基于壓縮感知的圖像融合方法

邱震堯

摘要：圖像融合即通過一定的處理將不同模式下獲取的相同場景的圖像信息進行融合，以使所要描述的圖像信息更準(zhǔn)確、全面、可靠的一種方式。相關(guān)研究提出了一種新的圖像融合方法，即基于壓縮感知理論（Compressed Sensing，CS），可分別對多幅圖像進行稀疏表示，同時利用觀測矩陣進行測量，通過一種改進的小波變換融合算法對所測量的數(shù)據(jù)進行融合，最后通過基于壓縮感知的圖像信息重構(gòu)算法實現(xiàn)融合后的測量數(shù)據(jù)恢復(fù)。該文從壓縮感知基本理論及相關(guān)融合算法等方面探究了基于壓縮感知的圖像融合方法。

關(guān)鍵詞： 壓縮感知；圖像融合；稀疏表示；小波變換；重構(gòu)算法

中圖分類號：TP391.41 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）12-0196-03

Image Fusion Method Based on Compressed Sensing

QIU Zhen-yao

（College of Physical Science and Technology， Central China Normal University， Wuhan 430079， China）

Abstract：Image fusion is a way of fusing the images of the same scene acquired by different patterns through certain processing， in order to make the description more accurate， comprehensive and reliable. Related researches have presented a new approach to fuse images， which is based on compressed sensing （CS）. It first generates the sparse representation of multiple original images. Then it measures images data by a measurement matrix and fuses the measured data through an improved wavelet transform algorithm. Finally， it uses a CS-based image reconstruction algorithm to achieve the recovery of the data. This paper investigates the CS-based image fusion method through fundamental theory and fusion algorithm of compressed sensing.

Key words： compressed sensing； image fusion； sparse representation； wavelet transform； reconstruction algorithm

隨著信息與通信技術(shù)的快速發(fā)展以及各類圖像傳感器的廣泛使用，圖像處理在各個領(lǐng)域的應(yīng)用也逐漸變得普遍起來，同時對圖像融合技術(shù)的關(guān)注與研究也愈加深入。所謂圖像融合是指將不同方式采集到的關(guān)于某一個同目標(biāo)的圖像數(shù)據(jù)應(yīng)用計算機進行處理，以最大限度地提取其中的有利信息，并綜合成高質(zhì)量的圖像，提高圖像信息的利用率。因此，圖像融合也是一種信息融合[1]。進行圖像融合需要分析處理大量的信息，應(yīng)用傳統(tǒng)的方法單純地進行圖像融合效率不高。因此，近年來出現(xiàn)了一種有效獲取信息的新理論，即壓縮感知（Compressed Sensing，CS）。此概念于2006年由Candès和Donoho正式提出，該理論表明，當(dāng)信號具有稀疏性或可壓縮性時，可采用低于奈奎斯特率的采樣速率對其進行采樣，實現(xiàn)將采樣值中的原始信息準(zhǔn)確而完整地還原與恢復(fù)。本文根據(jù)壓縮感知基本理論，探討其應(yīng)用于圖像融合的方法。

1 壓縮感知概述

壓縮感知是一種新的采樣理論，又稱壓縮采樣。其通過充分挖掘信號的稀疏特點，在采樣率小于奈奎斯特率的狀態(tài)下，以隨機采樣捕捉信號的離散樣本，然后以非線性重建算法實現(xiàn)信號的完美重建[2]。

基于壓縮感知理論進行信號處理，首先要對可壓縮信號進行稀疏變換，然后通過低速壓縮采樣對信號進行測量得到壓縮信號，再對壓縮信號進行傳輸或存儲。當(dāng)需要使用該信號時，可通過重構(gòu)算法將信號恢復(fù)到近似于原始信號的狀態(tài)。

由以上流程可知，壓縮感知理論的關(guān)鍵內(nèi)容包括信號的稀疏表示、觀測矩陣及重構(gòu)算法。其中，信號的稀疏性是壓縮感知理論成立的首要前提。設(shè)x為?N空間的有限維子向量，x的元素為x[1]， x[2]， ...， x[N]，若其中絕大多數(shù)元素為0，那么可認為x是嚴格稀疏的。即使信號不稀疏，它也可以在一定的變換域中變稀疏，此時，用T個基本波形的線性組合來建模x，有x = Ψa = sum（a[i]Ψ[i]），a[i]為字典Ψ中信號x的代表系數(shù)。其中，稀疏表示常用的方法為小波變換基、離散余弦變換基等。

觀測矩陣的作用便是測量稀疏信號，從中獲得測量值。觀測矩陣的優(yōu)劣決定著信號恢復(fù)效果的好壞，且觀測矩陣需滿足RIP準(zhǔn)則，即保證觀測矩陣不會把不同的兩個稀疏信號映射到同一個集合里[3]。由于觀測矩陣的最小奇異值和線性間的相關(guān)性較為密切，當(dāng)最小奇異數(shù)逐漸增大時，矩陣的獨立性便會更加明顯。因此，在觀測矩陣的RIP性質(zhì)保持不變的情況下，可盡量提高其最小奇異值以達到增強矩陣獨立性的目的，如利用QR分解可以改進原來的高斯隨機觀測矩陣，即ΦT = QR，其中Q為N × N的正交矩陣，R為N × M上三角矩陣。對矩陣R的處理應(yīng)保留主對角線上的元素，而對其他元素進行置零處理，從而得到新的三角矩陣R1，通過對正交矩陣Q與R1再改進得到新的具有更佳RIP性質(zhì)的高斯隨機觀測矩陣Φt。

重構(gòu)算法就是依據(jù)所獲得的信號觀測值還原出原始信號估計值，這是壓縮感知理論中關(guān)鍵的一步，常用的重構(gòu)算法有匹配追蹤法、正交匹配追蹤法、梯度投影法等，重構(gòu)算法的性能很大程度上決定了還原信號的質(zhì)量。

2 壓縮感知與圖像融合

2.1 壓縮感知理論基本內(nèi)容

壓縮感知理論最基本的內(nèi)容是信號的稀疏表示、信號的測量以及信號的重構(gòu)，這三者是構(gòu)成壓縮感知理論基本框架的關(guān)鍵部分。

設(shè)一個一維有限實值離散信號為x，可將其看作是一個?N空間N × 1維的列向量，其元素為x[n]，其中n = 1， 2， ...， N。若信號為K稀疏，則其算式可以表示為：

x = Ψa （1）

其中，Ψ是N × N矩陣，a為系數(shù)的N × 1維的列向量，當(dāng)x在某個基Ψ上只有K個遠遠大于零的系數(shù)，或遠遠小于N個非零系數(shù)時，則稱信號x的稀疏基為Ψ。

根據(jù)壓縮理論，如果在某正交基Ψ上的一個長度為N的信號x僅有少數(shù)的非零系數(shù)，若將這些系數(shù)投映到與稀疏基Ψ無關(guān)的另一個測量基Φ上，將得到M × 1維的測量信號y1，以完成對原始信號x的壓縮采樣，其表達式為：

y1 = Φx = ΦΨa （2）

其中，M × N的測量矩陣為Φ，ΦΨ稱為投影矩陣，是M × N的矩陣，y1代表稀疏矩陣a關(guān)于投影矩陣ΦΨ的測量值。當(dāng)且僅當(dāng)正交基Ψ與測量矩陣Φ不相關(guān)的情況下（投影矩陣ΦΨ符合RIP條件），信號a才可利用這些所獲得的測量值通過公式得到完整恢復(fù)。圖像處理中應(yīng)用壓縮感知理論進行壓縮與重構(gòu)的基本流程框圖如圖1所示。

壓縮感知理論的優(yōu)勢在于無需像傳統(tǒng)采樣方法一樣獲取龐大的投影測量數(shù)據(jù)，增大了信號高分辨率采集的可能性。除了基于像素點的壓縮感知圖像處理之外，還可通過對圖像分塊進行處理。分塊壓縮感知需要應(yīng)用于解決大尺寸圖像重構(gòu)的運算量大、耗時長的問題，通過分塊處理大圖像，先分別對每塊圖像進行觀測與重構(gòu)，可以減少運算量，但分塊壓縮感知的不足就是無法實現(xiàn)圖像的質(zhì)量的提升[4]。壓縮感知理論可實際應(yīng)用于多個領(lǐng)域，如信號處理、統(tǒng)計分析、醫(yī)學(xué)成像、雷達遙測等。

2.2 基于壓縮感知的圖像融合

與傳統(tǒng)圖像融合算法相比較，基于壓縮感知理論的圖像融合方法具有一定的優(yōu)越性。在圖像非整體采樣下，應(yīng)用壓縮感知技術(shù)也能實現(xiàn)多圖像融合，并且經(jīng)過提高測量值還可以使融合圖像的精準(zhǔn)度獲得比較理想的提高，運用這個算法不但可以為計算機節(jié)省存儲空間，還可以簡化運算的復(fù)雜性[5]。

2.2.1 圖像融合方法

壓縮感知圖像融合的基本方法是：首先以小波變換的方式分別對兩幅同源圖像進行處理得到各自的系數(shù)矩陣，并對其進行稀疏處理。獲得稀疏矩陣之后，在在融合之前要先確定所采用的融合規(guī)則（本文采用系數(shù)絕對值最大法）進行融合處理，并對融合系數(shù)進行隨機壓縮采樣，最后求解得到原始信號近似值并進行逆變換得到經(jīng)過融合后的圖像。

2.2.2 稀疏處理

對源圖像的系數(shù)進行稀疏處理，首先要對源圖像進行小波變換處理。目前，小波變換方式最常用的有復(fù)數(shù)小波、正交小波和Haar小波等方法。通過小波變換得到相應(yīng)的小波系數(shù)，再對小波系數(shù)進行稀疏處理，將接近零的小系數(shù)置為零，以得到近似稀疏的小波系數(shù)矩陣。

2.2.2 測量矩陣Φ

要使重構(gòu)的信號具有較高的精確度，必須先保證投影矩陣滿足有限等距性（RIP），而當(dāng)觀測矩陣和稀疏基不相干時，投影矩陣才會在很大程度上符合RIP的特性。在對源圖像做稀疏變換時，所采用的稀疏基就是小波基。要使圖像能以最小的測量值實現(xiàn)重構(gòu)，需要保證稀疏基和測量矩陣保持不相關(guān)。因為隨機矩陣（例如高斯隨機矩陣）擁有與其他固定正交基不相干的特性，即與任何稀疏基都不相干，可將其確定為測量矩陣。

2.2.3 融合算法

基于壓縮感知理論的融合算法如表1所示。

1. 對圖像A和圖像B進行小波變換處理，得到各自的系數(shù)矩陣；

2. 對系數(shù)矩陣進行稀疏處理，再利用絕對值最大法進行融合，得到融合后的小波系數(shù)；

3. 選擇測量矩陣Φ，對融合后的系數(shù)進行測量，得到測量值y1；

4. 求解線性規(guī)劃最優(yōu)化問題，得到原始信號近似值；

5. 對系數(shù)進行逆小波變換，得到融合圖像F。＼&]

本文以圖2中分別左右聚焦的兩幅圖像（a）和（b）作為研究對象來驗證表1中的算法。利用傳統(tǒng)的系數(shù)絕對值較大法對小波變換后的圖像進行融合，得到 （c）中所示的融合圖像，通過表1中的算法進行圖像融合之后得到（d）所示的圖像。

經(jīng)過對融合后圖像峰信噪比（PSNR）的測算，傳統(tǒng)的直接使用系數(shù)絕對值最大法進行圖像融合的方法所得圖像，其PSNR為26.32dB，而本文運用的基于壓縮感知的圖像融合算法，其PSNR為30.15dB，融合圖像的質(zhì)量比傳統(tǒng)方法高約4dB。就此而言，本文中的圖像融合算法融合效果要好于傳統(tǒng)的系數(shù)絕對值最大法的融合效果。

3 結(jié)論

近年來，圖像融合技術(shù)廣泛已應(yīng)用于軍事偵查、遙感測繪、醫(yī)學(xué)影像等領(lǐng)域，基于壓縮感知的圖像融合方法更是這些領(lǐng)域的專家研究的熱門話題。本文以壓縮感知作為理論依據(jù)，探討了其應(yīng)用于圖像融合的實現(xiàn)方法，通過實驗驗證了其可行性。與普通的圖像融合方法相比，本文中基于壓縮感知的算法具有運算量較小、融合圖像質(zhì)量較高等優(yōu)勢，充分體現(xiàn)了壓縮感知理論在圖像融合領(lǐng)域的廣闊應(yīng)用前景。

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