談一個(gè)質(zhì)檢試題的命題構(gòu)想

楊蒼洲+王志良

筆者有幸參與了泉州市2014屆高中畢業(yè)班單科質(zhì)檢數(shù)學(xué)科的命題工作.

每次命題過(guò)程中，總會(huì)有一兩個(gè)試題讓筆者頗有感觸.在本次命題工作中，文科卷壓軸試題的命制讓筆者深深感觸到“數(shù)形結(jié)合思想”在命題中的重要作用.筆者借助幾何畫板，通過(guò)對(duì)“形”的研究，經(jīng)歷“直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算”的思辨過(guò)程，把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，從而得到試題.下面展示此試題的命制過(guò)程，以饗讀者.

1 背景選擇與命題手法

筆者擬以“函數(shù)與其切線的位置關(guān)系”為背景，進(jìn)行試題的命制.命題之初，筆者研究了函數(shù)y=lnx+x的圖象，并作函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)A（1，1）處的切線，用幾何畫板畫出該函數(shù)的圖象及其切線（如圖）.觀察圖象并研究該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可知：（1）函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)A（1，1）處的切線斜率為2;（2）因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx+x為凸函數(shù)，所以其圖象恒在其切線的下方;（3）若點(diǎn)Q為函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，且在點(diǎn)A右側(cè)，則點(diǎn)Q與點(diǎn)A連線的斜率恒小于函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)A處的切線斜率.

數(shù)學(xué)老師都知道：數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)老師常強(qiáng)調(diào)：善于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題常常能事半功倍;數(shù)學(xué)老師卻不一定知道：用數(shù)形結(jié)合的方法命題是原創(chuàng)試題的一種重要方法.

用幾何畫板等作圖工具對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行探究，并從圖象中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)論，是數(shù)學(xué)命題的一種常規(guī)且重要的方法.因此，試題的命制，筆者選擇從“數(shù)形結(jié)合”開(kāi)始！

2 試題編制與修正過(guò)程

通過(guò)觀察上述函數(shù)圖象所得的三個(gè)結(jié)論都是可以用高中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明的，這使得以此為背景進(jìn)行試題編制成為可能.

試題1 已知函數(shù)f（x）=lnx+x在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l.

（Ⅰ）求切線l的方程;

（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）;

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Q（x0，f（x0）），證明：當(dāng)x0>1時(shí)，直線QA的斜率恒小于2.

上述試題中所設(shè)計(jì)的函數(shù)f（x）=lnx+x的圖象是定曲線，其切線也是定直線，這些因素使得試題缺乏動(dòng)感，略顯呆板.為了增加試題的靈動(dòng)性，我們考慮在題干中引入?yún)?shù)，把題干中的函數(shù)改為f（x）=lnx-ax，并提示考生結(jié)合圖象觀察結(jié)果，通過(guò)直觀感知獲得結(jié)果，并進(jìn)行嚴(yán)格證明，實(shí)現(xiàn)思辨論證.試題設(shè)計(jì)如下：

試題2 已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點(diǎn)A（1，f（1））處切線的斜率為2.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值;

（Ⅱ）觀察函數(shù)f（x）的圖象，并作答：

（?。┏c(diǎn)A外，函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)在直線l的上方還是下方？證明你的結(jié)論;

（ⅱ）若Q（x0，f（x0）），且直線QA的斜率恒小于2，寫出實(shí)數(shù)x0的取值范圍，并證明.

上述試題引導(dǎo)學(xué)生采用“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計(jì)算”等方法認(rèn)識(shí)和探索函數(shù)圖象及其性質(zhì)，積極響應(yīng)“倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”的新課程理念.雖然上述試題在題干中引入了參數(shù)a，但是，問(wèn)題題干給出條件“點(diǎn)A（1，f（1））處切線的斜率為2”，已經(jīng)再次使得函數(shù)的圖象變成定曲線，因此讓函數(shù)圖象動(dòng)起來(lái)的設(shè)想并沒(méi)有實(shí)現(xiàn).為了實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想，我們把“斜率為2”設(shè)置為第（Ⅰ）步的前提，同時(shí)使“斜率為2”為第（Ⅲ）步的進(jìn)行“提示”，埋下伏筆.由于本試題為文科考生第一輪復(fù)習(xí)的檢測(cè)試題，考慮到試題難度問(wèn)題，我們決定放棄“觀察—猜測(cè)——證明”的構(gòu)題思路，在（Ⅱ）中直接證明：“無(wú)論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）”;在（Ⅲ）給出條件“直線QA的斜率恒小于2”反過(guò)來(lái)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.試題設(shè)計(jì)如下：

試題3 已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點(diǎn)A（1，f（1））處切線為l.

（Ⅰ）當(dāng)切線l的斜率為2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值;

（Ⅱ）證明：無(wú)論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）;

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），當(dāng)x2>x1>1時(shí)，直線PQ的斜率恒小于2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

上述試題第（Ⅲ）步，實(shí)為“斜率型不等式”的恒成立問(wèn)題，一般需采用構(gòu)造“差函數(shù)”，利用函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.因?yàn)閗PQ=f（x2）-f（x1）x2-x1，所以當(dāng)x2>x1>1時(shí)，f（x2）-f（x1）x2-x1<2，即f（x2）-f（x1）<2（x2-x1），即f（x2）-2x2<f（x1）-2x1.構(gòu)造差函數(shù)h（x）=f（x）-2x=lnx-ax-2x（x>1），所以h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解，h′（x）=1x-a-2≤0在（1，+∞）恒成立，所以a≥1x-2在（1，+∞）恒成立，所以a≥-1.這樣的求解方法技巧性較強(qiáng)，其解題入口相對(duì)較窄，因此，考慮對(duì)試題再次改編，適當(dāng)降低解題入手點(diǎn)，同時(shí)使問(wèn)題解法更加多樣.試題改進(jìn)如下：

試題4 （2014年泉州市單科質(zhì)檢）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點(diǎn)A（1，f（1））處切線為l.

（Ⅰ）當(dāng)切線l的斜率為2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值;

（Ⅱ）證明：無(wú)論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）;

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Q（x0，f（x0）），當(dāng)x0>1時(shí)，直線QA的斜率恒小于2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

上述試題的改進(jìn)主要在第（Ⅲ）步中進(jìn)行，改進(jìn)過(guò)程中，我們固定了其中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得解題方法較為常規(guī)，解題入手點(diǎn)較低，解法也較為多樣，但是同時(shí)也加大了試題的難度，起到了整卷的壓軸作用.

3 試題解答與考查功能

從本題的解題過(guò)程所應(yīng)用的知識(shí)，我們來(lái)檢驗(yàn)本題的考查功能.

在第（Ⅰ）步中，首先必需求解函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=1x-a（考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算），又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為2，所以f′（1）=2，所以a=-1（考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義）;

在第（Ⅱ）步中，首先應(yīng)先求出切線l的方程y=（1-a）x-1（考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程），然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-[（1-a）x-1]=lnx-x+1，下證函數(shù)g（x）恒小于等于0.因?yàn)間′（x）=1x-1=1-xx，又因?yàn)閤>0，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）>0;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）<0，所以函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取得最大值g（1）=0，所以g（x）≤0，所以f（x）≤（1-a）x-1，即函數(shù)f（x）的圖象恒在其切線l的下方（切點(diǎn)除外）（考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值、最值）.

在第（Ⅲ）步中，先寫出直線QA的斜率，即kQA=f（x0）-f（1）x0-1，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，即“當(dāng)x0>1時(shí)，f（x0）-f（1）x0-1<2恒成立”，對(duì)于上式的處理方法較多，這里我們考慮進(jìn)行變量分離，整理得：lnx0x0-1-a<2，即a+2>lnx0x0-1恒成立.下面只需要求出函數(shù)y=lnxx-1的最大值即可（以“恒成立”為背景考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值、最值）.此處的常見(jiàn)解法有三：

一、可以直接對(duì)y=lnxx-1求導(dǎo)，求解其最值，此種解法會(huì)遇上“00型”的極限問(wèn)題，可用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，但是在高中無(wú)法處理;

二、求函數(shù)y=lnxx-1的最大值時(shí)，基于對(duì)函數(shù)y=lnx與y=x-1圖象性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，可知lnx<x-1（x>1）恒成立，使得問(wèn)題峰回路轉(zhuǎn).下證：令h（x）=lnx-（x-1）（x>1），則h′（x）=1x-1<0，所以h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，所以h（x）<h（1）=0，即lnx<x-1，所以當(dāng)x>1時(shí)，lnxx-1<1，所以a+2≥1，即a≥-1.

三、發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=lnxx-1的最大值需要用洛必達(dá)法則求解，或用二階導(dǎo)函數(shù)后發(fā)現(xiàn)y=lnxx-1在（1，+∞）單調(diào)遞減，可得y<y，但是當(dāng)x=1時(shí)y=lnxx-1的函數(shù)值無(wú)法求解.這些是高中沒(méi)有介紹的知識(shí)或者無(wú)法求解的問(wèn)題，因此考慮改變解題方向，不等式lnx0x0-1-a<2可以變形為lnx0-（a+2）（x0-1）<0，令h（x）=lnx-（a+2）（x-1）（x>1），則h′（x）=1x-（a+2），因?yàn)閤>1，所以0<1x<1，下面對(duì)a的取值情況進(jìn)行分類討論：

（ⅰ）當(dāng)a≤-2時(shí)，a+2≤0，此時(shí)h′（x）>0，所以h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，所以h（x）>h（1）=0，不滿足題意;

（ⅱ）當(dāng)-2<a<-1時(shí)，0<a+2<1，所以當(dāng)x∈（1，1a+2）時(shí)，h′（x）>0，當(dāng)x∈（1a+2，+∞）時(shí)，h′（x）<0，所以存在s∈（1，1a+2），使得h（s）>h（1）=0，不滿足題意;

（ⅲ）當(dāng)a≥-1時(shí)，a+2≥1，此時(shí)h′（x）<0，所以h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，所以h（x）<h（1）=0，滿足題意;

綜上：a≥-1.

從上述解題過(guò)程我們可以看出：本題以“函數(shù)圖象與其切線的圖象”為載體，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查了推理論證能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí);考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、特殊與一般思想、有限與無(wú)限思想.

4 試題編后感

一個(gè)試題成題后，作為命題者總有千般感想.它給解題者，講題者，命題者以怎樣的啟發(fā)呢？

4.1 給解題者的啟示

本題的第（Ⅲ）步是區(qū)分能力的步驟，“上者”直接由教材習(xí)題結(jié)論“l(fā)nx<x-1（x>1）”產(chǎn)生聯(lián)想，求解出y=lnxx-1的最大值，真有“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”之感;“中者”按部就班，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx-（a+2）（x-1）（x>1），然后對(duì)a的取值情況進(jìn)行分類討論;“下者”進(jìn)行程序化解題，把“恒成立問(wèn)題”通過(guò)“變量分離”轉(zhuǎn)化為“求最值問(wèn)題”，得“a+2>lnx0x0-1恒成立”，最后在求解y=lnxx-1的最大值時(shí)遇挫，終止解題失敗.因此，解題者需要積累足夠的解題經(jīng)驗(yàn)，善于進(jìn)行解題聯(lián)想.同時(shí)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠洃洠鐚?duì)公式的記憶，對(duì)題型的記憶，對(duì)一些常見(jiàn)結(jié)論進(jìn)行記憶，解題必將事半功倍.

4.2 給講題者的啟示

講題者要是能洞悉命題者的命題手法、思路與意圖，那么他就能站在更高的角度俯瞰全局，他的解題思路必將更加開(kāi)闊，從而使問(wèn)題得以巧解、速解.在講解時(shí)，講題者要是能在課堂上用幾何畫板對(duì)試題進(jìn)行探究，為學(xué)生呈現(xiàn)試題的源流，如第（Ⅱ）步的背景實(shí)為“凸函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線恒在其圖象的上方（切點(diǎn)除外）”;第（Ⅲ）步的背景實(shí)為“凸函數(shù)圖象上在點(diǎn)A右側(cè)的任意一點(diǎn)Q與點(diǎn)A連線的斜率恒小于函數(shù)y=lnx+x在點(diǎn)A處的切線斜率.”如此進(jìn)行試題背景的揭示，必將使得課堂教學(xué)深入淺出，同時(shí)，可以樹(shù)立學(xué)生的解題信心.

43 給命題者的啟示

命題工作是教師的日常工作之一，原創(chuàng)試題是一種十分艱辛的開(kāi)創(chuàng)性、創(chuàng)新性的勞動(dòng).如何進(jìn)行高效的創(chuàng)新工作呢？筆者總結(jié)這幾年淺薄的一點(diǎn)命題經(jīng)驗(yàn)，借助適當(dāng)?shù)妮o助工具將能有效提高勞動(dòng)效益，試題命制中，常見(jiàn)的的輔助工具有哪些呢？

（1）教科書.教科書的各個(gè)角落都可成為命題出發(fā)點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行深入的改造，可得好題;

（2）歷年高考試題.對(duì)歷年高考試題的結(jié)論進(jìn)行改造、類比、推廣、遷移是快速得到好題的又一途徑;

（3）期刊雜志.中學(xué)數(shù)學(xué)期刊雜志的文章中，有對(duì)各種數(shù)學(xué)結(jié)論的探究，有對(duì)各類試題的研究評(píng)價(jià)等，只要認(rèn)真研讀，或許其中的某一個(gè)點(diǎn)就能激起思維的火花，成為命題的落腳點(diǎn);

（4）多媒體工具.幾何畫板、超級(jí)畫板、GeoGebra等計(jì)算機(jī)軟件是命題者進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要工具.利用這些計(jì)算機(jī)軟件繪制的圖象，十分精準(zhǔn)、直觀，修正改動(dòng)時(shí)也更加直接、方便.在本題的命制過(guò)程中，筆者就是借助幾何畫板，研究函數(shù)y=lnx+x的圖象與其切線的關(guān)系，從而觀察出三個(gè)結(jié)論，進(jìn)而命制成題.

作者簡(jiǎn)介 楊蒼洲，男，1979年生，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作、高考命題研究.泉州市中小學(xué)名師工作室成員，獲福建省第二屆教師教學(xué)技能大賽特等獎(jiǎng)，多次參與福建省質(zhì)檢命題、常年參與主持泉州市質(zhì)檢命題，參與2014年福建省高考命題.

王志良，男，1977年出生，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作、高考命題研究.泉州市中小學(xué)名師工作室成員，多次參與主持泉州市質(zhì)檢命題.