幾何學發(fā)展概述

幾何學發(fā)展概述

李雅莉 （北方機電工業(yè)學校 075000）

英文Geometry一詞，是從希臘語演變而來的，其原意是土地測量、后被我國明朝的徐光啓翻譯成“幾何學”。依據(jù)大量實證研究，創(chuàng)造幾何學的是埃及人，幾何學因土地測量而產(chǎn)生。幾何是研究形的科學，以人的視覺思維為主導，培養(yǎng)人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。幾何的發(fā)展首先是歐幾里得的歐氏幾何，其次是19世紀上半葉，非歐幾何的誕生，再次是射影幾何的繁榮，最后是幾何學的統(tǒng)一。

幾何學起源 歐氏幾何 非歐幾何 攝影幾何 幾何學的統(tǒng)一

一、幾何學的起源

幾何學起源于四大文明古國之一的埃及。在埃及，尼羅河兩岸土地肥沃，農(nóng)產(chǎn)品豐富，但是每年河水泛濫成災，尼羅河兩岸的田地被淹，田地之間的界線消失，常常引起爭執(zhí)，這時就需要對田地重新進行測量，這就是幾何學的起源。

英文Geometry一詞，是從希臘語演變而來的，其原意是土地測量，后被我國明朝的徐光啓翻譯成“幾何學”。

四季的變化與農(nóng)業(yè)有著密切的關系，天文學也隨之產(chǎn)生。這就需要人們必須識別東南西北這四個方向，聰明的埃及人很早就已經(jīng)知道了用北極星來測定南北兩個方向，這樣的話就可以找到東西方向，我們只需作南北方向的垂線。埃及人作垂線的方法是用三根繩子做一個三角形，這個三角形的長度長分別為三尺、四尺和五尺，那么三尺和四尺的邊就是相互垂直的。當時在我國也已經(jīng)會用這種方法找到相互垂直的兩條線，也就是我國的“勾股定理”。這個定理在我國最早的一部數(shù)學著作《周脾算經(jīng)》中已有記載，這與埃及人的想法不謀而合。但那時從未有人給出這個定理以詳細的證明。那時的幾何學只涉及到一些零散的實際生活中所需要用到的幾何問題，很少有普遍的抽象定理。

二、歐式幾何

公元前3世紀，偉大的古希臘數(shù)學家歐幾里得是歐氏幾何的創(chuàng)始人。盡管在歐幾里得以前，古希臘人已經(jīng)掌握了一些幾何知識，并開始用各種方法證明這些幾何命題。但是這方面的知識僅限于一些具體的問題，并且是很粗糙、零碎的。在前人準備“磚和瓦”材料的基礎上，歐幾里德這位偉大的幾何建筑師，按照邏輯系統(tǒng)把幾何命題天才般地整理到了一起，并建立了一座幾何大廈，構成了歷史上第一個數(shù)學公理體系——《幾何原本》。這是一部具有里程碑意義的著作，它標志著歐氏幾何的建立。人們把歐氏幾何看做是一個公理、公設系統(tǒng)，在這個系統(tǒng)中通過有限的公理、公設來證明所有的”真命題”。

然而，這個近乎科學“圣經(jīng)”的歐幾里得幾何并非無懈可擊。首先，歐幾里得給出的一些定義只是對幾何形象的簡單描述，它并非是邏輯意義下的定義，比如“線是有長度而沒有寬度的”等。這樣的定義對邏輯嚴密的推理不起任何作用。其次，根據(jù)歐幾里得創(chuàng)立的公理來研究歐幾里得本身的公理系統(tǒng)，沒有出現(xiàn)任何矛盾，也就是說，歐幾里得幾何本身沒有相互矛盾的命題。但我們可以發(fā)現(xiàn)其中有些公理完全可以去掉，比如“所有的直角是相等的”，這條公理是多余的。從公理的完備性來看，歐式的公理對位置公理、連續(xù)公理以及運動公理等方面的描述較少。但必須指出，雖然歐幾里得的《幾何原本》存在以上缺點，但是這些缺點完全是在現(xiàn)代科學技術水平上發(fā)現(xiàn)的，在兩千多年前歐幾里得能夠建立起如此完整的幾何基礎，應該是一項非常偉大的工作。

三、非歐幾何

非歐幾何，可以追溯到對歐幾里得第五公社——平行公設的懷疑。在19世紀，數(shù)學家高斯（德國）、羅巴切夫斯基（俄羅斯）和波爾約（匈牙利）各自獨立地發(fā)現(xiàn)平行公理是獨立于其他公理的，并可以使用不同的“平行公理”來代替歐幾里德平行公理，這就意味著非歐幾何的建立。

羅巴切夫斯基在1829年、波爾約在1832年獨立地用平行公理的逆命題，即用“通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線”來代替歐幾里得平行公理，作為替代公設，由此替代公社出發(fā)進行推導得出了一連串新幾何學的定理。羅巴切夫斯基很明確地指出，這些定理之間不會出現(xiàn)矛盾，這些定理整體形成了一個邏輯上無矛盾的理論，這個理論就是一種新的幾何學——非歐幾里得幾何學。在這一幾何學中，三角形的內(nèi)角和小于兩個直角。羅巴切夫斯基稱這種幾何為虛擬幾何，后來被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何，也被稱為雙曲幾何。

黎曼——發(fā)現(xiàn)非歐幾何的另一個數(shù)學家（德國）。他在1854年發(fā)表的題為《關于幾何基礎的假設》的演講中，區(qū)分了無界和無限這兩個概念，這樣就得到了另一種幾何學——相容幾何學，也稱為黎曼的非歐幾何（橢圓幾何）。這樣的幾何可以在球面上實現(xiàn)。

在羅巴切夫斯基和黎曼的非歐幾何出現(xiàn)后，幾何學被解放了出來。創(chuàng)建一個非歐幾何，在擴大了幾何概念的同時，對20世紀初物理學所發(fā)生的關于空間和時間的物理觀念的改革等方面也發(fā)揮了重大作用。非歐幾何的貢獻是首先提出了彎曲的空間，它為黎曼幾何的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。

四、射影幾何學的繁榮

在17世紀，當?shù)芽柡唾M馬的解析幾何出現(xiàn)的時候，還有一門幾何學成為了一門重要的學科，成為了幾何學中一個重要分支。這種幾何與畫圖關系密切，早在古希臘時期，它的一些概念就已經(jīng)引起了有關學者的關注。歐洲文藝復興時期，透視學的興起，為射影幾何學的產(chǎn)生和發(fā)展準備了充分的條件，人們把這種幾何學稱為射影幾何。為其建立和發(fā)展作出了重要貢獻的是兩個法國數(shù)學家——笛莎格和布萊士帕斯卡。19世紀射影幾何最終確立了。

平面射影幾何的公理體系包括四條接合公理、七條順序公理和連續(xù)公理，主要研究的是圖形的射影性質，即它們通過射影變換后，仍然保持原來的的圖形性質的幾何學分支學科。

五、幾何學的統(tǒng)一

在數(shù)學史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學上的哥白尼”。這是因為非歐幾何的創(chuàng)立不只解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設問題，更重要的是它引起了關于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠的影響。其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學即歐氏幾何學的局面。統(tǒng)一幾何學的第一個大膽計劃是由德國數(shù)學家克萊因提出的。他在一次名為《艾爾朗根綱領》演講中充分闡述了幾何學統(tǒng)一的思想：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學問。這樣一來，不僅僅19世紀出現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相關的幾何學被聯(lián)系了起來，而且變換群的任何一種分類也對應著幾何學的一種分類。

另一位數(shù)學家是希爾伯特，他對幾何學的統(tǒng)一也產(chǎn)生了深遠的影響，他所提出的統(tǒng)一幾何學的方法是公理化的方法。希爾伯特在他的著作《幾何基礎》一書中提出的公理系統(tǒng)包括20條公理，且第一次提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，利用他這一研究方法，就可以得到相應的某種幾何。這樣一來，不僅可以對原有的幾門非歐幾何進行統(tǒng)一處理，而且還可以從中引出新的幾何學。

[1]李文林.數(shù)學史概論[M].高等教育出版社，2000.

[2]張宗杰.幾何學概論[J].中學生數(shù)學，2012（9）.

（責編 吳海婷）