EJ.Invarianz des n－dimensionalen Gabiets［J］.Math Ann，1912(71):305－313.

［2］郭大鈞.非線性泛函分析(第2版)［M］.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

［3］孫經(jīng)先.非線性常微分方程泛函方法［M］.北京:科學(xué)技術(shù)出版社，2008.

［4］郭大鈞，孫經(jīng)先，劉兆里.非線性常微分方程泛函方法［M］.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2005.

［5］陳文塬.非線性泛函分析［M］.蘭州:甘肅人民出版社，1982.

The Related Proof and Case Study of Completely Continuous Operator and Topological Degree

QIQiong
(School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，210046，China)

Nonlinear functional analysis is an important tool in the study ofmodern mathematics.Nonlinear functional analysis includes the theory of topological degree，the semi ordermethod，the variationalmethod，the theory of bifurcation and differential equation theory in Banach space.The paper discusses how to prove the related properties of continuity and boundedness of nonlinear operator，completely continuous operator and topological degree.Igive examples to prove the conclusions.

nonlinear operator;continuity;boundedness;completely continuous operator;topological degree

O177

A

1672－2590(2015)03－0006－05

2015－04－09

祁 瓊(1989－)，女，江蘇南京人，南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生.