從錯誤走向正確

學生在學習數(shù)學中，不可避免地會發(fā)生錯誤.我們對錯誤要有正確的認識，首先，不要害怕學生犯錯誤，錯誤往往是正確認知的前兆，這正是失敗乃成功之母，錯誤是重要的學習資源.其次，要引導學生主動積極地發(fā)現(xiàn)錯誤，發(fā)現(xiàn)錯誤之時，是發(fā)展思維的最佳時機.再次，培養(yǎng)學生及時反思糾正錯誤的習慣，吃一塹長一智.筆者在三角形中三個求解范圍問題的教學中，幫助學生發(fā)現(xiàn)錯誤，糾正錯誤，發(fā)展思維，現(xiàn)整理成文與大家交流.

1 弄清構成三角形的充要條件

問題1 已知△ABC的三條邊a，b，c成等比數(shù)列，且a+b+c=9，求b的取值范圍.

學生的典型解法：

解 因為a，b，c能成為三角形的三條邊，所以a-c<b<a+c;

因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac;

再結合a+b+c=9，得到a，b，c應滿足

a-c<b<a+c， ? ?①

b2=ac，②

a+b+c=9，③

由③式得a+c=9-b， ④

由①得（a-c）2<b2<（a+c）2，即（a+c）2-4ac<b2<（a+c）2 ， ⑤

將② ④代入⑤得（9-b）2-4b2<b2<（9-b）2， ?⑥

由⑥左邊不等式解得b>95-94或b<-95-94（舍去），由⑥右邊不等式解得b<92.

綜上，b的取值范圍為（95-94，92）.

但本題的參考答案是（95-94，3]，是學生解錯了，還是參考答案錯了？對此，開展了如下的教學活動.

師：請同學們比較兩個答案，你發(fā)現(xiàn)了什么？有什么想法？請大家分析究竟哪個答案是正確的.

生1：我發(fā)現(xiàn)我們得到的答案比參考答案的范圍大，多出了區(qū)間（3，92）內(nèi)的值.

生2：我在區(qū)間（3，92）內(nèi)取一個特殊值b=4試了一下.發(fā)現(xiàn)當b=4時，ac=16

a+c=5，由此得a2-5a+16=0，而此時Δ=（-5）2-4×16=-39<0，方程組無實數(shù)解，所以a，c不存在.由此可以肯定我們的解法錯了.

師：那怎樣改進你們的解法呢？

生3：生2的啟發(fā)，我這樣做：由②③ ac=b2

a+c=9-b得方程x2-（9-b）x+b2=0應該有兩正實數(shù)根Δ=（9-b）2-4b2≥0-9≤b≤3.又因為b為正數(shù)，所以0<b≤3，再結合（95-94，92）得到正確的答案（95-94，3].

師：至此真相大白，忽視正數(shù)a，c的存在性是造成解答錯誤的根本原因.盡管錯誤解法中的錯誤是非常隱蔽的，但還是被同學們的智慧眼睛發(fā)現(xiàn)了！邊b的取值不但要保證a，b，c可以構成三角形，而且還要保證邊a，c（a，c是正實數(shù)）的存在性，我們不僅要發(fā)揮②③兩式的消元轉化作用，還要充分挖掘②③中隱含的不等關系.由此，我們得到這樣的解題經(jīng)驗：對于等式，不但要發(fā)揮它們的等的功能，而且要挖掘其中隱含的不等關系，不但要重視等式相等的一面，還要重視不等的一面，把問題考慮周全.

2 弄清三角形中一個角是銳角的充要條件

問題2 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，12mb，c成等差數(shù)列，a，12b，c成等比數(shù)列，角B是銳角，求實數(shù)m的取值范圍.

學生的典型解法：

解 因為a，12mb，c成等差數(shù)列，a，12b，c成等比數(shù)列，所以a+c=mb，ac=14b2.因為角B是銳角，所以a2+c2>b2. 又因為（a+c）2=a2+c2+2ac，所以（mb）2>b2+12b2.由a+c=mb得m>0.所以m>62.

學生得到的答案m>62是錯誤的，錯在哪里？對此，開展了如下的教學活動.

師：角B是銳角的充要條件是a2+c2>b2嗎？

生1：是的.

師：說出你的理由.

生1：由余弦定理知道，角B是銳角cos B=a2+c2-b22ac>0a2+c2>b2（不少同學附和贊同）.

生2：我認為不是充要條件，例如，a=100，b=1，c=2，雖然有a2+c2>b2，但b+c<a，這樣的a，b，c不能組成三角形，角B根本不存在.

師：那還應該增加什么條件呢？

生3：再加上構成三角形的條件，任意兩邊之和大于第三邊.

生4：由a2+c2>b2可以得到a+c>b.因為（a+c）2>a2+c2>b2，所以a+c>b.只要再增加a-c<b這個條件就可以了.

生5：我覺得，角B是銳角應該等價于0<cos B<1，只要增加cos B<1就可以了.

師：我們來看看cos B<1轉化為邊是什么限制條件，由cos B<1得a2+c2-b22ac<1，即a-c<b.真是殊途同歸.由此我們得到，三角形中角B是銳角的充要條件是0<cos B<1a2+c2>b2

a-c<b.

生6：這個題目我會解了，在原來解法的基礎上增加限制條件a-c<b，即（a-c）2<b2，

（a+c）2-4ac<b2，（mb）2-b2<b2，再結合上面得到的m>62，所以實數(shù)m取值范圍是（62，2）.

師：忽視三角形的存在性是造成解答錯誤的根本原因.經(jīng)過同學們的相互討論，研究出三角形中角B是銳角的充要條件是0<cos B<1a2+c2>b2

a-c0a2+c2>b2.

3 弄清三角形中一個角是鈍角的充要條件

問題3 ?在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且a=32，A=π3，角B是鈍角，求b+c的取值范圍.

學生的典型解法：

解 由余弦定理得b2+c2-bc=34.因為（b+c）2=b2+c2+2bc，所以（b+c）2=34+3bc.由基本不等式得（b+c）2≤34+3（b+c）24，因為角B是鈍角，所以b≠c.所以（b+c）2<34+3（b+c）24，（b+c）2<3，b+c<3.又因為b+c>a=32，所以32<b+c<3.所以b+c取值范圍是（32，3）.

本題的正確答案是（32，32），學生實際上只是得到了問題3的必要條件（32，3），解決問題的關鍵是尋找三角形的一個角是鈍角的充要條件.對此，開展了如下的教學活動.

師：同學們上述解法正確嗎？

生1：我覺得角B是鈍角這一條件轉化有問題，由角B是鈍角得到b≠c，這個限制太弱了.

師：那角B是鈍角的充要條件是什么？

生2：由余弦定理知道，角B是鈍角cos B=a2+c2-b22ac<0a2+c2<b2（不少同學附和贊同）.

生3：我認為不是充要條件，例如，a=1，b=100，c=2，雖然有a2+c2<b2，但a+c<b，這樣的a，b，c不能組成三角形，角B根本不存在.

師：那還應該增加什么條件呢？

生3：再加上構成三角形的條件，任意兩邊之和大于第三邊.

生4：由a2+c2<b2可以得到a-c<b.因為（a-c）2<a2+c2<b2，所以a-c<b.只要再增加a+c>b這個條件就可以了.

生5：我覺得，角B是鈍角應該等價于-1<cos B<0，只要增加-1<cos B就可以了.

師：我們來看看-1<cos B轉化為邊是什么限制條件，由cos B>-1得a2+c2-b22ac>-1，即a+c>b.真是殊途同歸.由此我們得到，三角形中角B是鈍角的充要條件是-1<cos B<0a2+c2<b2

a+c>b.

師：有了上面的分析，請同學們思考問題3的正確解法.

生6：這個題目我會解了，因為角B是鈍角，所以a2+c2<b2

a+c>b，即a2<b2-c2=（b+c）（b-c）

a>b-c.

因為（b+c）2=34+3bc=34+34[（b+c）2-（b-c）2]，

所以（b+c）2=3-3（b-c）2.

設b+c=y，b-c=x，則xy>34，x<32，y2=3-3x2.即（3x2）y2>2716，x2<34，y2=3-3x2.

所以（3-y2）y2>2716，y2>34.因此34<y2<94.又因為y>0，所以32<y<32.

所以b+c取值范圍是（32，32）.

師：沒有對角B是鈍角這一條件實現(xiàn)等價轉化是造成解答錯誤的根本原因.經(jīng)過同學們的相互討論，研究出三角形中角B是鈍角的充要條件是-1<cos B<0a2+c2<b2

a+c>b.糾正原有的錯誤認識：角B是鈍角cos B<0a2+c2<b2.另請同學們思考如何用正弦定理簡捷解決這個問題.

作者簡介 張乃貴，男，1966年生，江蘇興化人，教育碩士，江蘇省中學數(shù)學特級教師，主要從事中學數(shù)學教育、初等數(shù)學、數(shù)學競賽研究，在《中學數(shù)學雜志》等雜志發(fā)表論文300多篇.