特殊問題一般化——探尋高考數(shù)列題的命題流程

☉江蘇省鹽城市第一中學(xué) 陳莉莉

高考試題的命制是以考試大綱為依據(jù)，高中數(shù)學(xué)考試大綱中明確指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科考試，要發(fā)揮數(shù)學(xué)作為主要基礎(chǔ)學(xué)科的作用，要考查考生對中學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度.”因此高考命題通常是立足于課本中最基礎(chǔ)的知識，通過拓展變化命制出嶄新的題目，下面以數(shù)列問題為例說明，以期拋磚引玉.

數(shù)列最基礎(chǔ)的知識莫過于等差數(shù)列和等比數(shù)列了，如等差數(shù)列，其定義形式為an+2-an+1=an+1-an（n≥1）①.在此基礎(chǔ)上對①式進(jìn)行拓展變化，可命制出嶄新的題目.

一、初級變化，移項合并

將式①左邊的an+1移到右邊，即得an+2=2an+1-an（n≥1）②.

二、改變系數(shù)，打破平衡

三、隱藏關(guān)系，變化出現(xiàn)

利用an=Sn-Sn-1（n≥2）可將式③變化為4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.

（1）求a4的值；

（3）求數(shù)列{an}的通項公式.

這樣一道嶄新的高考題就呈現(xiàn)在我們面前了，通過上述過程的逆向變化來解答問（2）就顯得順理成章了.

例4 （2015年新課標(biāo)卷II理科）設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1=－1，an+1=SnSn+1，則Sn=________.

因此在高中數(shù)學(xué)的備考中要注意從最簡單的形式入手，對問題進(jìn)行變式拓展，這樣既能立足于命題視角，又能鍛煉我們分析問題、解決問題的能力.當(dāng)然高考命題并不局限于此，有的以課本習(xí)題為著眼點(diǎn)，將習(xí)題直接考查或變化考查，如下兩例.

例5 （2014年北京卷理）設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的（ ）.

A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

本題可追根于人教B版《必修5》練習(xí)：等比數(shù)列{an}中，如果公比q＜1，那么等比數(shù)列{an}是（ ）.

A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)數(shù)列 D.無法確定數(shù)列的增減性

解析：若a1＜0，當(dāng)q＞1時，{an}為遞減數(shù)列；當(dāng)0＜q＜1時，{an}為遞增數(shù)列.

例6 （2014年北京卷理）若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，則當(dāng)n=_____時，{an}的前n項和最大.

解析：由a7+a8+a9＞0，得3a8＞0，即a8＞0.

又a7+a10=a8+a9＜0，所以a9＜0，所以當(dāng)n=8時，{an}的前n項和最大.

本題可追根于人教B版《必修5》練習(xí)：若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S14＞0，S15＜0，則在Sn中最大的是前_____項和.

又因為a1+a14=a7+a8，所以a7+a8＞0.

又因為a1+a15=2a8，所以a8＜0.

綜上，a7＞0，a8＜0，所以Sn中最大的是前7項和.

上述兩題無論從命題形式上看，還是從求解方法上看，都是出奇的相像.教材是經(jīng)過幾代教育專家智慧的精華所在，教材中的例題、習(xí)題甚至課后探究內(nèi)容都有很大的拓展空間，都可能成為命題的切入點(diǎn)，因此在高考復(fù)習(xí)中堅持回歸教材這一理念不動搖.