平移亦旋轉(zhuǎn)—對一類圖形變化題目的思考

山東省泰安第六中學(xué) 劉向煒 婁延貞

山東教育出版社出版的《義務(wù)教育教科書（五?四制）數(shù)學(xué)》八年級上冊，第四章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，第四節(jié)圖形變化的簡單應(yīng)用，這一節(jié)內(nèi)容將圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)整合在圖案的欣賞和設(shè)計(jì)活動中，豐富有趣。在筆者的教學(xué)過程中，此章節(jié)深受學(xué)生們的喜愛，尤其是課本P107頁的做一做，這一小節(jié)中，大家各抒己見，發(fā)現(xiàn)了好多種變化的方法。因?yàn)榇藞D形較為復(fù)雜，加上手工作圖的局限性，并沒有學(xué)生說出“樹甲”可以經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)變換就可以與“樹乙”重合。但這并不代表學(xué)生們想不到。由于課后P108頁的習(xí)題2 ，《教師用書》中給出了四種圖形變化方式，大多數(shù)老師也都給學(xué)生講解了多種變化方法，當(dāng)然也包括經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)可以完成題目要求的變換；再加上《配套練習(xí)冊》P107頁的探索嘗試的對比，有很多學(xué)生提出了課本P107頁做一做的“那棵樹”能不能經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)變換完成由“樹甲” 到“樹乙”的變化？對于這個(gè)問題，大多學(xué)生會得到這樣的回答：你親自動手做一做，利用尺規(guī)作圖方法作出對應(yīng)點(diǎn)連線中垂線，看看他們能不能交于一點(diǎn)就可以了，但是很少有人給出明確的答案。因?yàn)槎鄶?shù)人心里想的是大概吧，也許吧，或許可以，應(yīng)該行。也就是因?yàn)檫@一點(diǎn)，所以才會有很多輔導(dǎo)資料上會出現(xiàn)有兩個(gè)正確答案的選擇題。比如，山東教育出版社出版的《初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練》，還有發(fā)行量很高的《少年智力開發(fā)報(bào)?數(shù)學(xué)專頁》上均有這類題目?！痘A(chǔ)訓(xùn)練》P130頁的這道題，它與我們教科書上的課后習(xí)題2，變化方式一樣，《教師用書》中也已經(jīng)明確給出了四種變換方式，包括只用旋轉(zhuǎn)即可完成，當(dāng)然不能只選答案D了?！渡倌曛橇﹂_發(fā)報(bào)?數(shù)學(xué)專頁》期末綜合訓(xùn)練A卷上也有這樣一道題（題目圖片見文章最后）。這種題目的存在，說明了很多人（包括老師）沒有認(rèn)識到“平面上的圖形變化，凡是經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)能夠完成的，完全可以經(jīng)過一步旋轉(zhuǎn)完成”這一事實(shí)，也就是“兩步變一步”。于是筆者帶著這個(gè)問題和同事們展開了研究，經(jīng)過討論、作圖，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，最終證明了這一命題是真命題。下面我來說一下證明的思路，以及證明的過程。

從平面內(nèi)基本圖形線段入手，把一條線段AB先平移一段距離后，再旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度，完成線段AB到線段A1B1的變化。若要證明線段AB可以經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)變化到線段A1B1，那么必須得說明變化前后的兩條線段上所有的對應(yīng)點(diǎn)的連線的中垂線都經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)變化時(shí)的旋轉(zhuǎn)中心。于是就有了下面的證明過程。

已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，線段AB在y軸正半軸上A(0,0)，B(0,a)，把線段AB沿x軸向右平移b個(gè)單位后，到達(dá)A1B’處，然后讓線段A1B’繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ度，變成線段A1B1，求證：線段AB與線段A1B1所有對應(yīng)點(diǎn)的連線的中垂線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)。

證明：過點(diǎn)B1作B1D⊥x軸，垂足為D，易得可得線段的點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可設(shè)直線表達(dá)式為：y=m1x+a，把代入可解得于是直線表達(dá)式為：因?yàn)榛ハ啻怪钡膬蓷l直線表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1，所以可以設(shè)直線中垂線表達(dá)式為：把線段的中點(diǎn)代入可求得

可以得到線段的中垂線表達(dá)式應(yīng)為此直線與線段的中垂線的焦點(diǎn)可以求出來，計(jì)算如下：

直線的方程可以設(shè)為y=m2x+ka,把代入可解得于是直線表達(dá)式為：因?yàn)榛ハ啻怪钡膬蓷l直線表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1，所以可以設(shè)線段CC1的中垂線表達(dá)式為：把線段的中點(diǎn)代入可求得

所以直線的中垂線方程為：此直線與線段的中垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為

所以交點(diǎn)為，這與前邊所求的交點(diǎn)坐標(biāo)相同。

這在理論上證明了兩條線段上所有的對應(yīng)點(diǎn)的連線的中垂線都經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)。所以“二步變一步”是正確的。后來筆者通幾何畫板軟件，做了“這棵樹”的動畫圖片，又從另一方面印證了：平面圖形平移、旋轉(zhuǎn)變換完全可以用一步旋轉(zhuǎn)完成。毫無疑問當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心離我們要旋轉(zhuǎn)的圖形很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)，并且我們的旋轉(zhuǎn)角度足恰好又很小，此時(shí)的圖形變換就是平移，所以我們可以說平移亦旋轉(zhuǎn)，平移恰好是轉(zhuǎn)的一個(gè)特殊情況，是旋轉(zhuǎn)中心無限遠(yuǎn)的一個(gè)特例。

一番探索研究下來，我本人收獲了以下幾點(diǎn)：一是在教育教學(xué)的過程中，我們教師對于每一個(gè)小細(xì)節(jié)都要認(rèn)真思考，嚴(yán)謹(jǐn)證明，尤其是教給學(xué)生們的知識上，更要嚴(yán)苛的要求自己。二是這種研究會讓我們有很多意想不到的收獲，可以得出一些從未有人研究的過結(jié)論，享受探究的樂趣，并能潛移默化給自己的學(xué)生們。三是正如旋轉(zhuǎn)亦平移是正確的一樣，我們可以推理出這樣的事實(shí)：兩平行線在無限遠(yuǎn)的地方是有交點(diǎn)的。這一點(diǎn)以后有機(jī)緣再深入研究。