珠鏈噴泉原理模型

羅 良,龍春暉,楊 翔,陳夢妮,馬力果,錢 坤

(1. 湖南理工學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院,湖南 岳陽 414006; 2. 岳陽市第九中學(xué),湖南 岳陽 414000)

0 引言

一條足夠長的珠鏈有序地堆疊在一個容器內(nèi),給予其懸掛于容器外的部分一個合適的初速度,珠鏈在重力作用下會逐漸加速下落,當(dāng)速度增加到足夠大時,珠鏈即可飛躍起來,這就是珠鏈噴泉實驗(見圖1). Herrmann[1]等用動量流與能流對珠鏈噴泉現(xiàn)象進(jìn)行分析,得出珠鏈噴泉最大高度為H0,最大速度為v2= 2gH0(H0為杯子距離地面高度). 夏艷[2]等構(gòu)建由兩段直線與一段半圓組成的珠鏈噴泉穩(wěn)定狀態(tài)模型,分析珠鏈飛起高度的數(shù)值關(guān)系. 國內(nèi)外學(xué)者大多認(rèn)為珠鏈向上飛躍的推力來源是珠鏈兩小球與桿組成的基本結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)動過程中杯子給予其的反作用力[1～7]. 在進(jìn)一步考慮珠鏈大小、距地高度和用繩子代替珠鏈進(jìn)行的珠鏈噴泉擴展實驗時,發(fā)現(xiàn)一些奇特的實驗現(xiàn)象(見圖2),即無珠鏈基本構(gòu)造的繩鏈也可展現(xiàn)出同樣的噴泉現(xiàn)象. 本文將從相互作用力與慣性的角度出發(fā),建立珠鏈噴泉模型.對珠鏈運動中的類穩(wěn)態(tài)問題采用微元法進(jìn)行分析,建立非半圓軌跡模型,并利用錄像取幀技術(shù)[8]進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,以驗證模型的正確性.

圖1 珠鏈噴泉

圖2 繩鏈的噴泉現(xiàn)象

1 珠鏈噴泉物理原理

通過實驗觀測,發(fā)現(xiàn)珠鏈噴泉具有以下幾個性質(zhì):

(1)在珠鏈總長度(L總)與杯子離地高度(H地)相同的前提下,線密度越大的珠鏈飛得越高(見圖3).

圖3 珠鏈線密度越大則飛得越高

(2)在L總與珠鏈線密度相同的前提下,H地越大則珠鏈飛得越高(見圖4).

圖4 H地越大則飛得越高

(3)在珠鏈線密度與H地相同的前提下,杯內(nèi)剩余珠鏈的數(shù)量越多則飛起的高度越高(見圖5).

圖5 杯內(nèi)剩余珠鏈越多飛得越高

(4)在珠鏈離開杯子的最后一小段其飛躍的高度會突增(見圖6),繩子也有同樣的情況.

圖6 最后一小段高度突增

(5)當(dāng)杯子離地高度H地不變,且杯中有足夠多的珠鏈時,珠鏈最高點超過杯口高度(h)基本不變.

根據(jù)性質(zhì)(5),珠鏈噴泉存在一個類穩(wěn)態(tài)階段,在該狀態(tài)下整條珠鏈的速度、軌跡不變,并以此建立非半圓模型.

在類穩(wěn)態(tài)下,珠鏈形狀不變,可以看成一個個微元按照既定的軌道運動,因此分析一個微元的運動即可推出整體珠鏈的運動狀態(tài).在騰空的珠鏈中選擇任意微元進(jìn)行受力分析(見圖7),其中微元的質(zhì)量為m=M/L,此即珠鏈的線密度.

圖7 受力分析

在類穩(wěn)態(tài)下整條珠鏈的速率相同且不變,故根據(jù)牛頓第二定律得

其中Ft、Fn、Gt、Gn為該微元所受切向力和法向力,r為軌跡曲率半徑,θ取順時針為正.

法向力Fn是一個未知函數(shù),且無法從實驗測得.仔細(xì)觀察珠鏈的結(jié)構(gòu)不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)珠鏈慢慢彎曲時,隨著彎曲程度增大,需要的力越大.因此珠鏈間的作用力,也隨著彎曲程度的變化而變化,且隨著曲率半徑的增大而減小.假設(shè)類穩(wěn)態(tài)中法向力的形式為Fn=a/rn.其中a,n為常數(shù),且都只與珠鏈本身有關(guān).本文考慮n=1,n= 2兩種情況,a由實驗數(shù)據(jù)擬合計算得出.

情況1:Fn=a/r

根據(jù)法向力假設(shè),式(1)可進(jìn)一步寫成

曲率半徑表達(dá)式為

利用函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義(y＇=tanθ)與三角函數(shù)恒等式,聯(lián)立式(2)和(3),積分得

θ= 0時,對應(yīng)最大飛躍高度,即

經(jīng)過大量實驗觀察發(fā)現(xiàn),θ0都接近 π /2,故 ln cosθ0＜ 0. 對式(5)進(jìn)行分析可知,速度越大則躍起的高度越高; 若a＞ 0則質(zhì)量越大的珠鏈躍起的高度越高. 式(5)最大高度的關(guān)系式對實驗有指導(dǎo)作用.

情況2:Fn=a/r2

討論更為一般的法向力,根據(jù)向心力公式有

取n=2,聯(lián)立式(3)和(6),化簡可得高度與角度的直接關(guān)系:

其中C2=v2,C1= 4ga/m.

2 實驗驗證

設(shè)置合適的背景(刻度板),利用手機對珠鏈噴泉進(jìn)行慢動作錄像,再使用視頻截屏軟件PR 對錄像進(jìn)行處理以測量最大飛躍高度與速度等參數(shù),用電子秤和卷尺測量線密度.

(1)Fn=a/r時的參數(shù)擬合與誤差分析

將實驗中得到的各數(shù)據(jù)代入式(5)中,計算結(jié)果見表1. 其中h為杯口到頂點距離,h1為杯內(nèi)靜止部分珠鏈到頂點距離,取θ0= 87.75°.

表1 實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果

從表1可以看出,用h1計算的a1值與h計算的a值相差較小.為了方便讀數(shù)與測量,下文的實驗分析采用a值進(jìn)行分析.取a=0.4503,回代入式(6).圖8為模擬珠鏈軌跡和珠鏈實際軌跡對比圖,圖9 為珠鏈實際軌跡照片,圖10為相對誤差圖.可見計算值與實際測量值的誤差在5%以內(nèi).

圖8 計算值與實際值比較

圖9 實際軌跡

圖10 誤差分析

(2)Fn=a/r2時的參數(shù)擬合與誤差分析

根據(jù)式(7),取參數(shù)a=0.0318,y0=0.075m代入式(7)進(jìn)行數(shù)值積分,繪制誤差圖和軌跡圖,如圖11和圖12所示.

圖11 金色珠鏈誤差

圖12 金色珠鏈軌跡

分別分析不同法向力情況下的誤差,誤差大部分在3%到5%以內(nèi),因此本模型可以很好地解釋珠鏈噴泉現(xiàn)象.由公式可知,珠鏈最大飛躍高度與珠鏈速度和線密度成正比.珠鏈最大飛躍高度還與杯子距離地面高度成正比,因為距離地面高度越高,則珠鏈加速時間越長,達(dá)到類穩(wěn)態(tài)時速度越大,從而飛躍高度越高.杯內(nèi)剩余鏈條數(shù)量越多,則處于穩(wěn)態(tài)時間越長,比珠鏈數(shù)量少(在運動過程中還未達(dá)到穩(wěn)態(tài)就已結(jié)束)的速度大,故飛躍高度越高.當(dāng)最后一段珠鏈飛出杯口時,法向力常數(shù)發(fā)生突變,故高度會發(fā)生突變.至于繩子為何可以飛躍一定高度,可能是因為繩子的質(zhì)量較小,運動過程中速度較大,由于慣性的原因飛起了一定高度.

3 結(jié)束語

本文以鏈珠噴泉實驗現(xiàn)象中的類穩(wěn)態(tài)為切入點,建立數(shù)學(xué)物理方程,通過理論分析和數(shù)值模擬方法,得到了珠鏈噴泉飛躍高度、珠鏈速度和杯口距地高度之間的關(guān)系式.利用手機慢鏡頭攝像,通過錄像取幀法測出珠鏈速度和飛躍高度數(shù)據(jù),實驗數(shù)據(jù)有效證實了模型的正確性.