基于Choquet積分形式的模糊聯(lián)盟核心

孫紅霞

(北京工商大學(xué) 商學(xué)院,北京 100048)

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基于Choquet積分形式的模糊聯(lián)盟核心

孫紅霞

(北京工商大學(xué) 商學(xué)院,北京 100048)

在具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策中，針對局中人以某種程度參與到合作中的情況，研究了模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策的收益分配問題。首先，定義了具有模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策及相關(guān)概念。其次，定義了Choquet積分形式的模糊聯(lián)盟核心，提出了該核心與聯(lián)盟核心之間的關(guān)系，對于強(qiáng)凸聯(lián)盟對策，證明Choquet積分形式的模糊Owen值屬于其所對應(yīng)的模糊聯(lián)盟核心。最后通過算例，對該分配模型的可行性進(jìn)行分析。

對策論；模糊聯(lián)盟對策；模糊聯(lián)盟核心；聯(lián)盟結(jié)構(gòu)

0 引言

在對策論的研究中，具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策問題是一類較為復(fù)雜的對策論研究方向，經(jīng)典的合作對策是該類對策的特殊形式，這一類對策的特點(diǎn)往往是參與對策的局中人首先形成一些小的中間聯(lián)盟，由這些中間聯(lián)盟形成全體局中人的一個(gè)劃分(剖面)，各聯(lián)盟之間相互作用相互影響，構(gòu)成了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的對策問題。聯(lián)盟結(jié)構(gòu)是指參與對策的全體局中人的一個(gè)劃分，其中的元素稱為優(yōu)先聯(lián)盟。基于聯(lián)盟結(jié)構(gòu)合作對策的收益分配問題，一般基于兩個(gè)層面來進(jìn)行討論，一是在各優(yōu)先聯(lián)盟之間的收益分配，二是在各優(yōu)先聯(lián)盟內(nèi)部局中人之間的收益分配。該類對策收益分配問題的研究主要集中于Owen值、聯(lián)盟核心和聯(lián)盟韋伯集。從Owen值研究的發(fā)展情況看，一般都是根據(jù)具體的應(yīng)用環(huán)境，提出新的公理化Owen值的方法[1～5]，或?qū)wen值進(jìn)行改進(jìn)[6～8]，以適應(yīng)新的應(yīng)用環(huán)境。聯(lián)盟核心是由Pulido和Sánchez-Soriano[9]提出，聯(lián)盟核心和經(jīng)典合作對策中的核心一樣，具有多面體代數(shù)結(jié)構(gòu)。

在具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策中，一般假設(shè)每個(gè)局中人和優(yōu)先聯(lián)盟參加某個(gè)聯(lián)盟時(shí)只有兩種情況：(1)完全參與到某個(gè)聯(lián)盟中；(2)不參與任何聯(lián)盟。然而在現(xiàn)實(shí)生活中，更多的情況是局中人分別以不同的參與率或參與程度參加某個(gè)聯(lián)盟。比如：在考慮生產(chǎn)中的對策時(shí)，企業(yè)以一定的參與率參加某個(gè)聯(lián)盟指各企業(yè)在合作中只提供部分資源，而完全參加某個(gè)聯(lián)盟則指提供其所有的資源。因此，對于此類的問題，可以利用模糊聯(lián)盟來考慮具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策問題，將這類對策稱為具有模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策。文獻(xiàn)[10]中研究了該類對策的解，即：通過模糊Owen值對收益進(jìn)行分配，本文繼續(xù)研究該類對策的收益分配問題，將基于Choquet積分形式的模糊聯(lián)盟核心給出新的分配方案。

1 預(yù)備知識

1.1 具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策

設(shè)局中人集合N={1,2,…,n}，N的全部子集所組成的集合記為F(N)，F(xiàn)(N)中的任一元素都表示一個(gè)聯(lián)盟。合作對策一般定義為二元組(N,ν)，其中N為局中人集合，特征函數(shù)ν:F(N)→R滿足ν(φ)=0。

定義1.1 如果(N,ν)滿足ν(S∪T)≥ν(S)+ν(T)，?S,T∈F(N)，S∩T=φ，則稱(N,ν)是超可加合作對策。將超可加合作對策的全體記為GN。

N的劃分B={B1,B2,…,Bm}稱為關(guān)于N的聯(lián)盟結(jié)構(gòu)，Bi稱為優(yōu)先聯(lián)盟，M={1,2,…,m}表示優(yōu)先聯(lián)盟的下標(biāo)集合，該集合中元素的個(gè)數(shù)是指聯(lián)盟結(jié)構(gòu)中的優(yōu)先聯(lián)盟的個(gè)數(shù)。優(yōu)先聯(lián)盟的全體記為CN。三元組(N,ν,B)稱為具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策[7]。N上所有具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策的全體記為CGN。

定義1.2[9]令(N,ν,B)∈CGN，任意S,T∈ΩB，有S∪T，S∩T∈ΩB。如果ν(S∪T)+ν(S∩T)≥ν(S)+ν(T)，那么(N,ν,B)被稱為強(qiáng)凸聯(lián)盟對策。

定義1.4[9]任意(N,ν,B)∈CGN，聯(lián)盟核心定義為

1.2 具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的模糊合作對策

關(guān)于N的模糊聯(lián)盟是定義在[0,1]N上的n維變量s=(s1,s2,…,sn)，其中第i個(gè)坐標(biāo)si是[0,1]上的常數(shù)，表示局中人i的參與率. 關(guān)于N的模糊聯(lián)盟的全體記為F(N)。

其中[ms]rt)={i∈M|ms(i)≥rt}。

其中

2 基于Choquet積分形式的模糊聯(lián)盟核心

(1)

(2)

因此

下面將要證明

(3)

此時(shí)結(jié)論顯然成立。

令

令

由于C(N,v,B)∈CGN是經(jīng)典的具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策，則任意T∈B(N)?，(T,ν,B)也是經(jīng)典的具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策。由模糊Owen值的性質(zhì){[13]}可知

3 算例分析

本節(jié)用算例說明如何用Choquet積分形式的模糊聯(lián)盟核心進(jìn)行收益分配并驗(yàn)證公式(2)。

例4.1 考慮一個(gè)合作生產(chǎn)模型。假設(shè)有三個(gè)投資者(局中人集合N=(1,2,3))欲利用三種原料Ri(i=1,2,3)進(jìn)行合作生產(chǎn)七種產(chǎn)品：P1、P2、P3、P12、P13、P23和P123。假設(shè)投資者投入100單位的Ri可以生產(chǎn)ni單位的Pi(i=1,2,3)，100單位的Ri和100單位的Rj可以生產(chǎn)nij單位的Pij(i,j=1,2,3)，100單位的R1、100單位的R2和100單位的R3可以生產(chǎn)n123單位的P123。已知三位投資者在完全貢獻(xiàn)出自己的資源的情況下的合作收益為：ν({1})=100，ν({2})=60，ν({3})=70，ν({1,2})=200，ν({1,3})=200，ν({2,3})=300，ν({1,2,3})=600。

由于在現(xiàn)實(shí)生活中，每個(gè)投資者會(huì)考慮他在合作中應(yīng)該提供多少資源，一般來說，每個(gè)投資者一般不會(huì)拿出他全部的資源來投資，這取決于很多因素，比如：個(gè)人偏好、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度等。假定投資者1在合作的過程中可以提供80個(gè)單位的資源R1，投資者2在合作的過程中可以提供60個(gè)單位的資源R2，投資者3在合作的過程中可以提供90個(gè)單位的資源R3，此時(shí)，三位投資者如何分配總收益呢？

因?yàn)橥顿Y者1一共有100個(gè)單位的資源R1，我們認(rèn)為投資者1在合作中的參與程度為，同理，投資者2和3的參與程度分別為0.6和0.9，這樣就形成一個(gè)模糊聯(lián)盟s，即：s=(0.8,(0.6,0.9))。在這個(gè)模型中，投資者2和3先合作，然后他們再和投資1合作，若設(shè)M={a,b}，則優(yōu)先聯(lián)盟a和b一塊合作。因?yàn)橥顿Y者沒有完全參與到合作中，從而優(yōu)先聯(lián)盟也具有一定的參與率，他們的參與率依賴于局中人的參與率。我們假定投資者2和3對優(yōu)先聯(lián)盟b起影響力與他們投入的資源成正比，那么優(yōu)先聯(lián)盟a和b的參與率分別為0.8和0.6×0.4+0.9×0.6=0.78，即：ms=(0.8,0.78)。下面用模糊核心的方法在三位投資者之間進(jìn)行收益分配。

第一步，計(jì)算(N,ν,B)∈CGN及其子對策({1},ν,B)的核心。

C({1},ν,B)={100,0,0}

第二步，任意x{1}∈({1},ν,B)，xN∈(N,ν,B)，令

y=0.78x{1,2,3}+0.02x{1}，

于是有

(4)

所以

上述結(jié)果與公式(4)一致。

4 結(jié)論

在現(xiàn)實(shí)生活中，由于各企業(yè)的激勵(lì)機(jī)制、個(gè)人技術(shù)水平、行為特征等因素的差異，局中人只以一定的參與程度參與到合作中，局中人的參與度直接影響到企業(yè)的參與度，因此各企業(yè)之間是以一定的參與度進(jìn)行合作的，各企業(yè)合作之后的收益分配方案可以看作具有模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對策的解?；诤诵暮吐?lián)盟核心的思想，本文討論了該類合作對策的解，即：模糊聯(lián)盟核心，該解是文獻(xiàn)[9]中聯(lián)盟核心的推廣，對于具有Choquet積分形式的模糊聯(lián)盟核心，研究了其與聯(lián)盟核心的關(guān)系。

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Fuzzy Coalition Core with Choquet Integral Form

SUN Hong-xia

(SchoolofBusiness,BeijingTechnologyandBusinessUniversity,Beijing100081,China)

In the framework of cooperative games with coalition structure, under the assumption that priori unions and players do not fully participate in the cooperation,the paper studies the problem of profit allocation. First, it gives the definition of cooperative games with fuzzy coalition structure and its associated definition. Then, fuzzy coalition core with Choquet integral form is defined. It proposes the relationship between the fuzzy coalition core with Choquet integral form and coalition core. It proves that fuzzy Owen value with Choquet integral form belongs to fuzzy coalition while the cooperative game is a strong convex coalition game. Finally, it gives an example to verify the allocation method.

game theory；game with fuzzy coalition; fuzzy coalition core; coalition structure

2013- 09- 03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71401003);教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金(14YJC630114);國有資產(chǎn)管理協(xié)同創(chuàng)新項(xiàng)目資助(GZ20131001)

孫紅霞(1980-)，女，博士，研究方向：合作對策理論及應(yīng)用。

O225

A

1007-3221(2015)01- 0093- 07