從推箱子再談物體平衡的動(dòng)態(tài)分析

馬曉娟

（中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)，北京 100080）

推動(dòng)物體前進(jìn)是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)遇到的情形，也是中學(xué)物理經(jīng)常用來(lái)受力分析的物理情景，如圖1所示（以下討論均假設(shè)物體以及地面為剛體，圖片取自人教版物理必修1 57頁(yè)圖3.3-1圖乙）.在中學(xué)教學(xué)過程中，我們往往把物體抽象為質(zhì)點(diǎn)，那么該物體的受力很自然地可以認(rèn)為是共點(diǎn)力，此時(shí)我們可以畫出如圖2所示的受力分析圖，物體所受的4個(gè)力為共點(diǎn)力.但如果我們考慮得更加實(shí)際一些，會(huì)發(fā)現(xiàn)推力的作用點(diǎn)在箱子的左側(cè)方，而摩擦力則作用在箱子下方的接觸面上，如果我們認(rèn)為此時(shí)支持力仍然可以像重力一樣等效作用在重心上，則此時(shí)的受力圖將如圖3所示，很明顯這幾力不再共點(diǎn).那么物體此時(shí)能夠平衡么？事實(shí)上，在初中的同一直線上二力合成的教學(xué)中，很注重區(qū)分類似的情形.在北師大版物理8年級(jí)下冊(cè)40頁(yè)實(shí)驗(yàn)探究部分給出了如圖4所示的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，明確對(duì)比了力的作用線是否在同一直線的情形，強(qiáng)調(diào)了同一直線的必要性，否則物體在這樣兩個(gè)力的作用下將會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，直至達(dá)到圖4甲圖所示二力處于同一直線時(shí)的平衡狀態(tài).因此，如果圖3是物體此時(shí)的真實(shí)受力，物體必不能平衡，一定會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng).因此，一些喜歡思考的學(xué)生再進(jìn)一步觀察分析真實(shí)物理情景時(shí)往往會(huì)覺得非常疑惑，不能建立正確的物理模型并進(jìn)行分析.在這里，我們將對(duì)這一問題進(jìn)行探討.

圖1

圖2

圖3

圖4

推過箱子的人都知道，如果推得不得當(dāng)箱子將不會(huì)向前滑動(dòng)，而是會(huì)翻滾，推力的作用點(diǎn)越接近箱子的頂部，這種翻滾的現(xiàn)象就越容易出現(xiàn)，如果考慮這樣一個(gè)真實(shí)過程，除了平動(dòng)，還必須考慮到轉(zhuǎn)動(dòng).此時(shí)，我們不妨取箱子右下角與地面接觸的點(diǎn)O點(diǎn)作為支點(diǎn)來(lái)分析這種轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)（實(shí)際上箱子是三維的，很可能是以某個(gè)邊為轉(zhuǎn)軸，我們簡(jiǎn)化到二維平面來(lái)討論）.

圖5

現(xiàn)在，先讓我們來(lái)考察一下推箱子而使箱子即將繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的臨界狀態(tài).假設(shè)箱子長(zhǎng)為L(zhǎng)長(zhǎng)，寬為L(zhǎng)寬，最初靜止放置在水平地面上，水平外力F推作用在物體頂端，不斷加大F推，假設(shè)地面足夠粗糙，物體不發(fā)生平動(dòng)而是在某一時(shí)刻，使得物體將要繞O點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，即這個(gè)時(shí)刻物體底面雖然均與水平地面接觸但是此時(shí)支持力在底面上的分布是極度不均勻的，即地面給物體的支持力只作用在O點(diǎn)，物體處于將于轉(zhuǎn)未轉(zhuǎn)的臨界時(shí)刻.由于支持力與摩擦力均只作用在O點(diǎn)，故它們對(duì)于O點(diǎn)力矩為0，因此此時(shí)我們得到力矩平衡方程為

如果推力較小，則在達(dá)到該臨界狀態(tài)之前，由于物體靜止不動(dòng)，由圖分析易得方程中除F推之外的3項(xiàng)大小均不發(fā)生變化，故我們將得到

這是否意味著物體將沿著逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)呢？顯然沒有，那么什么因素使得此時(shí)的力矩仍然平衡呢？直觀的，我們會(huì)認(rèn)識(shí)到地面對(duì)物體的支持力會(huì)阻礙這種逆時(shí)針的運(yùn)動(dòng)，即此時(shí)支持力將出現(xiàn)在力矩平衡方程中，這也就意味著支持力的作用線不再過O點(diǎn)，而是有一定距離，如圖6所示（由于摩擦力始終作用在底面上，在整個(gè)過程中，其對(duì)O點(diǎn)的力矩始終為0）.那么，支持力的等效作用線到底在哪里呢？它距離O點(diǎn)的距離L支是多少呢？我們不妨寫出力矩平衡方程來(lái)分析一下，

圖6

該方程中，G，LG，L推，F(xiàn)支均是確定值（平動(dòng)平衡：F支＝G，并在推力作用點(diǎn)確定及方向沿水平的情況下，否則需增加必要的分解及討論），我們會(huì)發(fā)現(xiàn)支持力作用線到O點(diǎn)的距離將隨著推力的變化而變化，并唯一被確定，即當(dāng)推力一定時(shí)，支持力的作用線將唯一確定，我們可以將其寫為更明確的形式為

即

現(xiàn)在讓我們來(lái)分析推箱子的全過程.當(dāng)推力為0時(shí)，由于支持力大小等于重力，我們將得到L支＝LG，即此時(shí)重力作用線與支持力作用線重合，對(duì)應(yīng)是如圖6所示物體自由放置在水平面上，當(dāng)推力逐漸增大且在達(dá)到臨界值之前，支持力在底面的分布就會(huì)發(fā)生變化，使得其等效作用線所提供力臂可以提供適當(dāng)?shù)牧匾允刮矬w達(dá)到轉(zhuǎn)動(dòng)平衡.當(dāng)重力矩與推力矩相等時(shí)，支持力的力臂為0，即支持力過支點(diǎn)，這是我們上面分析過的臨界狀態(tài).在整個(gè)過程中，摩擦力作用線始終過支點(diǎn)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)，不再進(jìn)行討論.

因此，對(duì)于推箱子問題的正確認(rèn)識(shí)主要是要認(rèn)識(shí)到支持力的等效作用點(diǎn)并不固定，而是隨著推力大小的變化而變化，使得系統(tǒng)始終滿足轉(zhuǎn)動(dòng)平衡條件.如果還是簡(jiǎn)單地將支持力作用點(diǎn)認(rèn)為在重心處，則無(wú)法得到正確的結(jié)論.

那么，當(dāng)箱子開始繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)之后，假設(shè)物體保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，推力的大小又需要滿足什么樣的要求呢？

使物體繞O點(diǎn)發(fā)生勻速轉(zhuǎn)動(dòng).對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，以O(shè)點(diǎn)為支點(diǎn)，則支持力以及摩擦力的作用線過支點(diǎn)，力臂為0進(jìn)而這2個(gè)力的力矩為0，如圖7所示.設(shè)箱子對(duì)角線長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其與水平地面的夾角為θ，我們可以得到

圖7

整理可得

由上分析我們可以看到，在中學(xué)階段我們經(jīng)常將物體視為質(zhì)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行受力分析，看成質(zhì)點(diǎn)的過程等效于忽略力的真實(shí)作用點(diǎn)而將力進(jìn)行平移，使之共點(diǎn).但如果去考察真實(shí)的物理過程，即便是如此簡(jiǎn)單的物理圖景，它的平衡也不是那么簡(jiǎn)單.

本文從中學(xué)常見的物理情形出發(fā)，對(duì)真實(shí)物理情形中的平衡問題進(jìn)行了進(jìn)一步探討.雖然在中學(xué)教學(xué)中，很多時(shí)候我們不去考察物體的轉(zhuǎn)動(dòng)，但是在一些常見的物理情形中如何去理解，這是很多學(xué)生非常感興趣但同時(shí)也會(huì)很疑惑的地方.因此，如果學(xué)情允許，引導(dǎo)學(xué)生去分析一些真實(shí)過程將很有助于學(xué)生對(duì)物理學(xué)科產(chǎn)生興趣，同時(shí)在分析過程中將有助于學(xué)生將所學(xué)過的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)綜合應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)科學(xué)素養(yǎng).