例說物理解題結果中整數(shù)n的確定

闞興高 徐克田

在解某些物理題的過程中，時常會遇到有關多少次、多少人、多少個等整數(shù)n的確定問題，現(xiàn)以下列例題來說明物理結果中整數(shù)n數(shù)值的確定類型和方法.

一、n為不確定的數(shù)值

例1如圖1所示，實線為一列簡諧橫波在某時刻t的波形，虛線為時刻（t+Δt）的波形，波沿x軸傳播且Δt=0.2s，求該波的波速多大？

解析由圖1所示，該波波長

λ=4m.因為波沿x軸傳播，而且具

有傳播方向的雙向性及振動的周期性，

所以應對它進行如下討論：

若波沿x軸正方向傳播，它在Δt時間內(nèi)通過的距

離

Δx1=（n+34）λ=（4n+3）m，（n=0，1，2，…）

∴波速υ右=xt=（20n+15）m/s， （n=0，1，2，…）

若波沿x軸負方向傳播，它在Δt時間內(nèi)通過的距離

Δx2=（n+14）λ= （4n+1）m， （n=0，1，2，…）

∴波速υ左=xt=（20n+5）m/s， （n=0，1，2，…）

即該波波速的大小為（20n+15）m/s或（20n+5）m/s，其中n=0，1，2，….

由此可知：對于無條件限制且具有周期性的題目，所求結果中的n是整數(shù)且為不確定值.

二、n有確定的數(shù)值

在解題結果含有n且n為確定整數(shù)中，其結果中的整數(shù)為一個或幾個，即解題結果有唯一解和多解兩種情況：

1.n有唯一值

例2如圖2所示，AOB是光滑水平軌道，BC是半徑為R的14光滑圓弧軌道，兩軌道恰好相切，質(zhì)量為M的小木塊靜止在O點，一質(zhì)量為m（m=M9）的子彈以某一初速度水平向右射入小木塊內(nèi)不穿出，木塊恰好滑到圓弧的最高點C處（子彈、小木塊均可看成質(zhì)點）.求：當?shù)趎顆子彈射入小木塊后，小木塊沿

圓弧上升的最大高度為R4，則n值是多少？

圖2解析對M、m，由動量守恒得：

mv0=（M+m）v1①

從B→C，由機械能守恒得：

12（M+m）v21=（M+m）gR

②

當小木塊返回到O點時，它與開始時的動量大小相等、方向相反.由動量守恒得：當?shù)?、4、6、…n（n為偶數(shù)）顆子彈射入小木塊后，小木塊的速度均為零，即在O點，小木塊上升的高度為零，故只有第奇數(shù)顆子彈射入小木塊后，小木塊上升的高度不為零，由動量和能量守恒：

mv0=（M+nm）vn③

12（M+nm）v2n=（M+nm）gR4④

由題：m=M9⑤

由①～⑤解得：n=11，即n的值為11.

例3如圖3所示，在光滑的水平面上，停放著一物塊和載人小車，人與小車的質(zhì)量為M，物塊的質(zhì)量為m，且M

∶m=16∶1，當人相對地以v0沿水平方向把物塊向右推出，物塊與墻壁相碰后又以同樣的速率（相對地面）返回，若物塊與墻發(fā)生正碰且碰時無能量損失，求該人經(jīng)過多少次推物塊后，再也推不到物塊了？

解析

對M、m，選水平向右的方向為正，由動量守恒得：

推第一次，0=mv0-Mv1′①

推第二次，-mv0-Mv1′=mv0-Mv2′②

推第三次，-mv0-Mv2′=mv0-Mv3′

③

……

推第n次，-mv0-Mvn-1′=mv0-Mvn′

上述各式相加得：vn′=（2n-1）mv0M④

人推不到物塊時滿足vn′≥v0⑤

M∶m=16∶1⑥

由上式解得：n≥8.5，再根據(jù)題意可得出n=9，即該人經(jīng)過9次推物塊后，就會再也推不到物塊了.

例4如圖4所示，質(zhì)量M=10 kg，上表面光滑足夠長的木板在水平拉力F=50 N的作用下，以v0=5 m/s初速度沿水平地面向右勻速運動，現(xiàn)有足夠多的小鐵塊（可視為質(zhì)點），其質(zhì)量均為m=1 kg，將一鐵塊無初速地在木板的最右端，當木板運動了L=1 m時，又無初速地放在木板的最右端放上第二個鐵塊，只要木板運動L，就在其最右端無初速地放一鐵塊，求：

最終有幾個鐵塊能留在木板上？（g=10 m/s2）

解析

對M，由于勻速運動，所以F=μMg①

當?shù)谝粋€鐵塊放上后，木板開始做勻減速直線運動，對木板，由動能定理得：

放第一個鐵塊，-μmgL=12Mv21-12Mv20

放第二個鐵塊，-μ×2mgL=12Mv22-12Mv21

放第三個鐵塊，-μ×3mgL=12Mv23-12Mv22，……

放第n個鐵塊，-μnmgL=12Mv2n-12Mv2n-1

上述各式相加得：

（1+2+3+4…+n）μmgL=12Mv20-12Mvn

②

木塊停下，vn=0③

由①、②、③解得：n=6.6，而n為整數(shù)，究竟n等于6還是等于7呢？這就要根據(jù)題意來確定，由于木塊在放上鐵塊后，分別做不同的勻減速直線運動，故木塊的速度越來越小，最終停下，木塊開始的動能全部轉化內(nèi)能，故若n=6，即木塊上最多有6個鐵塊，木塊克服摩擦力做的功小于木塊開始的動能，這樣，木塊將不會停下；若n=7，即木塊上最多有7個鐵塊，木塊克服摩擦力做的功大于木塊開始的動能，這樣，木塊將會停下，并且當?shù)?個鐵塊放上后，木板并沒有運動一個完整的L而停止，故符合題中要求的n應等于7.

例5如圖5所示，滑塊A的質(zhì)量為m=

0.01kg，與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，用細線懸掛的小球質(zhì)量均為m=0.01kg，沿x軸排列，A與第一個小球及相鄰兩小球間距均為s=2m，線長分別為L1、L2、L3、….（圖中只畫了三個小球），開始時，滑塊以速度v0=10m/s沿x軸正方向運動，若不考慮滑塊與小球碰撞時損失的機械能，碰后小球均恰能在豎直平面內(nèi)完成完整的圓周運動，L1<2m，小球剛好不接觸地面，求：滑塊能與幾個小球相碰？

解析物體A沿水平面向右做勻減速直線運動，與第一個小球相碰，由動量守恒得，兩物體交換速度，

即物體A停下，第一個小球獲得了相碰時的速度（設v01）

開始做圓周運動，再與A物體以相同的速度相碰，此時兩物體又交換速度，A物體就以此速度v0沿水平面向右做勻減速直線運動，再與第二個小球發(fā)生碰撞，依次類推，直到物體A最后停下.設在此過程中，物體A運動了s距離，對A物體，由動能定理：

-μmgs=0-12mv20①

與小球相碰的個數(shù)n=sL②

由①、②解得：n=12.5，根據(jù)題意，A物體與第12個小球發(fā)生碰撞時，A物體已運動了12 m，它還能向右運動0.5 m，而0.5 m小于2 m，故A物體不能與第13個小球相碰，因此，此題中的n應等于12.

由此可知：對于n有唯一數(shù)值的結果，如果n恰好為整數(shù)不需分析；對于結果含有n不是整數(shù)的等式或不等式，應根據(jù)題中的條件來分析確定出某一個確定的數(shù)值.

2.n多個值

例6 （1996年全國高考題），如圖6所示，一根緊張的水平彈性長繩上的a、b兩點，相距14.0 m，b點在a點的右方.一列簡諧橫波沿繩向右傳播時，若a點的位移達到正極大時，b點的位移恰好為零，且向下運動，經(jīng)過1.00 s后，a點的位移為零且向下運動，而b點的位移恰達到負極大，則這列簡諧波的波速可能為（）.

A.14 m/s

B.10 m/s

C.6 m/s

D.4.67 m/s

解析由于波向右傳播，可根據(jù)題意及波的周期性，利用“去整取零”的方法，即在a、b間做出不到 一個波長的波形，如圖7所示，再利用微小平移法，便可確定出符合題意是圖6中的波形②，由波的周期性得：（ n+34）λ=14.0，（n=0，1，2，…）；由題意并結合圖7知：（k+14）T = 1.00，（k=0，1，2，…），所以波速υ=λT=14（4n+1）4k+3m/s，由此可知：當n=k=0時，則υ=4.67 m/s；當n=k=1時，則υ=10 m/s；當n=k=2時，則υ=11.45 m/s，…，由此可得到正確選項為B、D.

由此可知：對于有條件限制且含有整數(shù)n或k的題目，應對所求含有通式的結果進行討論，從而找出符合題中要求的整數(shù).本題中符合題中要求的整數(shù)n或k，均只能為0和1這兩個數(shù)值.

總之，對于我們所求解含有整數(shù)n的結果，不論題中有無條件限制，都應結合題中的條件來分析、討論，這樣，就可避免漏解或多解等現(xiàn)象，從而最終保證所求結果的完整性和準確性.

（收稿日期：2015-03-26）