探析二次方程根的分布問題高考命題視角

☉江蘇省丹陽高級中學(xué) 謝洪濤

教材是數(shù)學(xué)教育專家集體智慧的結(jié)晶，里面包含要求高中學(xué)生必須掌握的知識點及相關(guān)問題的解題思想方法，但受承載容量的限制，題型、方法的介紹不可能面面俱到，有一部分重要的題型和方法是以習(xí)題的形式體現(xiàn)的，因此對習(xí)題的拓展、探究就格外重要了.對習(xí)題的探究不僅可以對題型和方法進行歸納總結(jié)，而且還可以找到很多高考題的生長點.本文以一道二次方程根的分布的習(xí)題為例，就相關(guān)題型及解法進行探究.以期拋磚引玉.

題目（人教版必修5練習(xí)題）關(guān)于x的方程x2－（m+3）·x+m+3=0有兩個不相等的正實數(shù)根，求實數(shù)m的取值集合.

教材中并沒有對二次方程根的分布問題作系統(tǒng)的歸納，本文以此題為例，進行題型歸納及解題方法總結(jié).

一、解法展示

解決此類問題可以從兩種視角入手.

解法1：（利用二次函數(shù)圖像）方程x2－（m+3）x+m+3=0有兩個不相等的正實數(shù)根，即二次函數(shù)f（x）=x2－（m+3）x+m+3與x軸正半軸有兩個不同交點.由二次項系數(shù)大于0知，二次函數(shù)f（x）的圖像開口向上，欲使其與x軸正半軸有兩個不同交點，則：

解法2：（利用根與系數(shù)的關(guān)系）方程x2－（m+3）x+m+3=0有兩個不相等的正實數(shù)根，即：

解題中根據(jù)不同的題型，兩種方法要擇優(yōu)而用.

二、題型歸納

設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的兩個實根為x1，x2，其根的分布問題除題目所示類型外，還有如下幾種類型.

說明：在上述問題的解答中，若二次項系數(shù)的正負不確定，應(yīng)就其可能取值情況進行分類討論.若二次項系數(shù)可能為0，則問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù).

例1 若二次方程x2+（2m－3）x+4=0有且只有一個根在（0，1）內(nèi)，求m的取值范圍.

解析：令f（x）=x2+（2m－3）x+4，由f（x）=0有且只有一個根在（0，1）內(nèi)可知，

①f（0）f（1）＜0?4（2m+2）＜0?m＜－1；

綜上，m＜－1.

例2 若關(guān)于x的方程x2－x－m－1=0在［－1，1］上有兩個根，求m的取值范圍.

解析：令f（x）=x2－x－m－1，原問題轉(zhuǎn)化為以下兩種情況.

②f（1）f（－1）=0?m=±1.

當(dāng)m=1時，原方程為x2－x－2=0?x1=－1，x2=2，不合題意；

當(dāng)m=－1時，原方程為x2－x=0?x1=1，x2=0，合題意.

評析：在對上述兩題的解答中，除了注意零點個數(shù)的不同，還需要注意所給區(qū)間端點的變化對問題的影響.

三、高考命題視角

高考中對二次方程根的分布問題的考查多數(shù)都體現(xiàn)在利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的綜合題目中.解此類問題的基本策略是對函數(shù)求導(dǎo)后，在定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的正負，而導(dǎo)函數(shù)多為二次型或局部為二次型，進而將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.

例3 （2015年山東理科）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2－x），其中a∈R.

（1）討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由；

（2）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解析：（1）f（x）=ln（x+1）+a（x2－x），定義域為（－1，+∞）.

設(shè)g（x）=2ax2+ax+1－a，

所以當(dāng)x∈（－1，x1）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x1，x2）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

因此，此時函數(shù)f（x）有兩個極值點.

當(dāng)a＜0時，Δ＞0，但g（－1）=1＞0，x1＜－1＜x2，所以當(dāng)x∈（－1，x2）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞増；當(dāng)x∈（x2，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減.

所以函數(shù)只有一個極值點.

（2）略.

評析：本題在對函數(shù)求導(dǎo)、整理后決定導(dǎo)函數(shù)正負的是分子，分子為二次函數(shù)型，因此二次方程根的分布問題就登上了高考的舞臺.但二次項系數(shù)不確定，故應(yīng)對其可能情況進行分類討論.

（1）若a＞0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，a2－3）上存在極值，求a的取值范圍；

（2）若a＞2，求證：函數(shù)y=f（x）在（0，2）上恰有一個零點.

解析 ：（1）f′（x）=x2－2ax，令f′（x）=0，即f′（x）=x（x－2a）=0，所以x=0或x=2a.

因為a＞0，所以x=0不在區(qū)間（a，a2－3）內(nèi)，要使函數(shù)在區(qū)間（a，a2－3）內(nèi)存在極值，只需a＜2a＜a2－3，所以a＞3.

（2）略.

評析：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點，即其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)型，故問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.

解析：因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）不單調(diào)，所以函數(shù)f′（x）在（－1，1）上存在零點.而f′（x）=0的兩根為a－1，a+1，區(qū)間長為2，所以在區(qū)間（－1，1）上不可能有2個零點.所以f′（－1）f′（1）＜0，即a2（a+2）（a－2）＜0.

因為a2＞0，所以（a+2）（a－2）＜0，－2＜a＜2.

又因為a≠0，所以a∈（－2，0）∪（0，2）.

評析：本題從表面看，命題形式上有所變化，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，但其本質(zhì)仍是導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間存在零點問題.通過挖掘隱含條件不難發(fā)現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)不可能存在兩個零點，故減少了分類討論的情況，優(yōu)化了解題過程.

綜上所述，二次方程實根分布的理論，雖然直觀易懂，但在解決高考問題中的作用卻不可低估.它不但可以使相關(guān)問題的求解直觀簡潔，富有新意，而且對于培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合等思想方法解題的意識大有裨益.因此，在教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生重視對教材習(xí)題的探究、歸納、總結(jié)，進而提升學(xué)生對問題的分析、求解能力.