合情推理能力的本質(zhì)解讀與培養(yǎng)方法淺析

莫正云

[摘 要]《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生能根據(jù)解決問題的需要，收集有用的信息并進(jìn)行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力?！币虼?，課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，使他們感悟合情推理的方法，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思考 合情推理 培養(yǎng)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）08-056

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生能根據(jù)解決問題的需要，收集有用的信息并進(jìn)行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力”，這里說明了培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的重要性。而小學(xué)生的年齡和認(rèn)知特點(diǎn)也決定他們不可能通過嚴(yán)密的邏輯推理去獲取知識，數(shù)學(xué)猜想、列舉歸納、類比遷移等合情推理的方法便成為他們重要的學(xué)習(xí)方式。

一、對合情推理的本質(zhì)解讀

推理主要有演繹推理、歸納推理、類比推理。其中，歸納推理有完全歸納和不完全歸納兩種情況，完全歸納是確定性推理，不完全歸納是或然性推理。人們把結(jié)論具有或然性的不完全歸納推理和類比推理稱為合情推理。數(shù)學(xué)合情推理是直接反映數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動(dòng)，思維者不是按部就班地進(jìn)行推理，而是對思維對象從整體上進(jìn)行考察，調(diào)動(dòng)自身的全部知識經(jīng)驗(yàn)，通過豐富的想象做出敏捷而迅速的假設(shè)、猜想或判斷，這種思維過程是由特殊到一般的推理過程?？茖W(xué)家凱德洛夫明確指出：“沒有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開合情推理?！币簿褪钦f，任何一個(gè)概念的建立，總是先猜測、發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律、內(nèi)容，再進(jìn)行檢驗(yàn)、完善、修改，然后加以類比。其中一次次的嘗試，需要充分運(yùn)用的不是論證推理，而是合情推理，其實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”。

二、培養(yǎng)合情推理能力的方法

徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)合情推理能力是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)合情推理能力也是不斷提高的?！蹦敲?，如何在課堂教學(xué)中使學(xué)生學(xué)會(huì)合情推理，掌握合情推理的方法，進(jìn)而形成合情推理的能力呢？

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)猜想的需要

一切探究活動(dòng)都是從問題開始的，只有當(dāng)學(xué)生自己感到問題的存在，不得不問“為什么”“是什么”“怎么辦”時(shí)，思維活動(dòng)才真正開始。因此，要使學(xué)生學(xué)會(huì)合情推理，教師要善于把教學(xué)內(nèi)容改編成適合學(xué)生推理的內(nèi)容，設(shè)計(jì)能夠激發(fā)猜想的問題。

（1）增強(qiáng)生活趣味。

教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、生活實(shí)際和學(xué)生的求知心理，把學(xué)生引入?yún)⑴c問題解決的情境中，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，使他們產(chǎn)生進(jìn)行推理的動(dòng)機(jī)。例如，教學(xué)圓錐的體積計(jì)算公式時(shí)，教師可創(chuàng)設(shè)這樣的情境：“誰能猜猜圓錐容器中的果汁有多少？（提供選擇的范圍）猜對了就送給他?！钡谝槐聦α?，學(xué)生很想再猜第二次，教師馬上拿出第二杯果汁——高度不變，但底面積變大。有學(xué)生猜出果汁比原來多，于是教師又送出第二杯果汁。這時(shí)，其他學(xué)生急了，嚷著還要猜，教師拿出第三杯果汁——體積變高，但底面積變小了。有學(xué)生猜果汁變多了，有學(xué)生猜果汁變少了，最后學(xué)生通過討論一致認(rèn)為不好猜。教師問：“看來，圓錐的體積和什么有關(guān)？（底面積和高）下面，讓我們用實(shí)驗(yàn)一起驗(yàn)證我們的猜想?！薄杂螒虻男问絼?chuàng)設(shè)與學(xué)生密切相關(guān)的生活情境，再引導(dǎo)學(xué)生合情推理圓錐的體積計(jì)算公式，教學(xué)自然水到渠成。

（2）增強(qiáng)數(shù)學(xué)思考性。

根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)水平設(shè)計(jì)具有探索性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，同樣可以激發(fā)學(xué)生猜想的需要。例如，教學(xué)“圓面積”一課時(shí)，教師可先提供圓面積與半徑的關(guān)系（如右圖），讓學(xué)生猜想圓面積和半徑有怎樣的關(guān)系、圓面積大約在什么范圍內(nèi)。學(xué)生邊觀察邊猜想，從圓面積與外接正方形面積的估計(jì)中，從以半徑為邊的小正方形面積與圓面積的包容比較中，進(jìn)行多種猜測和估計(jì)。這樣就初步從整體上把握圓面積大小的本質(zhì)，進(jìn)一步理解與解決問題了。

2.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，滲透合情推理的方法

（1）在不同知識領(lǐng)域中運(yùn)用。

其實(shí)，學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”及“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”等課程內(nèi)容中也有體現(xiàn)。例如，在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，計(jì)算要依據(jù)一定的規(guī)則（如公式、法則、運(yùn)算律等），而計(jì)算中的推理（算理）、現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系等，往往有其自身的規(guī)律。如找60的因數(shù)，不同的學(xué)生會(huì)得到不同的結(jié)果：6和10;3和20;1和60……學(xué)生進(jìn)行討論交流時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這幾對因數(shù)之間的關(guān)系：6乘2得12，10除以2得5，60的一對因數(shù)是12和5……如果學(xué)生繼續(xù)舉例探究，會(huì)這樣歸納：把一對因數(shù)中的一個(gè)因數(shù)除以某個(gè)數(shù)（商是整數(shù)），另一個(gè)因數(shù)乘以這個(gè)數(shù)，就能得到一對新的因數(shù)。在這樣的過程中，學(xué)生實(shí)際上運(yùn)用了合情推理中的簡單歸納推理。

（2）在新舊知識聯(lián)系中運(yùn)用。

教師在教學(xué)中要將新知識與舊知識進(jìn)行類比，既可以降低新知識的教學(xué)難度，起到化難為易的作用，又可以鞏固學(xué)生已學(xué)的舊知識，溝通新舊知識間的聯(lián)系。例如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)性質(zhì)”時(shí)，教師可以先讓學(xué)生復(fù)習(xí)商不變的規(guī)律，然后引導(dǎo)學(xué)生：“如果把每個(gè)除法都改寫成分?jǐn)?shù)，推理一下，分?jǐn)?shù)是不是也有什么性質(zhì)呢？”經(jīng)教師啟發(fā)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的分子、分母相當(dāng)于除法里的被除數(shù)、除數(shù)，既然在除法中有商不變的規(guī)律，那么分?jǐn)?shù)里也應(yīng)該存在分?jǐn)?shù)大小不變的規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”這一基本性質(zhì)。

3.提供豐富的素材，搭建合情推理的階梯

合情推理能力的培養(yǎng)，是以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。因此，教師要為學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)素材，激活學(xué)生相關(guān)的知識與經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生搭建、接近正確結(jié)論的階梯。例如，教學(xué)“探索圖形覆蓋規(guī)律”一課時(shí)，教師為學(xué)生提供以下充足的探索素材：1～10、1～15、4～15三種不同的數(shù)表，每次框2個(gè)數(shù)、每次框3個(gè)數(shù)及每次框4個(gè)數(shù)的數(shù)框。教師提問：“有幾種不同的和可能與什么有關(guān)？”學(xué)生有的說與框的總數(shù)有關(guān)，有的說與每次框的個(gè)數(shù)有關(guān)，還有的說與數(shù)框平移的次數(shù)有關(guān)……然后教師組織學(xué)生根據(jù)猜想和提供的材料進(jìn)行小組合作探究，學(xué)生通過多次實(shí)驗(yàn)比較及不完全歸納得出結(jié)論：數(shù)的總個(gè)數(shù)-每次框的個(gè)數(shù)+1=不同和的個(gè)數(shù)。試想：“如果教師不提供上述素材，直接提出猜測的問題，則學(xué)生的推理會(huì)變成沒有任何思維含量的臆測。如果教師提供的只是一種數(shù)表或一種數(shù)框，學(xué)生的推理就顯得片面、不完整，給人巧合的感覺，其結(jié)論當(dāng)然不為學(xué)生所信服?！?/p>

4.分析驗(yàn)證結(jié)論，發(fā)展合情推理的能力

培養(yǎng)合情推理的能力，還可以選取一些典型的數(shù)學(xué)結(jié)論的創(chuàng)造過程，讓學(xué)生通過模仿和實(shí)踐驗(yàn)證，在實(shí)踐活動(dòng)中發(fā)展合情推理能力。例如，教師可以利用多邊形內(nèi)角和的公式，引導(dǎo)學(xué)生通過列舉三角形、四邊形、五邊形、六邊形等圖形的內(nèi)角和，經(jīng)過計(jì)算明確內(nèi)角和計(jì)算公式的來龍去脈，使學(xué)生的合情推理能力得到進(jìn)一步發(fā)展。

三、合情推理能力的培養(yǎng)要明確幾個(gè)問題

1.合情推理能力的培養(yǎng)不是孤立的

合情推理與演繹推理既不相同，又相輔相成，兩者緊密結(jié)合。由合情推理得到的猜想，往往通過演繹推理得出證明;演繹推理需要建立在合情推理的“發(fā)現(xiàn)——猜想”之上。合情推理能力不是孤立發(fā)展的，必須與觀察力、想象力、創(chuàng)造力、表達(dá)力等多種能力相互作用，才能得以發(fā)展。

2.合情推理能力的培養(yǎng)具有差異性、層次性

合情推理能力的培養(yǎng)必須考慮學(xué)生的身心特征與學(xué)習(xí)水平，注意層次性。同時(shí)，教師還要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，因?yàn)椴煌瑢W(xué)生的知識水平、思維方式不同，思維能力的形成會(huì)存在較大差異。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)針對學(xué)生的個(gè)體差異，制定不同的要求，把學(xué)生掌握推理的過程變?yōu)閷W(xué)生的自覺要求。長此以往，學(xué)生獲得的不僅僅是知識，更重要的是數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

（責(zé)編 杜 華）