三道高考試題 一種解答方略

傅平修+張偉志

翻看今年山東的高考試題，發(fā)現(xiàn)文（21）、理（20）與山東2011年理（22）、2013年文（22）可以借助同一種方略解答，即借助三角形的面積公式S=12a1b2-a2b1和橢圓的參數(shù)方程，就可以比較簡捷的解答.現(xiàn)給出試題及解答方略.

試題1 （2011年山東理22）已知?jiǎng)又本€l與橢圓C：x23+y22=1交于Px1，y1，Qx2，y2兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ=62，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）證明：x21+x22和y21+y22均為定值;

（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求OM·PQ的最大值;

（Ⅲ）橢圓C上是否存在三點(diǎn)D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=62？若存在，判斷△DEG的形狀;若不存在，請說明理由.

試題2 （2013年山東文22）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，離心率為22.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為64的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P，設(shè)OP=tOE，求實(shí)數(shù)t的值

試題3 （2015年山東文21）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32，且點(diǎn)（3，12）在橢圓C上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）設(shè)橢圓E：x24a2+y24b2=1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過P的直線y=kx+m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q：（1）求OQOP的值;（2）求△ABQ面積的最大值.

為了解答上述三題，現(xiàn)給出以下兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1 人教B版《數(shù)學(xué)·必修5》第10頁“探索及研究”中的命題：

已知OA=（a1，a2），OB=（b1，b2），設(shè)△OAB的面積為S，則S=12a1b2-a2b1.

證明 S=12OA·OBsinθ（θ為OA，OB的夾角），

所以4S2=OA2·OB21-cos2θ

=（a21+a22）·（b21+b22）·1-（a1b1+a2b2）2（a21+a22）（b21+b22）

=（a1b2-a2b1）2，

所以S=12a1b2-a2b1.

結(jié)論2 橢圓x2a2+y2b2=1的參數(shù)方程為x=acosθ

y=bsinθ.

試題1解析 （Ⅰ）由已知可設(shè)：

P（3cosα，2sinα），Q（3cosβ，2sinβ），

所以S△OPQ=126cosαsinβ-6sinαcosβ

=62sin（α-β=62.

所以sin（α-β）=±1，即α-β=kπ+π2（k∈Z），

所以x21+x22=3（cos2α+cos2β）=3（sin2β+cos2β）=3，

y21+y22=2（sin2α+sin2β）=2（sin2β+cos2β）=2.

（Ⅱ）由已知M（32（cosα+cosβ），22（sinα+sinβ）），則：

OM2=14（3（cosα+cosβ）2+2（sinα+sinβ）2）

=14（5+6cosαcosβ+4sinαsinβ）.

PQ2=3（cosα-cosβ）2+2（sinα-sinβ）2

=5-6cosαcosβ-4sinαsinβ·OM2·PQ2=14（5+6cosαcosβ+4sinαsinβ）（5-6cosαcosβ-4sinαsinβ）

≤14（102）2=254.

所以O(shè)M·PQ≤52，

等號成立的條件是3cosαcosβ+2sinαsinβ=0.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知D、E、G中必有兩點(diǎn)連線過坐標(biāo)原點(diǎn)，故此橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn).

試題2解析 （Ⅰ）x22+y2=1.

（Ⅱ）設(shè)A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ）.

則S=122cosαsinβ-2sinαcosβ=

22sin（α-β）=64.

所以sin（α-β）=32，即sin（α-β）=±32.

E（2（cosα+cosβ）2，sinα+sinβ2），所以P（2t（cosα+cosβ）2，t（sinα+sinβ）2），代入x2+2y2=2得

t2（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=4，

即：t2（2+2cos（α-β））=4.

因?yàn)閏os（α-β）=±12，所以t2=4或t2=43，又因?yàn)閠>0，所以t=2或t=233.

試題3解析 （Ⅰ）x24+y2=1.

（Ⅱ）（1）OQOP=2.

（2）設(shè)A（4cosα，2sinα），B（4cosβ，2sinβ），P（2cosθ，sinθ），所以S△AOB=12|4cosα·2sinβ-4cosβ·2sinα|

=4sin（α-β）.

因?yàn)镻，A，B三點(diǎn)共線，且P在A，B之間，所以O(shè)P=mOA+（1-m）OB（0<m<1），

即（2cosθ，sinθ）=m（4cosα，2sinα）+（1-m）（4cosβ，2sinβ），

所以cosθ=2mcosα+（1-m）cosβ， ?①

sinθ=2msinα+（1-m）sinβ， ?②

①②平方相加得

14=m2+（1-m）2+2m（1-m）cos（α-β）③

因?yàn)閙2+（1-m）2≥m+（1-m）22=12，2m（1-m）≤m+（1-m）22=12，所以cos（α-β）<0.

由③，14≥12+12cos（α-β），所以cos（α-β）≤-12，所以sin2（α-β）=1-cos2（α-β）≤34，所以sin（α-β）≤32，所以S△AOB≤23.

由（1）S△ABQ=3S△AOB，所以（S△ABQ）max=63.

注 （1）由此法亦可得，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)S△ABQ的面積最大.

（2）山東理科卷20題（Ⅱ）同此題（Ⅱ）.

作者簡介 傅平修，男，1965年3月生，1997年破格晉升為中學(xué)高級教師.全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克優(yōu)秀輔導(dǎo)員、省高中數(shù)學(xué)骨干教師、市優(yōu)秀教師、市教學(xué)能手、市學(xué)科帶頭人.潛心于教育教學(xué)及教學(xué)研究三十余年，主編中學(xué)生讀物十余部，在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等發(fā)表論文30余篇.