芻議一個有趣的力學(xué)實驗——神奇的“鏈條噴泉”

夏 艷 楊紹蘭 張飛翔

（1.無錫市輔仁高級中學(xué)，江蘇 無錫 214112；2.無錫市第一中學(xué)，江蘇 無錫 214031）

鏈條是最為普通、古老且廣為應(yīng)用的技術(shù)之一，很多人可能認為物理學(xué)家已經(jīng)完全明白鏈條的所有規(guī)律.然而事實并非如此，近期BBC的一段節(jié)目就展示了一種奇異的“鏈條噴泉”現(xiàn)象.

圖1

視頻大概內(nèi)容是這樣的：把一條小鋼珠串成的足夠長的珠鏈堆放在燒杯中并靜置于某高處，用手拿起鏈子一端使它自由垂落，由于其重力作用整個杯中的鏈條會陸續(xù)被拖出來“流”向地面并越來越快.這沒什么新奇的，最讓人意想不到的是，當速度大到一定程度時，杯中的鏈條會從杯中先向上凌空躍起、噴涌而出，就像噴泉噴水一樣在空中形成一條讓人驚嘆的“鏈條噴泉”，如圖1所示.

簡單來講，從能量轉(zhuǎn)化的角度，讓鏈條從杯中“流”出并落到地上的能量來自于此過程中鏈條減少的重力勢能，這一點與流體的“虹吸”現(xiàn)象有點類似.但最讓人驚訝和想不通的是：珠鏈在下落前為什么會先向上凌空“躍”起、噴涌而出，形成讓人驚嘆的“鏈條噴泉”？

通過理論分析和實驗研究，下面筆者就試著來探究一下鏈條這奇妙現(xiàn)象背后的奧秘，希望能拋磚引玉.

1 讓鏈條向上“跳”起來的力是鏈條內(nèi)的張力嗎？

絕大多數(shù)人都會認為，是高速運動的鏈條內(nèi)的張力把它拉上去、形成“鏈條噴泉”的.真的是這樣嗎？

我們從最簡單的模型開始分析，將“鏈條噴泉”的運動過程抽象為這樣一個模型：鏈條單位長度的質(zhì)量為m0、堆放在離地高度為h1的桌面上，運動鏈條達到穩(wěn)態(tài)時各部分的速率均為v，豎直向上跳起的最大高度為h2，“噴泉”頂部彎曲的弧線視為圓周運動一部分，整個運動軌跡如圖2所示.

圖2

圖3

令緊靠桌面端鏈條的張力為TT，緊靠地面端鏈條的張力為TF，頂部轉(zhuǎn)彎部分鏈條內(nèi)的張力為TC.在運動達到穩(wěn)態(tài)時，鏈條各處速度為v.將懸浮在空中的“鏈條噴泉”頂端部分單獨分離出來，將其看成是一個半徑為r的半圓形，如圖3所示.

鏈條頂端做圓周運動，每一段鏈條的合力均指向圓心.若將半圓鏈條上每一點指向圓心的合力都沿水平和豎直方向進行分解，根據(jù)對稱性，水平方向的分力都抵消，水平方向的合力Fx為0；將豎直方向的分力進行積分，得豎直方向的合力Fy為

由圖3，提供圓弧段鏈條的豎直方向的合力為2TC，則有2TC＝Fy＝2m0v2，得

此式表明，頂部轉(zhuǎn)彎處鏈條張力與其速率的平方成正比，與半徑r無關(guān).可知沿其自身“流動”的鏈條就能以任意銳角轉(zhuǎn)彎從而形成任意形狀的軌跡，并非只能豎直地向上離開杯子.另外，TC＝m0v2，與r無關(guān)，這也意味著，當除張力外沒有其他力時，沿自身“流動”的鏈條可以沿任意軌跡達到穩(wěn)定狀態(tài).這個結(jié)論最早可以追溯到19世紀中期對運動繩鏈穩(wěn)定構(gòu)型的研究，在Routh.EJ所著的剛體動力學(xué)教材中第12章柔性體的運動（Motion of a flexible body）中繩鏈的運動（Motion of a string）這一節(jié)里就有詳細的推導(dǎo)，在此不再贅述.

達到穩(wěn)態(tài)時，鏈條各部分的運動速率均為v，對桌面以上的鏈條受力平衡，則有

這個過程中，對緊靠桌面處的鏈條來講，在極短的時間dt內(nèi)，有段質(zhì)量為m0vdt的鏈條被從桌面上“拉拽”起來并獲得m0v2dt的動量.如果假設(shè)這個動量是由緊靠桌面處的鏈條內(nèi)的張力TT作用了dt時間產(chǎn)生的效果，由沖量定理則有TTdt＝m0v2dt，得TT＝m0v2.與式（2）聯(lián)立可得h2＝0，即不會出現(xiàn)向上懸空的“鏈條噴泉”.

類似地，對從最頂端到地面這一段的鏈條，由受力平衡，有

由上述分析可知，緊靠桌面處鏈條的張力只是剛剛能夠把杯中的鏈條拉動并加速到速度v，如果沒有別的力來幫忙的話，鏈條只會貼著杯壁以速率v往下流，而不會向上懸空“跳”起.也就是說，只在鏈條內(nèi)部張力的作用下，鏈條是不會從杯子里先懸空向上“跳”起，像噴泉噴水一樣形成“鏈條噴泉”.

2 到底是什么力讓鏈條“跳”起來？

既然緊靠桌面的鏈條中的張力只是能夠把杯中的鏈條拉動并加速到速度v，那到底是什么其他力來幫忙讓鏈條先向上“跳”起來形成“鏈條噴泉”的呢？

由實驗確實存在“鏈條噴泉”，即h2＞0，由式（2）則有，TT＝m0v2－m0gh2＜m0v2，即僅僅靠桌面處鏈條內(nèi)的張力TT不足以提供鏈條被拉動并向上跳起的沖量，那另外一部分的力從哪來呢？唯一的可能就是桌面上托盤底部給鏈條的彈力（或還未動的鏈條堆給鏈條的彈力）.通過實驗也可以很好地印證這一點，將長珠鏈擺放在水平桌面上，拉起鏈條一端讓其從桌子右端垂落，珠鏈沿水平桌面下落前也會被先向前甩出去、形成“鏈條噴泉”，如圖4所示.由實驗視頻截圖可看出，在運動過程中，鏈條向前（圖中左側(cè)）甩出去的同時，未運動的那部分鏈條會不斷地向后退，并且未運動的鏈條越少后退現(xiàn)象越明顯，根據(jù)牛頓第三定律，未動的那部分鏈條也會給運動鏈條一個向前（圖中左側(cè)）的推力，從而將其推甩出去、在桌面上形成“鏈條噴泉”.

圖4 長鏈條在水平桌面滑落視頻截圖

因此，對于緊靠桌面處的運動鏈條，我們引入一個容器底（或靜止鏈條堆）對它的一個不規(guī)則的向上的作用力Fx，支持力Fx和張力TT的合力提供桌面處鏈條被拉動并向上跳起所需的沖量，類似地，對剛落到地面處的鏈條，我們也引入一個已落地的鏈條堆給它的向上的不規(guī)則的張力TF，它提供讓運動的鏈條減速并靜止在地面上所需要的沖量.則桌面處鏈條被拉動并向上跳起所需動量由支持力Fx和張力TT的合力提供，即

鏈條處于穩(wěn)態(tài)，在鏈條的維度上所有的力應(yīng)正比于m0v2，令

則幾式聯(lián)立，可得

根據(jù)這個推導(dǎo)結(jié)果，當a＝b＝0時，仍然可以得到h2＝0，即只受鏈條張力時，不會出現(xiàn)“鏈條噴泉”的現(xiàn)象.否則，有h2∝h1，即“鏈條噴泉”向上跳起的最大高度h2和托盤與地面高度h1成正比.

通過實驗來探究鏈條向上跳起的最大高度h2和托盤最初所處位置的高度h1之間的關(guān)系，將直徑為4.5mm的鍍鎳銅球用長約2mm的短桿串成長為50m的珠鏈，實驗結(jié)果如圖5所示，可得h2＝0.14h1，也很好地證實了上述推導(dǎo)結(jié)論.

圖5

總之，由上面分析可知，驅(qū)使鏈條向上運動的作用力并不是來自于已經(jīng)脫離容器的珠鏈的拉力，這股向上推的力最終來自于還停留在容器內(nèi)的那一部分珠鏈.也就是說，來自容器的推力才是鏈條向上“跳”起來，形成“鏈條噴泉”的主要原因，這個結(jié)論相信出乎了所有人的意料.

3 來自容器的向上推力可能的產(chǎn)生原因

既然這個幫忙往上推鏈條的力來自于杯底，那這個推力是怎么產(chǎn)生的呢？要想弄明白這個外力來源，關(guān)鍵在于弄明白珠鏈的性質(zhì)和結(jié)構(gòu).因為每兩個小鋼珠之間是用一根很短的金屬桿聯(lián)結(jié)的，如圖6所示，那么金屬桿的一端被往上拉時，因為拉力TT不是作用在質(zhì)心上，所以會使金屬桿產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，另一端就會有向下運動的趨勢，就像蹺蹺板一樣，如圖6所示.而向下運動的小球會擠壓支撐它的杯底，從而獲得杯底給它的一個向上的彈力FN，正是由于這種反彈提供了不規(guī)則的向上的推力，才使得鏈條騰空而起、懸浮在空中.

圖6

4 結(jié)語

盡管對這個實驗的研究僅僅是出于好奇，但好奇心是人類的天性，也是人類尋求知識的動力.“鏈條噴泉”這個有趣的力學(xué)實驗，器材取自生活中最普通常見的鏈條，現(xiàn)象神奇，操作簡單，可以應(yīng)用在我們實際的物理教學(xué)中，例如，在高一第1節(jié)物理緒論課上，可以教師演示也可以由學(xué)生操作，相信一定會極大地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而培養(yǎng)學(xué)生對物理的學(xué)習(xí)熱情和興趣.

另外，鏈條和繩索在工業(yè)和科技產(chǎn)業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用，甚至在衛(wèi)星和航天器上也經(jīng)常會使用繩索或鏈條，在能源危機日益嚴峻的今天，人們當然希望把驅(qū)動繩索或鏈條所需要的質(zhì)量或能量盡可能地降到最低，或許這個有趣的實驗現(xiàn)象可以對工程學(xué)有一定啟發(fā)作用.

1 視 頻 來 源：http：//v.youku.com/v＿show/id＿XN-jY2Mzc5ODc2.html；http：//v.youku.com/v＿show/id＿XNjgwNzczODYw.html

2 Routh EJ.1860Dynamics of a system of rigid bodies，with numerous examples.London，UK：MacMillan.460－492.

3 J S Biggins，M Warner.Understanding the chain fountain，Proc.R.Soc.A 8March 2014vol.470，20130689.