由Noor積分算子刻劃的多葉函數(shù)子類

華 芳, 束永祥

(鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 丹陽(yáng)師范學(xué)院,江蘇 丹陽(yáng) 212310)

由Noor積分算子刻劃的多葉函數(shù)子類

華 芳, 束永祥

(鎮(zhèn)江高等專科學(xué)校 丹陽(yáng)師范學(xué)院,江蘇 丹陽(yáng) 212310)

用Noor積分算子刻劃p葉星象函數(shù)、p葉凸象函數(shù)的新子類,建立包含關(guān)系。

p葉星象函數(shù);p葉凸象函數(shù);Noor積分算子。

在復(fù)分析中,自20世紀(jì)70年代以來(lái),隨著卷積理論的應(yīng)用,許多學(xué)者應(yīng)用卷積構(gòu)造出多個(gè)算子,研究了解析函數(shù)和亞純函數(shù)。近年來(lái),許多學(xué)者[1-5]相繼引進(jìn)并研究了與Noor 積分算子有關(guān)的各種解析函數(shù)類和亞純函數(shù)類。本文利用Noor積分算子定義了多葉解析函數(shù)的新子類,建立了包含關(guān)系。

1 引言

本文,我們總假定

U={z:|z|<1},

0≤α<1,設(shè)Ap表示具有形式

(1)

p∈N={1,2,3,…},且在U內(nèi)解析的全體函數(shù)組成的函數(shù)類,若函數(shù)

f(z)∈Ap

滿足

(2)

(z∈U),則稱f(z)為α階p葉星象函數(shù),記作

若函數(shù)

f(z)∈Ap

滿足

(3)

(z∈U),則稱f(z)為α階p葉凸象函數(shù),記作

f(z)∈Cp(α)。

對(duì)于

f(z)∈Ap,

g(z)∈Ap

且

(4)

p∈N={1,2,3,…}，定義f(z)與g(z)的Hadamard積(卷積)

(5)

對(duì)于任意大于-p的整數(shù)n,定義函數(shù)

使得

(6)

對(duì)于

f(z)∈Ap,

定義1個(gè)算子

(7)

由式(7)可見(jiàn)

Ipf(z)=f(z)，

由式(7)還可以得到

z(In+pf(z))′=(n+p)In+p-1f(z)-nIn+pf(z)，

(8)

z(In+pf(z))′=In+p(zf′(z))。

(9)

算子In+p-1f(z)是由LIU[5]等給出的,Noor等定義了當(dāng)p=1時(shí)的算子In,并做了研究。

用算子In+p-1f(z)可以刻劃新的解析函數(shù)類:

Cp(α,n)={f(z)∈Ap:In+pf(z)∈Cp(α)}。

可得

本文建立了上述兩個(gè)函數(shù)類的包含關(guān)系。

引理1[6]非常數(shù)函數(shù)ω(z)在U中解析,且

ω(0)=0,

若

z0∈U,則存在k≥1,使得

z0ω′(z0)=kω(z0)。

2 主要結(jié)論

定理1

證明設(shè)

置

(10)

這里ω(z)在U內(nèi)解析,且

ω(0)=0,

從式(8)可得

(11)

式(11)兩邊取對(duì)數(shù)得

ln(n+p+1)+ln(In+pf(z))-ln(In+p+1f(z))=

ln{(n+p+1)+[p(1-2α)-n-1]ω(z)}-ln(1-ω(z))

(12)

式(12)兩邊微分得

(13)

下面證明

|ω(z)|<1

(z∈U)。

若存在

z0∈U,

使得

由引理1,有

z0ω′(z0)=kω(z0),

k≥1,不妨設(shè)

ω(z0)=eiθ,

代入式(13)計(jì)算得

{[p(1-2a)-n-1]k(cosθ+isinθ)

{(n+p+1)+[p(1-2α)-n-1](cosθ-isinθ)}}·

{{(n+p+1)+[p(1-2a)-n-1]cosθ}2+

[p(1-2α)-n-1]2sin2θ}-1}=

k[p(1-2a)-n-1]Re{{(n+p+1)cosθ+

[p(1-2a)-n-1]+i(n+p+1)sinθ}·

{(n+p+1)2+2(n+p+1)[p(1-2a)-

n-1]cosθ+[p(1-2a)-n-1]2}-1}=

{(n+p+1)cosθ+[p(1-2a)-n-1]·

(n+p+1)2+2(n+p+1)[p(1-2a)-

n-1]cosθ+[p(1-2a)-n-1]2}-1=

-2p(1-a)k(pα+n+1)·{(n+p+1)2+

2(n+p+1)[p(1-2a)-n-1]

cosθ+[p(1-2a)-n-1]2}-1≤0。

這與

矛盾,故

|ω(z)|<1

(z∈U)。

設(shè)

ω(z)=k1(x,y)+ik2(x,y),

再由式(10)得

可得

證畢。

定理2

Cp(α,n)?Cp(α,n+1)。

證明

f(z)∈Cp(α,n) ?

f(z)∈Cp(α,n+1)。

證畢。

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〔責(zé)任編輯： 盧 蕊〕

SomesubclassesOfp-valentfunctionsdefinedbyNoorlinearoperator

HUAFang,SHUYong-xiang

(Danyang Normal School, Zhenjiang College, Danyang 212310, China)

Some new subclasses of p-valent starlike functions and p-valent convex functions defined by Noor linear operator were introduced and studied and inclusion relations were established.

p-valent starlike functions; p-valent convex functions; Noor linear operator.

2015-01-02

華 芳(1972—),女,江蘇鎮(zhèn)江人,副教授,碩士,主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究;束永祥(1972—),男,江蘇丹陽(yáng)人,副教授,碩士,主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

O174.51

： A

：1008-8148(2015)02-0052-03