導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

劉成明

摘要：江蘇省普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求中明確指出要能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明中的一個(gè)難點(diǎn)。解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；不等式；單調(diào)性

中圖分類號：G427文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）09-093-2

在江蘇省新課標(biāo)中新增加了正余弦函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此考察的知識面加寬了很多，例如導(dǎo)數(shù)可以和數(shù)列、三角、向量、不等式、解析幾何等內(nèi)容相互交融，進(jìn)而衍生出很多綜合性的題目.在這里，筆者對導(dǎo)數(shù)與不等式相結(jié)合的問題進(jìn)行了探究：

一、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

例1已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0.設(shè)兩曲線f（x），g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求證：f（x）≥g（x）（x>0）.

解析：（1）公共點(diǎn)為（a，52a2），b=52a2-3a2lna（具體略）

（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0）

則F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù).

于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=0.

故當(dāng)x>0時(shí)，有f（x）-g（x）≥0，即x>0時(shí)，有f（x）≥g（x）.

本題求證的是f（x）≥g（x）（x>0），因此只需證明f（x）-g（x）≥0在x>0上恒成立即可，令F（x）=f（x）-g（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究新的函數(shù)F（x）的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而證明出原命題成立.

二、導(dǎo)數(shù)是函數(shù)所特有的，沒有函數(shù)就構(gòu)造函數(shù)

例2證明對任意的正整數(shù)n，不等式ln（1n+1）>1n2-1n3恒成立.

證明：令函數(shù)h（x）=x3-x2+ln（x+1），

則h′（x）=3x2-2x+1x+1=3x3+（x-1）2x+1

所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）>0，所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）=0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）>h（0）=0，即ln（x+1）>x2-x3恒成立，對任意正整數(shù)n，取x=1n∈（0，+∞），則有l(wèi)n（1n+1）>1n2-1n3，

所以結(jié)論成立.

本題的核心部分是構(gòu)造新函數(shù)h（x）=x3-x2+ln（x+1），取x=1n∈（0，+∞），把本是定義在正整數(shù)集上的不等式轉(zhuǎn)化為定義在（0，+∞）上這一連續(xù)區(qū)間上的函數(shù)進(jìn)行研究.從這一題我們便自然而然有了這樣的想法：數(shù)列問題中的不等式是不是有的也可以觸類旁通的去解決呢？請看下一題：

三、數(shù)列也是一類特殊的函數(shù)

例3已知分別以d1和d2為公差的等差數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=18，b14=36，

（1）若d1=18，且存在正整數(shù)m，使得a2m=bm+14-45，求證：d2>108；

（2）若ak=bk=0，且數(shù)列a1，a2，…，ak，bk，bk+1，…，b14的前n項(xiàng)和Sn滿足S14=2Sk，求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（3）在（2）的條件下，令cn=aan，dn=abn，a>0，且a≠1，問不等式cndn+1≤cn+dn是否對一切正整數(shù)n恒成立？請說明理由.

解析：（1）、（2）略

（3）證明：由（2）知an=-2n+20，bn=9n-90，

令f（n）=（cn-1）（dn-1）=（a9n-90-1）（a20-2n-1）

再次換元將n-10換成x，則x∈[-9，+∞），

令g（x）=（a9x-1）（a-2x-1）=a7x-a9x-a-2x+1

所以g′（x）=7a7xlna-9a9xlna+2a-2xlna

=7a7xlna（1-a2x）+2a-2xlna（1-a11x）

當(dāng)a>1時(shí)，lna>0，a7x>0，a-2x>0

當(dāng)x∈[-9，0]時(shí)，1-a2x≥0，1-a11x≥0，此時(shí)g′（x）≥0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（0，+∞]時(shí)，1-a2x<0，1-a11x<0，此時(shí)g′（x）<0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞減；

所以當(dāng)x∈[-9，+∞）時(shí)，g（x）max=g（0）=0，

即：x∈[-9，+∞）時(shí)，g（x）≤0恒成立，即f（n）=（cn-1）（dn-1）≤0恒成立，

即：cndn+1≤cn+dn對一切正整數(shù)n恒成立，

同理當(dāng)0本題的做法是把n-10換成x，從而構(gòu)造了一個(gè)特殊的函數(shù)g（x）=（a9x-1）（a-2x-1），這種做法不易想到，但是數(shù)列可以看做是一種特殊的函數(shù)，因此用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題理所當(dāng)然，用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列中的不等式問題也就在情理之中了.

四、主元思想構(gòu)造函數(shù)

例4已知函數(shù)f（x）=12x2-2x，g（x）=logax（a>0，a≠1）.如果h（x）=f（x）+g（x）是增函數(shù)，且h′（x）存在零點(diǎn)（h′（x）為h（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

（1）求a的值；

（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1證明：x1