秉承傳統(tǒng) 開(kāi)拓創(chuàng)新

趙華卿

縱觀2015年山東省數(shù)學(xué)試題，與2014年相比，試題形式不變，選擇題10道，填空題5道，解答題6道，15道客觀題共75分，6道主觀題共75分.試題設(shè)計(jì)延續(xù)2014年的風(fēng)格，試題穩(wěn)中有進(jìn)，穩(wěn)中有新，設(shè)計(jì)質(zhì)量高，考試效果好.

1 試題質(zhì)量評(píng)析

今年的山東高考試題符合《考試說(shuō)明》的要求，對(duì)《考試說(shuō)明》規(guī)定的知識(shí)點(diǎn)基本覆蓋.試題重點(diǎn)考查了中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)、重要的數(shù)學(xué)思想方法.試題的命制，遵循“命題保持相對(duì)穩(wěn)定，體現(xiàn)新課程理念”的指導(dǎo)思想，結(jié)合我省普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)和特點(diǎn)，注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想和方法，注重考查學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).鼓勵(lì)學(xué)生多角度、創(chuàng)造性地思考和解決問(wèn)題.

今年山東卷的題量和難度適宜，題目安排由易到難，合理配置易、中、難試題，很好地控制了試題難度，保證試卷具有較高的信度、效度、必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度，有助于不同的高校對(duì)新生的選拔.

2 試題特點(diǎn)分析

今年的山東高考數(shù)學(xué)試題有以下特點(diǎn)：

2.1 重視教材考基礎(chǔ)

今年的山東卷無(wú)論是文科還是理科，無(wú)論是選擇題前五道，還是填空題前三道均十分“面熟”，使考生倍感親切，從而有勇氣和信心去完成整份試卷的考試，真正體現(xiàn)出人文關(guān)懷.而且今年的選擇題相比較2014年的選擇題，難度普遍降低.總之，今年的選擇題與填空題“溫和平緩”，沒(méi)有使學(xué)生望而生畏，新題不難，難題不怪，平易近人.

今年的山東卷加大了對(duì)“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法”的考查力度，在常規(guī)中考查知識(shí)與能力，許多題目似曾相識(shí)，不少試題是課本上例題、習(xí)題的變式、轉(zhuǎn)化或引申.如理科第3題是由人教A版數(shù)學(xué)必修4課本55頁(yè)練習(xí)2（三角函數(shù)圖象的變換）引申而成;第5題是由數(shù)學(xué)選修45課本17頁(yè)例5（解不等式x-1+x+2≥5）改編而成;第9題是由數(shù)學(xué)必修2課本134頁(yè)例2（已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長(zhǎng)為45，求直線l的方程）改編而成，充分體現(xiàn)出“源于教材，高于教材”的理念.教材豐富的內(nèi)涵是命制高考試題的不竭源泉，故在平時(shí)的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)過(guò)程中我們要重視教材的使用，重視獲取知識(shí)的第一印象，在綜合復(fù)習(xí)時(shí)要避免“高起點(diǎn)、高目標(biāo)、高要求”，注重課本內(nèi)容的復(fù)習(xí)鞏固和溫故知新，注意知識(shí)的前后聯(lián)系與溝通，做到活學(xué)活用，舉一反三，融會(huì)貫通，要學(xué)會(huì)用“遷移”和“類比”的方法處理問(wèn)題，在運(yùn)用中使知識(shí)得到升華.

2.2 強(qiáng)化概念考本質(zhì)

數(shù)學(xué)的概念或定義反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，這要求我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視基本概念的教學(xué)，應(yīng)盡可能地創(chuàng)設(shè)使學(xué)生理解概念的情境，讓學(xué)生充分理解概念，學(xué)會(huì)用概念解題.今年的山東卷不少試題涉及到數(shù)學(xué)概念，突出了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查.如理科第2，4，8，20（Ⅰ）等題，分別考查了共軛復(fù)數(shù)、向量的數(shù)量積、正態(tài)分布、橢圓等定義.所以高中教學(xué)和高考復(fù)習(xí)中應(yīng)重視課本、強(qiáng)化概念，重視數(shù)學(xué)基本概念、重要概念的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)方法的研究，不斷培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力，這對(duì)學(xué)生持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是有益的.

2.3 突出主干考體系

今年的山東卷對(duì)支撐數(shù)學(xué)學(xué)科體系的主干內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了重點(diǎn)考查.主干內(nèi)容多以解答題的形式進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)，重點(diǎn)集中在三角函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、立體幾何、直線與圓錐曲線、數(shù)列、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容上.數(shù)學(xué)思想方法在不少試題中得到了充分的運(yùn)用與體現(xiàn)，如文科的第8，10，15等題考查分類整合思想;第7，13，20（Ⅱ）（Ⅲ），21（Ⅱ）等題考查了數(shù)形結(jié)合思想;第3，7，8，9，20，21等題考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，第4，14，15，20，21等題考查了函數(shù)與方程思想.高考對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查有加強(qiáng)的趨勢(shì)，這應(yīng)引起重視.

2.4 注重計(jì)算考思維

數(shù)學(xué)中運(yùn)算能力是根據(jù)運(yùn)算的定義及其性質(zhì)，從已知數(shù)據(jù)及算式推導(dǎo)出結(jié)果的能力，是思維能力與運(yùn)算技巧的結(jié)合，具體表現(xiàn)為：（1）能根據(jù)概念、公式和法則對(duì)數(shù)、式和方程進(jìn)行正確的運(yùn)算和變形;（2）能分析條件和結(jié)論，尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑;（3）能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，并能進(jìn)行近似計(jì)算.其中理科第5、7、9、19、20、21題運(yùn)算量都很大，但是在運(yùn)算中也需尋求一定的技巧.比如，理科第5題是含絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題，與2013年的第14題基本相同，既可以分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)一步求解不等式;也可以數(shù)形結(jié)合，借助絕對(duì)值的幾何意義求解不等式;更可以用排除法，選出答案.又如，文科第13題是向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，既可以求出直線與圓的切點(diǎn)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算出結(jié)果;也可以數(shù)形結(jié)合，借助于直角三角形中的邊角關(guān)系，求出兩向量夾角，再由數(shù)量積的定義求出答案.方法二數(shù)形結(jié)合，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，尋求兩向量的長(zhǎng)度及夾角，計(jì)算更簡(jiǎn)潔.再如，文科第21題，理科第20題，考生可以直接求△ABQ的面積，也可以根據(jù)上一問(wèn)提示的比例關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求△OAB的面積，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，思維層次分明.

2.5 文理差異趨合理

今年山東卷的文理卷完全相同題只有3道，姊妹題（同題型不同考法）有4道，其中解答題中的立體幾何題題干完全相同，第（Ⅰ）問(wèn)都是線面平行的證明，第（Ⅱ）問(wèn)文科是面面垂直的證明，而理科是在證明線線垂直的基礎(chǔ)上求二面角.圓錐曲線題文科第（Ⅰ）問(wèn)考查待定系數(shù)法求橢圓方程，理科第（Ⅰ）問(wèn)則考查在幾何背景下橢圓的生成過(guò)程和圖形特征.

今年的文、理科試卷在內(nèi)容和難度上區(qū)別明顯而且合理.如文科選擇題和填空題的壓軸題的難度明顯低于理科，一些理科試題簡(jiǎn)化后作為文科試題.這樣的設(shè)計(jì)符合《考試說(shuō)明》對(duì)文、理科考生的不同要求和考生實(shí)際水平，對(duì)中學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用.

3 創(chuàng)新試題呈亮點(diǎn)

文理試卷設(shè)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題，均背景真實(shí)、描述準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力.

今年的山東卷出現(xiàn)了不少新題亮題，這些題目構(gòu)思精巧、立意鮮明、背景深刻、情境新穎、設(shè)問(wèn)巧妙，對(duì)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力、推理論證能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)有很好的區(qū)分.對(duì)新題亮題的賞析，可以提高對(duì)好題欣賞的水平，琢磨命題教師的設(shè)計(jì)意圖，對(duì)做好數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)應(yīng)考都有幫助.

理科的第9（反射光線與圓）、11（歸納推理）、13（算法與定積分）、19（“趣味活動(dòng)”求概率）、20（圓錐曲線（Ⅰ））、21（極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)）等題是新題.特別地，第20題圓錐曲線（Ⅰ）以兩圓相交，交點(diǎn)在橢圓上為背景，旨在考查考生在幾何背景下探索橢圓的生成過(guò)程和圖形特征.考查了學(xué)生閱讀理解、知識(shí)遷移的創(chuàng)新能力.第21題（Ⅰ）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求導(dǎo)后的分子無(wú)法分解，需從二次函數(shù)的角度分類討論，研究二次函數(shù)在（-1，+∞）上解的個(gè)數(shù).所以高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)不僅以知識(shí)和訓(xùn)練為中心，重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶與掌握，還需重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解感悟，重視對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

文科的第7（幾何概型與對(duì)數(shù)不等式）、8（奇函數(shù)與分式不等式）、9（旋轉(zhuǎn)形成幾何體）、13（直線與圓及向量數(shù)量積）、14（新定義與基本不等式）、15（直線與雙曲線）等題在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，考查學(xué)生綜合和靈活應(yīng)用知識(shí)的能力，是亮點(diǎn)題.試題中知識(shí)之間、方法之間的交叉、滲透與綜合是為了加強(qiáng)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，如果過(guò)于強(qiáng)調(diào)各個(gè)知識(shí)之間的相對(duì)獨(dú)立性，就會(huì)導(dǎo)致相關(guān)知識(shí)之間相互割裂，就會(huì)影響學(xué)生思維過(guò)程和思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，沒(méi)有多種思想和方法的交鋒、交融，學(xué)生很難舉一反三，融會(huì)貫通.故在高三復(fù)習(xí)中要提高針對(duì)性，適應(yīng)高考創(chuàng)新型試題，注意知識(shí)在各自發(fā)展過(guò)程中的縱向聯(lián)系以及不同知識(shí)部份之間的橫向聯(lián)系，把握結(jié)構(gòu)，理清脈絡(luò)，重視知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)和知識(shí)塊結(jié)合部的復(fù)習(xí)，以提高對(duì)高考創(chuàng)新型試題的適應(yīng)能力.

4 教學(xué)啟示

41 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系

今年山東卷中許多選擇題和填空題均涉及對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用的考查.在平時(shí)的教學(xué)及高三復(fù)習(xí)中要關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，特別是數(shù)學(xué)定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程、運(yùn)用及例題的求解過(guò)程，切實(shí)改變學(xué)生一聽(tīng)就懂、一看就會(huì)和一做就錯(cuò)的傾向.讓學(xué)生能在大腦記憶系統(tǒng)中自主構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系.這樣，學(xué)生在解題時(shí)，就能由題目提供的信息，從記憶系統(tǒng)里檢索出有關(guān)信息，選取出與題目的要求構(gòu)成最佳組合的信息，發(fā)現(xiàn)解題思路，優(yōu)化解題過(guò)程.

4.2 注重培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，重視在知識(shí)交匯點(diǎn)上找突破

今年的試題加強(qiáng)了創(chuàng)新意識(shí)的考查，這是社會(huì)發(fā)展的要求.數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，一門思維學(xué)科，是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)的主渠道之一.要激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，讓學(xué)生積極、主動(dòng)地參與教學(xué)和復(fù)習(xí)的全過(guò)程，進(jìn)行獨(dú)立思考，提高獨(dú)立解決問(wèn)題的能力.要培養(yǎng)學(xué)生大膽創(chuàng)新、敢于求異、勇于探索的精神，形成良好的思維品質(zhì)，為高校輸送高質(zhì)量的創(chuàng)新人才.在平時(shí)的教學(xué)中要注重在知識(shí)點(diǎn)的交匯處設(shè)計(jì)題目，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在不同知識(shí)之間思維的轉(zhuǎn)換，逐步培養(yǎng)其創(chuàng)新的意識(shí)和方法.

4.3 重視文理科的差異，找準(zhǔn)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)

針對(duì)文理兩科學(xué)生的個(gè)性差異以及教學(xué)上要求的不同，在復(fù)習(xí)階段需因人而異，因材施教，掌握文理兩科的不同要求標(biāo)準(zhǔn).文科要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，理科則強(qiáng)調(diào)理性思維.

在平時(shí)的教學(xué)或高三復(fù)習(xí)的過(guò)程中要及時(shí)找準(zhǔn)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，及時(shí)補(bǔ)救.如學(xué)生在復(fù)習(xí)中，對(duì)運(yùn)算薄弱的對(duì)數(shù)，就要拿出單獨(dú)的時(shí)間進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練;再如學(xué)生在遇到圓錐曲線比較復(fù)雜的運(yùn)算時(shí)，感到困難，這時(shí)就要對(duì)比較復(fù)雜的運(yùn)算類型進(jìn)行整理，找出計(jì)算的技巧，落實(shí)到位，只有這樣，才能真正解決學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，當(dāng)然學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，需要集中時(shí)間打殲滅戰(zhàn)，更需要進(jìn)一步鞏固和擴(kuò)大戰(zhàn)果，有時(shí)需要打持久戰(zhàn).

4.4 養(yǎng)成好的習(xí)慣，是數(shù)學(xué)教師不可推卸的責(zé)任

教育的本質(zhì)是習(xí)慣的養(yǎng)成.數(shù)學(xué)教師在這方面有不可推卸的責(zé)任，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該明確在高一、高二、高三，培養(yǎng)學(xué)生的哪些習(xí)慣，尤其是結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，哪些習(xí)慣更好養(yǎng)成，哪些習(xí)慣需要在哪一階段怎么培養(yǎng)是很關(guān)鍵的.