“求同尋異”法在解決雙變量問(wèn)題中的有效應(yīng)用

李偉康

摘 要：當(dāng)對(duì)兩個(gè)類似對(duì)象或兩個(gè)相似過(guò)程進(jìn)行比較時(shí)，有一類問(wèn)題比較麻煩。針對(duì)被比較的物理量，這類問(wèn)題中一般有兩個(gè)因素共同對(duì)其產(chǎn)生影響，往往它們產(chǎn)生的影響又是相悖的，從而使答題者有種“亂花漸欲迷人眼”的感覺。本文將針對(duì)這類試題提出一種獨(dú)到的分析思路，以供同行們參考。

關(guān)鍵詞：求同尋異；雙變量；比較；旋轉(zhuǎn)秋千；摩擦生熱；電荷運(yùn)動(dòng)；空氣阻力

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）5-0049-3

例1 （2013年江蘇卷）如圖1所示，“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等，通過(guò)相同長(zhǎng)度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上。不考慮空氣阻力的影響，當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.A的速度比B的大

B.A與B的向心加速度大小相等

C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等

D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的纜繩所受的拉力小

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圖1 旋轉(zhuǎn)秋千

解析 顯然座椅A、B的角速度大小相等，B距離轉(zhuǎn)軸更遠(yuǎn)些，線速度和加速度也都更大些。又因?yàn)閮烧哔|(zhì)量相等，所以B所需向心力更大些。

設(shè)纜繩與豎直方向的夾角為θ，則：

mgtanθ=mω2r （1）

由于rB>rA，

所以θB>θA，

而豎直方向上滿足FTcosθ=mg，

所以FTB>FTA，答案為選項(xiàng)D。

然而，有些同學(xué)對(duì)此解析提出了自己的疑議，為什么座椅A、B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不可能呈現(xiàn)如圖2所示的空間關(guān)系呢？

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圖2 分析圖

此時(shí)，rA>rB且θA>θB，是基本滿足（1）式的。

于是，筆者便借機(jī)讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)方法證明此種情況是不會(huì)發(fā)生的。學(xué)生思考后確實(shí)給出了證明，較為繁瑣，此處不再贅述。

那么，有什么更好的方法，說(shuō)明此種情況不會(huì)發(fā)生呢？

讓我們首先來(lái)進(jìn)行“求同”分析：即假想把座椅A、B系于同一位置，則顯然有rA=rB，θA=θB。在此基礎(chǔ)上把系座椅B的位置外移一些，進(jìn)行“尋異”分析：由于rB變大，由（1）式自然得出θB隨之變大，從而導(dǎo)致θB>θA，即圖2所示情況不會(huì)發(fā)生，而應(yīng)該是圖3所示情況。

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圖3 秋千旋轉(zhuǎn)圖示

例2 （2010年江蘇卷）如圖4所示，平直木板AB傾斜放置，板上的P點(diǎn)距A端較近，小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)由A到B逐漸減小，先讓物塊從A由靜止開始滑到B。然后，將A著地，抬高B，使木板的傾角與前一過(guò)程相同，再讓物塊從B由靜止開始滑到A。上述兩過(guò)程相比較，下列說(shuō)法中一定正確的有（ ）

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圖4 物塊下滑圖

A.物塊經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的動(dòng)能，前一過(guò)程較小

B.物塊從頂端滑到P點(diǎn)的過(guò)程中因摩擦產(chǎn)生的熱量，前一過(guò)程較少

C.物塊滑到底端的速度，前一過(guò)程較大

D.物塊從頂端滑到底端的時(shí)間，前一過(guò)程較長(zhǎng)

解析 本題較難判斷的是選項(xiàng)B，其他選項(xiàng)此處不再分析。摩擦生熱的公式為Q=fs相。然而，由A到P和由B到P兩過(guò)程相比，前一過(guò)程的摩擦力較大，位移卻較小，似乎很難判斷兩過(guò)程中產(chǎn)生熱量多少。

下面進(jìn)行“求同”分析：設(shè)木板中點(diǎn)為O，則A到O和由B到O兩過(guò)程相比，位移大小相同，而前者的摩擦力較大，所以前一過(guò)程產(chǎn)生的熱量多些。由此可以得知兩過(guò)程產(chǎn)生熱量相等的位置應(yīng)位于O點(diǎn)上方，設(shè)為Q點(diǎn)。

現(xiàn)在可以“尋異”了：

（1）若P點(diǎn)剛好也位于Q點(diǎn)，則兩過(guò)程產(chǎn)生的熱量相等；

（2）若P點(diǎn)位于Q點(diǎn)上方，則前一過(guò)程產(chǎn)生的熱量少；

（3）若P點(diǎn)位于Q點(diǎn)下方，則前一過(guò)程產(chǎn)生的熱量多。

由于題中只提到“P點(diǎn)距A端較近”，不知道P點(diǎn)與Q點(diǎn)的位置關(guān)系，故兩過(guò)程產(chǎn)生熱量多少關(guān)系不確定。

例3 如圖5甲所示， 在x軸上有兩個(gè)固定的點(diǎn)電荷Q1、Q2，現(xiàn)有一個(gè)點(diǎn)電荷q（電性未知）以一定的初速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)（只受電場(chǎng)力作用），其v-t圖像如圖5乙所示，q經(jīng)過(guò)a、b兩點(diǎn)時(shí)速度分別為va、vb。則以下判斷正確的是（ ）

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圖5 例3題意圖示

A.Q2帶負(fù)電且電荷量小于Q1

B.b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)比a點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大

C.q在a點(diǎn)的電勢(shì)能小于在b點(diǎn)的電勢(shì)能

D.q一定帶正電

解析 本題很容易判斷出選項(xiàng)A、C是正確的，因b處加速度為零，故場(chǎng)強(qiáng)為零，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，但選項(xiàng)D較難分析。

學(xué)生很容易進(jìn)行如下分析：由a到b的過(guò)程中，q做減速運(yùn)動(dòng)，受到的合力沿x軸負(fù)方向，若q帶正電，Q2對(duì)其的吸引力應(yīng)大于Q1對(duì)其的排斥力。雖然Q2Q2，好像也可以實(shí)現(xiàn)。從而得知q的電性是不確定的這一錯(cuò)誤結(jié)論。究其原因，是因?yàn)閹?kù)侖力受到電荷量和距離雙變量共同影響，而學(xué)生這種定性并沒有厘清這種關(guān)系，再加上沒有對(duì)后面過(guò)程進(jìn)行分析，從而給出了片面的結(jié)論。

本題我們依然先進(jìn)行“求同”分析：顯然，在b點(diǎn)Q1、Q2對(duì)q的作用力大小相等，在這個(gè)共同點(diǎn)基礎(chǔ)上分析就方便多了。

然后再進(jìn)行“尋異”分析：逆向分析q由b向a的運(yùn)動(dòng)，q在做加速運(yùn)動(dòng)，表示合力沿x軸負(fù)方向?，F(xiàn)在設(shè)想q由b運(yùn)動(dòng)到了b到Q2的中點(diǎn)，即Q2對(duì)其的作用力變?yōu)樵瓉?lái)的四倍，而此時(shí)q到Q1的距離卻還大于原來(lái)的一半，即Q1對(duì)q的作用力比原來(lái)的四倍小，合力與此時(shí)Q2對(duì)q的作用力方向相同，沿x軸負(fù)方向，q一定帶正電。選項(xiàng)D也正確。

例4 （2014年重慶卷）以不同初速度將兩個(gè)物體同時(shí)豎直向上拋出并開始計(jì)時(shí)，一個(gè)物體所受的空氣阻力可忽略，另一個(gè)物體所受的空氣阻力大小與物體速率成正比。下列用虛線和實(shí)線描述兩物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖像（如圖6所示）可能正確的是（ ）

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A B

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C D

圖6 兩物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖像

解析 本題很容易排除A選項(xiàng)，但對(duì)B、C、D選項(xiàng)的判斷不少學(xué)生顯得不知所措。實(shí)際上，只要從“求同”出發(fā)，很容易發(fā)現(xiàn)在兩個(gè)物體的速度均為零時(shí)，它們的加速度均為重力加速度，是相等的，而只有D選項(xiàng)中當(dāng)速度為零時(shí)，圖線的斜率相等，所以正確的是D選項(xiàng)。

本題若追加問(wèn)題：兩物體哪個(gè)先落回到出發(fā)點(diǎn)？由于受到初速度大小和空氣阻力變化雙變量的共同影響，是很難判斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)短的。然而，在“求同”的基礎(chǔ)上也是很好分析的了。如圖7所示，設(shè)受空氣阻力的物體甲初速度為v甲，并令不受空氣阻力的物體乙初速度為v0時(shí)，兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，同時(shí)落回。則由“尋異”分析易知，當(dāng)v乙>v0時(shí)，t乙>t甲，甲先落回；當(dāng)v乙

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圖7 v-t關(guān)系圖

（欄目編輯 陳 潔）