非線性奇異系統(tǒng)邊值問題解的平方收斂性

王培光，劉向

（1.河北大學 電子信息工程學院，河北 保定 071002；2.河北大學 數(shù)學與信息科學學院，河北 保定 071002）

在實際應用領(lǐng)域有許多利用奇異系統(tǒng)描述的數(shù)學模型，例如最優(yōu)控制、電路、人口增長模型等等，奇異系統(tǒng)是一類較微分系統(tǒng)更為復雜的系統(tǒng)［1－3］.其中解的收斂性問題是人們關(guān)注的問題之一，其對奇異微分系統(tǒng)定性理論的發(fā)展有著重要的影響.擬線性化方法是構(gòu)造非線性問題近似解的一種非常有效的方法.Bellman等［4］首次提出了這種源于動態(tài)規(guī)劃理論的方法.Lakshmikantham 等［5］系統(tǒng)地總結(jié)了擬線性化方法在常微分方程中的應用結(jié)果.之后相繼出現(xiàn)各種動力系統(tǒng)的推廣結(jié)果［6－10］.然而，擬線性化方法在奇異系統(tǒng)中的應用結(jié)果很少［11－13］，特別是對于帶有邊界條件的奇異非線性系統(tǒng)解的收斂性未見研究結(jié)果.

本文應用擬線性化方法研究具有邊界條件的非線性奇異微分系統(tǒng)解的收斂性問題，主要工作包括構(gòu)造非線性奇異系統(tǒng)的單調(diào)序列，并通過擬線性化方法證明該問題解的一致和平方收斂性結(jié)果.

1 預備知識

考慮下列奇異非線性系統(tǒng)邊值問題（BVP）

這里A 是奇異n×n矩陣，E，F(xiàn) 是非奇異n×n實矩陣，x∈Rn，f∈C（J×Rn，Rn），J＝［0，c］，c是正常數(shù).

定義1 稱函數(shù)α0∈C1（J，Rn）為邊值問題（1）的下解，如果下列不等式成立

定義2 稱函數(shù)β0∈C1（J，Rn）為邊值問題（1）的上解，如果下列不等式成立

給出集合： S（α0，β0）＝｛u∈C（J，Rn）：α0（t）≤u（t）≤β0（t），t∈J｝，

在進一步的討論中，將會用到線性奇異微分系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)果.首先考慮奇異微分不等式

其中A，M（t）是n×n矩陣，A 是奇異矩陣，M（t）是連續(xù)矩陣，t∈J，E－1，F(xiàn)－1≥0.

引理1 假設(shè)

H1）存在常數(shù)λ∈R 使得，L（t）＝［λA＋M（t）］－1≥0存在并且＝AL（t）是常數(shù)矩陣；

H2）存在非奇異矩陣T 使得T－1，（LT）－1存在，并且T－1，（LT），（LT）－1≥0，滿足

其中C 是對角陣，C－1≥0，則Ex（0）≤0，F(xiàn)x（c）≤0蘊含x（t）≤0，t∈J.

由此得出Cz′1＋（I1－λC）z1≤0且z2≤0.由于E－1，（LT）－1非負，則由Ex（0）＝ELTz（0）≤0可得z（0）≤0.

同樣的，可得z（c）≤0.由于C－1≥0，則由Cz′1＋（I1－λC）z1≤0解得

從而，z1（t）≤0.因此，z（t）≤0，t∈J.綜上可知，LTz（t）≤0或x（t）≤0，t∈J.

對于邊值問題（1），證明如下的比較結(jié)果.

引理2 假設(shè)條件H1）—H2）成立并且滿足

H3）函數(shù)α0，β0∈C1（J，Rn）是邊值問題（1）的下解和上解，fx（t，x）存在并且連續(xù)，則α0（t）≤β0（t），t∈J.

證明：由條件H3）得取M（t）＝則有A（α0－β0）′＋M（t）（α0－β0）≤0，又因為E（α0（0）－β0（0））≤0，F(xiàn)（α0（c）－β0（c））≤0，利用引理1，可知α0（t）≤β0（t），t∈J.

對于奇異線性邊值問題

有如下結(jié)果：

引理3［14］假設(shè)引理1的條件H1）成立，index（A）＝1，

H4）邊界條件滿足Q＝E－Fexp（－?DM＾c）可逆，則邊值問題（5）的唯一解可表示為

其中

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)下列條件成立：

A1）函數(shù)α0，β0∈C1（J，Rn）分別是邊值問題（1）的下解和上解.

A2）偏導數(shù)fx（t，x）在Ω（α0，β0）上存在且連續(xù)，并且關(guān)于x 擬單調(diào)非減，｜fx（t，x）－fx（t，y）｜≤L｜x－y｜，x，y∈S（α0，β0），L＞0，其中L 為n×n矩陣.

A3）條件H1）－H4）成立，則存在單調(diào)序理｛αn｝，｛βn｝一致且平方收斂于邊值問題（1）的解.

證明：由條件A1）－A3）可知引理2 的條件成立.因此，對于邊值問題（1）的上解和下解，有α0（t）≤β0（t），并且由假設(shè)A2），有

其中α0（t）≤y≤x≤β0（t），t∈J.

設(shè)αn＋1，βn＋1分別為奇異微分系統(tǒng)（7）、（8）的解.

容易證明，BVP（7）有唯一解.設(shè)x1，x2為BVP（7）的2 個解，并且注意到E（x1（0）－x2（0））＝0，F(xiàn)（x1（c）－x2（c））＝0，則由BVP（7），得

顯然上式的解是奇異線性系統(tǒng)A（x1－x2）′－fx（t，αn）（x1－x2）＝0，Ex1（0）－x2（0））－F（x1（c）－x2（c））＝0的解.因此，由引理3，利用x（t）的表達式得x1＝x2，從而得出BVP（7）有唯一解.類似的，可以證明BVP（8）有唯一解.

下面證明α0≤α1≤β1≤β0，t∈J.設(shè)p＝α0－α1，有Ep（0）≤0，F(xiàn)p（c）≤0.由條件（A1）和BVP（7），可得

其中M（t）＝－fx（t，η（t）），α0（t）≤η（t）≤β0（t），t∈J.因此，由引理1，得p（t）≤0，即α0（t）≤α1（t），t∈J.類似的，設(shè)p＝β1－β0，在t∈J 上有β1（t）≤β0（t）成立.

下面證明α1（t）≤β1（t），t∈J.由于α（t）≤α（t），利用不等式（6）和BVP（7），可得

同樣的，由條件A2）和BVP（8），可知

從而得出α1和β1 分別為BVP（1）的下解和上解.由引理2得α1（t）≤β1（t），t∈J.因此，得α0（t）≤α1（t）≤β1（t）≤β0（t），t∈J.由歸納法，得到單調(diào)序列｛αn（t）｝，｛βn（t）｝滿足

α0（t）≤α1（t）≤…≤αn（t）≤βn（t）≤…≤β1（t）≤β0（t），t∈J.

設(shè)x為BVP（1）的任意解且滿足α0≤x≤β0，t∈J.假設(shè)對于x 使得在t∈J 上，有αn≤x≤βn 成立.令φ1＝αn＋1－x，φ2＝x－βn＋1，利用不等式（6）和BVP（7），可得

因Eφ1（0）＝0和Fφ1（c）＝0.由引理1，得αn＋1≤x，t∈J.類似的，由條件A2）和BVP（8），可知

由引理1可推出x≤βn＋1，t∈J.從而得出αn＋1≤x≤βn＋1，t∈J.由于α0≤x≤β0，通過歸納得出an≤x≤βn 對所有的自然數(shù)n 成立.從而有α0（t）≤α1（t）≤…≤αn（t）≤x（t）≤βn（t）≤…≤β1（t）≤β0（t），t∈J.

易證序列｛αn（t）｝和｛βn（t）｝是一致有界，同等連續(xù)的.利用Ascoli－Arzela定理，可得存在子序列｛αn，j（t）｝，｛βn，j（t）｝使得αn，j（t）→ρ（t）和βn，j（t）→r（t）成立，其中ρ（t）≤x（t）≤r（t），t∈J.由于序列｛αn（t）｝和｛βn（t）｝是單調(diào)的，可以得出結(jié)論αn→ρ（t）和βn→r（t）成立.當n→∞，有

下面證明ρ（t）≥r（t）.由條件A2），可知

通過引理1得到r（t）≤ρ（t）.又因為ρ（t）≤r（t），t∈J.因此，ρ（t）≡r（t），即當偏導數(shù)fx存在且連續(xù)時，BVP（1）有唯一解.

最后，證明序列的平方收斂性.為此，設(shè)x（t）為BVP（1）在S（α0，β0）中的任一解，考慮pn＋1（t）＝x（t）－αn＋1（t）≥0，t∈J，且注意到Epn＋1（0）＝0，Epn＋1（c）＝0.由BVP（7）和條件（A2），可知

其中，｜pn｜2＝（｜pn1｜2，｜pn2｜2，…，｜pnn｜2）T.因此，有

利用引理1得到pn＋1（t）≤x（t），t∈J，其中x（t）是奇異線性系統(tǒng)Ax′＋M（t）x＝L｜pn｜2，Ex（0）＝0，F(xiàn)x（c）＝0的解.因此，利用引理3 的表達式得，其中

通過計算有Q－1（－ζ1）≤Kmax｜g（t）｜成立，其中K 是非負矩陣.又??D≥0，可知t∈J，P 是非負矩陣.因此，通過合適的估計有，其中，K1是正矩陣…，｜gn（t）｜）T.

類似的，定義qn＋1（t）＝βn＋1（t）－x（t）≥0，t∈J，注意到Eqn＋1（0）＝0，F(xiàn)qn＋1（c）＝0.由BVP（8）和條件（A2），便有

由引理1得qn＋1（t）≤x（t），t∈J，其中x（t）是系統(tǒng)，Ex（0）＝0，F(xiàn)x（c）＝0的解.因此，利用引理3中x（t）的表達式，并通過合適的估計有，其中K2和K3是正矩陣.證明完成.

當a＝b＝0，c＝1時，邊值問題（5）的解可表示為

的基矩陣.類似定理1，可以得到單調(diào)序列一致且平方收斂到BVP（1）的解.

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