分類探討電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的4種常見情形

王新鋒

（西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 江蘇 蘇州 215021）

電磁感應(yīng)知識(shí)是高中物理的重要組成部分，是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).《2015年江蘇省普通高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試（選修科目）說(shuō)明》羅列出的與電磁感應(yīng)知識(shí)直接相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有4個(gè)，其中Ⅱ級(jí)要求的就有兩個(gè)，分別是感應(yīng)電流的產(chǎn)生條件、法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律（限于導(dǎo)線方向與磁場(chǎng)方向、運(yùn)動(dòng)方向垂直的情況）.同時(shí)電磁感應(yīng)知識(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，從學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容的反應(yīng)來(lái)看，筆者認(rèn)為問(wèn)題主要出在學(xué)生沒(méi)能真正理解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生條件，也可以認(rèn)為導(dǎo)致回路磁通量發(fā)生變化的情況多種多樣，學(xué)生對(duì)其中的幾種典型問(wèn)題沒(méi)能真正掌握.現(xiàn)分類探討如下4種感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的常見情形與大家分享.

1 電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的感生電場(chǎng)

麥克斯韋提出，磁場(chǎng)變化時(shí)會(huì)在空間激發(fā)感生電場(chǎng)（又叫渦旋電場(chǎng)），如果此刻空間存在閉合導(dǎo)體，導(dǎo)體中的自由電荷就會(huì)在感生電場(chǎng)的作用下做定向移動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，或者說(shuō)導(dǎo)體中產(chǎn)生了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).在這種情況下，非靜電力就是感生電場(chǎng)對(duì)自由電荷的作用.物理學(xué)上把由感生電場(chǎng)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)叫做“感生電動(dòng)勢(shì)”.人教課標(biāo)版教材選修3－2第四章第5節(jié)中提到的電子感應(yīng)加速器，是應(yīng)用感生電場(chǎng)對(duì)電子的作用來(lái)加速電子的一種裝置，主要用于核反應(yīng)研究，教材只要求分析：當(dāng)電磁鐵線圈電流的方向與圖示方向一致時(shí)，電流的大小應(yīng)該怎樣變化才能使電子加速？筆者認(rèn)為在該處照本宣科顯然是不夠的，借助例題1的問(wèn)題情境，可以收到良好效果.

【例1】電子感應(yīng)加速器是利用變化磁場(chǎng)激發(fā)感生電場(chǎng)來(lái)加速電子的設(shè)備，如圖1所示.上、下為兩個(gè)電磁鐵，磁極之間有一個(gè)環(huán)形真空室，用交變電流充磁的電磁鐵在兩極間產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，從而在環(huán)形室內(nèi)激發(fā)出很強(qiáng)的感生電場(chǎng)使電子加速，被加速的電子同時(shí)在洛倫茲力的作用下沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)法把高能電子引入靶室，能使其進(jìn)一步加速在一個(gè)半徑為r＝0.84m的電子感應(yīng)加速器中，電子在被加速的4.2×10－3s時(shí)間內(nèi)獲得的能量為120MeV.這期間電子軌道內(nèi)的高頻交變磁場(chǎng)是線性變化的.磁通量從零增到1.8Wb，求：

（1）當(dāng)交變磁場(chǎng)線性增強(qiáng)時(shí)，電子所處的環(huán)形真空室內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小；

（2）電子在環(huán)形真空室中共繞行了多少周.

圖1

（3）有人說(shuō)，根據(jù)麥克斯韋電磁場(chǎng)理論及法拉第電磁感應(yīng)定律，電子感應(yīng)加速器要完成電子的加速過(guò)程，電子軌道內(nèi)的高頻交變磁場(chǎng)也可以是線性減弱的，效果將完全一樣，你同意嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

解析：（1）由麥克斯韋電磁場(chǎng)理論知，當(dāng)交變磁場(chǎng)線性增強(qiáng)時(shí)，電子所處的環(huán)形真空室內(nèi)將產(chǎn)生恒定不變的感生電動(dòng)勢(shì)E，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出

由題知ΔΦ＝1.8Wb，Δt＝4.2×10－3s，N＝1匝，代入上式得

（2）電子在環(huán)形真空室中運(yùn)動(dòng)一周被電場(chǎng)加速做功為

故獲得W＝120MeV的能量需繞行的周數(shù)為

（3）不同意

由

得

盡管交變磁場(chǎng)線性減小也可以產(chǎn)生大小不變的感生電場(chǎng)，但感生電場(chǎng)的方向相反，電子不能被加速反而被減速，同時(shí)減小的磁場(chǎng)不能提供越來(lái)越大的洛倫茲力以維持電子繞行時(shí)的向心力.

該問(wèn)題的處理體現(xiàn)了“讓學(xué)生通過(guò)有實(shí)際意義的物理情景來(lái)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)”的思想，尤其是具體數(shù)據(jù)的引入讓學(xué)生能夠更好地理解物理模型，遠(yuǎn)離物理學(xué)本身的抽象難懂.同時(shí)也體現(xiàn)了筆者在改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式上所作出的努力.

2 電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的洛倫茲力

如果磁場(chǎng)沒(méi)有變化，空間就沒(méi)有感生電場(chǎng)，但閉合回路部分導(dǎo)體在切割磁感線，這時(shí)可以充分發(fā)揮人教課標(biāo)版教材選修3－2第四章第5節(jié) “思考與討論”欄目的作用，讓學(xué)生的思維層層深入，最終得出導(dǎo)體CD兩端存在電勢(shì)差，即導(dǎo)體CD相當(dāng)于一個(gè)電源，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)稱為“動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)”.教師可以就此提出問(wèn)題：在恒定磁場(chǎng)中，運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是哪種作用充當(dāng)了非靜電力呢？教材沒(méi)有給出具體的解答，只給了一個(gè)結(jié)論：此時(shí)非靜電力與洛倫茲力有關(guān).現(xiàn)借助例2從洛倫茲力的角度分析推理并最終推導(dǎo)出動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小的表達(dá)式E＝BLv.

【例2】如圖2，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒AB在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以速度v1向右勻速運(yùn)動(dòng)，試分析該情況下動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生機(jī)理并推導(dǎo)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小的表達(dá)式.

圖2

解析：當(dāng)金屬棒以速度v1向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)的自由電子隨棒一起以速度v1向右移動(dòng)，會(huì)受到如圖2所示的指向B端的洛倫茲力f1的作用，因此在金屬棒B端不斷聚集負(fù)電荷，A端出現(xiàn)等量的正電荷，故而在金屬棒中形成由A指向B的電場(chǎng)，洛倫茲力f1充當(dāng)了非靜電力的角色.當(dāng)金屬棒中的自由電子受到的洛倫茲力和電場(chǎng)力平衡時(shí)，自由電子便停止向B端聚集，從而在金屬棒AB兩端形成一個(gè)穩(wěn)定的電壓，此電壓在數(shù)值上等于金屬棒做切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).所以有

解得

該處需要引起大家注意的是，教材中提到，“導(dǎo)線在做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)相當(dāng)于一個(gè)電源，非靜電力與洛倫茲力有關(guān)”，而沒(méi)有說(shuō)就是洛倫茲力.實(shí)際上自由電子除了速度v1，還有一個(gè)在f1作用下沿金屬棒的速度v2，又導(dǎo)致電子受到洛倫茲力f2的作用，如圖3所示.通過(guò)上面的分析得知，原來(lái)此時(shí)的非靜電力是洛倫茲力沿導(dǎo)線方向的分力充當(dāng).

圖3

3 電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的“雙生”共存

此處的“雙生”共存，筆者指的是感生電動(dòng)勢(shì)、動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)同時(shí)存在的情況.在高中物理題中，一般考查只有其中一種電動(dòng)勢(shì)存在的情況，偶爾也考查兩種電動(dòng)勢(shì)同時(shí)存在的情況.

【例3】（2000年高考上海卷）如圖4所示，固定于水平桌面上的金屬框架cdef，處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，金屬棒ab擱在框架上，可無(wú)摩擦滑動(dòng)，此時(shí)adeb構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形，棒的電阻為r，其余電阻不計(jì)，開始時(shí)磁感強(qiáng)度為B0.

（1）若從t＝0時(shí)刻起，磁感強(qiáng)度均勻增加，每秒增量為k，同時(shí)保持棒靜止，求ab棒中的感應(yīng)電流大小，并說(shuō)明感應(yīng)電流的方向.

（2）在上述（1）情況中，始終保持棒靜止，當(dāng)t＝t1s末時(shí)需加的垂直于棒的水平拉力為多大？

（3）若從t＝0時(shí)刻起，磁感強(qiáng)度逐漸減小，當(dāng)棒以恒定速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可使棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感強(qiáng)度應(yīng)怎樣隨時(shí)間變化？（寫出B與t的關(guān)系式）

圖4

解析：忽略前兩問(wèn)，第（3）問(wèn)中磁感強(qiáng)度逐漸減小，回路中有感生電動(dòng)勢(shì)；棒以恒定速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)切割磁感線，回路中同時(shí)還有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).棒中無(wú)感應(yīng)電流，即整個(gè)回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零，也就是回路中的兩種感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相互抵消.

解法1：在某時(shí)刻t，對(duì)整個(gè)回路

當(dāng)t＝0時(shí)，B＝B0，結(jié)合式（1）得C＝B0L，所以式（1）可寫為

解法2：換一個(gè)角度考慮，因?yàn)榘糁袩o(wú)感應(yīng)電流，即回路的磁通量不變化，所以有

故

當(dāng)然，上面的兩種解法在本質(zhì)上是一致的，感興趣的可自行證明.

需要特別說(shuō)明的是：該題第（3）問(wèn)現(xiàn)已被選入教材，是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修3－2第四章第2節(jié)“問(wèn)題與練習(xí)”的第7題.可見我們平時(shí)的教學(xué)切不可脫離教材一味地去追求所謂的“難題”、“新題”.筆者覺(jué)得教材后的習(xí)題很多都是經(jīng)過(guò)歲月積淀下來(lái)的經(jīng)典題，是我們平時(shí)教學(xué)的“本”，值得我們每一位一線教師去重視、去挖掘、去研究.

4 電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的“雙桿”模型

兩桿同時(shí)切割磁感線時(shí)，在電路中會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，但兩桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)可能相互疊加，也可能相互抵消.若同向切割磁感線，則E＝BLv1－BLv2（v1＞v2）；若反向切割磁感線，則E＝BLv1＋BLv2.在具體問(wèn)題中要根據(jù)兩桿的速度方向并結(jié)合右手定則才能判定.

【例4】如圖5所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)軌由傾斜和水平兩部分連接組成，導(dǎo)軌間距L＝1m，傾斜角θ＝45°，水平部分處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向上，磁場(chǎng)左邊界MN與導(dǎo)軌垂直，金屬棒ab質(zhì)量m1＝0.2kg，電阻R1＝1 Ω，金屬棒cd質(zhì)量m2＝0.2kg，電阻R2＝3Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì).兩棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2.開始時(shí)，棒ab放在斜導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌高度差h＝1m，棒cd放在水平導(dǎo)軌上，距MN距離為s0，兩棒均與導(dǎo)軌垂直，現(xiàn)將ab棒由靜止釋放.取g＝10m／s2，求：

（1）棒ab運(yùn)動(dòng)到MN處的速度大小v0；

（2）棒cd運(yùn)動(dòng)的最大加速度；

（3）若導(dǎo)軌水平部分光滑，要使兩棒不相碰，棒cd距MN的最小距離.

圖5

解析：（1）對(duì)棒ab，從開始下滑至MN處，根據(jù)動(dòng)能定理得

代入數(shù)據(jù)解得

（2）棒ab運(yùn)動(dòng)到MN處時(shí)，棒cd速度為零，只有棒ab切割磁感線，此時(shí)回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，感應(yīng)電流最大，棒cd所受的安培力最大，加速度最大.

此時(shí)對(duì)棒cd運(yùn)用牛頓第二定律得

此時(shí)對(duì)回路，根據(jù)閉合電路歐姆定律得

代入數(shù)據(jù)解得

（3）在不相碰的情況下，兩棒最終有共同速度v，對(duì)兩棒組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得

代入數(shù)據(jù)解得

設(shè)某時(shí)刻棒ab的速度為v1，棒cd的速度為v2，在極短時(shí)間Δt內(nèi)，棒ab速度變化為Δv，對(duì)棒ab，根據(jù)牛頓第二定律得

代入數(shù)據(jù)解得

“雙桿”模型物理情境變化的空間很大，如雙桿均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，一桿靜止一桿勻速，一桿靜止一桿勻變速，一桿勻速一桿勻變速等等.此處筆者選擇例4這種情境的原因有兩個(gè)：一是雙桿運(yùn)動(dòng)情況復(fù)雜——均做非勻變速運(yùn)動(dòng)，二是該題涉及較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法.從近幾年江蘇高考物理的實(shí)際情況看，新的情境和較復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法一直是命題人心目中難題的標(biāo)準(zhǔn)，我們只有在平時(shí)的教學(xué)中做到有針對(duì)性的滲透，才能真正提升學(xué)生這方面的能力.

總之，不管在平時(shí)的新授課，還是后來(lái)的高三高考復(fù)習(xí)課，適時(shí)地把物理知識(shí)分類、歸納、總結(jié)，不但有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，游刃有余地應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的考題，更重要的是鍛煉了學(xué)生思維的深刻性和廣闊性，在提升能力的同時(shí)激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的興趣.

1 張大昌.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理（選修3－2）.北京：人民教育出版社，2010.1～26

2 張大昌.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理（選修3－2）教師教學(xué)用書.北京：人民教育出版社，2010.1～69

3 陳熙謀.高中物理專題研究：電路與電磁場(chǎng).北京：人民教育出版社，1998

4 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程：電磁學(xué)篇.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2004