奇異協(xié)方差陣及不同借貸利率下均值—方差模型的解析解

蔣春福， 彭泓毅

(1.深圳大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 深圳 518060; 2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，廣東 廣州 510642)

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奇異協(xié)方差陣及不同借貸利率下均值—方差模型的解析解

蔣春福1， 彭泓毅2

(1.深圳大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 深圳 518060; 2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，廣東 廣州 510642)

隨著金融資產(chǎn)種類的增加,特別是考慮大規(guī)模投資組合問題時,很可能出現(xiàn)資產(chǎn)間的多重共線性或相關(guān)性,從而出現(xiàn)協(xié)方差陣奇異的情況。然而,目前關(guān)于投資組合的均值—方差分析大都是在協(xié)方差陣正定的條件下得到的,因此,不適用于奇異協(xié)方差陣的情形。針對這一問題,利用廣義逆矩陣研究了協(xié)方差陣奇異時的均值—方差投資組合模型,在不同借貸利率條件下得到了前沿組合和組合前沿的解析解,突破了傳統(tǒng)方法中要求協(xié)方差陣可逆的限制,推廣了經(jīng)典Markowitz模型。

金融工程;證券組合;Moore-Penrose廣義逆;不同借貸利率

0 引言

對于Markowitz問題的研究,以往的文獻大都假定協(xié)方差陣為正定,但是隨著資產(chǎn)種類的增加和金融衍生產(chǎn)品的大量涌現(xiàn),這時很可能出現(xiàn)多重共線性和相關(guān)性,從而出現(xiàn)協(xié)方差陣奇異的情況.此外,當(dāng)考慮大規(guī)模投資組合時,也會出現(xiàn)這樣的問題,比如最近Fan[1]的研究.Buser[2]最先研究奇異協(xié)方差陣下的投資組合問題,通過技術(shù)性地構(gòu)造兩個新的基金得到此時兩基金定理仍然成立,Ryan和Lefoll[3]指出文獻[2]中的兩基金定理的證明過程存在錯誤,并做了糾.Szeg?[4]曾猜想當(dāng)協(xié)方差陣的秩小于n-1時證券市場要么存在套利,要么存在有效子集.此外,還有V?R?S[5]研究了一些具有特殊協(xié)方差結(jié)構(gòu)的投資組合問題,Korki和Turtle[6]則是考慮了證券數(shù)量趨于無窮大時的極限問題.

我國學(xué)者史樹中和楊杰[7]指出協(xié)方差陣奇異時有可能存在有效子集,還給出了判定證券子集是否為有效子集的充要條件.最近,姚海祥等[8]在無套利假設(shè)下分析了奇異協(xié)方差陣下證券組合有效前沿的特征,蘇咪咪和葉中行[9]則是利用主成分分析方法研究了協(xié)方差陣秩為n-1的情形,蔣春福和戴永隆[10]利用矩陣廣義逆方法給出了任意秩協(xié)方差陣下均值-方差模型的解析解,突破了傳統(tǒng)均值-方差分析中要求協(xié)方差陣可逆的限制.對于存在不同借貸利率下的證券組合選擇額問題,Zhang等[11]在協(xié)方差陣正定條件下得到了問題的解析解,本文試圖利用矩陣廣義逆方法將他們的結(jié)果推廣到奇異協(xié)方差陣的情形。

s.t.ω∈D

(1)

其中D={ω∈Rn|ω′μ+(1-ω′1)r(ω)=rp},這里ω為風(fēng)險證券的投資比例向量,

為無風(fēng)險證券的收益率函數(shù),這里rb和rl分別為投資者借款和貸款的無風(fēng)險利率,并且假定rb≥rl.模型(1)不是一個簡單的二次規(guī)劃問題,為求解模型(1)我們先引入如下記號

Dl={ω∈Rn|ω′μ+(1-ω′1)rl=rp,ω′1≤1}

Db={ω∈Rn|ω′μ+(1-ω′1)rb=rp,ω′1>1}

顯然,Dl和Db均為凸集,并且我們注意到D=Dl∪Db,Dl∩Db=?。根據(jù)文獻[11]的分析,模型(1)可以分解為如下兩個二次規(guī)劃問題,即存在無風(fēng)險貸款的均值—方差模型

(2)

和存在無風(fēng)險借款的均值—方差模型

(3)

一般地,矩陣A的Moore-Penrose廣義逆記為A+,由Dunne和Ston[12]不難得到如下的引理.

引理1 設(shè)V為n階非負定矩陣,ρ∈R為任一實數(shù),η=μ-ρ1,T=V+ηη′ ,若η∈M(V),則有

1 模型求解

1.1 存在無風(fēng)險貸款的情形

為對模型(2)進行求解,可構(gòu)造Lagrange函數(shù)

不難得到Kuhn-Tucker條件如下

(4)

(5)

1-ω′1≥0

(6)

λ1≥0

(7)

λ1(ω′1-1)=0

(8)

根據(jù)(7)可對λ1分兩種情況討論

(i)當(dāng)λ1=0時,令ηl=μ-rl1,則可得矩陣方程

(9)

由文獻[10]引理3知,當(dāng)μ≠rl1時,上述矩陣方程有解。求解該方程可得

(10)

其中T=V+ηlηl′,NT=I-TT+,ξ為任意n維向量.注意到ηl∈M(V),因此由引理1得組合前沿為

(11)

由(10)及引理1可得風(fēng)險資產(chǎn)投資比例為

(12)

rp(B-rlA)≤C-rlB

(13)

類似于Zhang[11]的分析,下面對B-rlA分三種情況討論

(14)

(15)

(16)

(ii)當(dāng)λ1>0時,有等式ω′1=1,因此可得矩陣方程.

(17)

注意到μ∈M(V),1∈M(V)類似文獻[11]定理3.3的證明,求解矩陣方程(17)可得到

(18)

注意到D=AC-B2,因此λ1>0等價于

(B-Arl)rp>C-Brl

(19)

同理,根據(jù)不等式(19),對B-rlA分如下三種情況討論

(2)若B-rlA=0,即rl=B/A,則不等式(19)不成立。

綜合上述分析,對于存在無風(fēng)險貸款的投資組合模型(2)，其組合前沿和前沿組合有如下結(jié)論:

(1)若B-rlA<0,即rl>B/A,則前沿組合為

組合前沿為

(20)

(2)若B-rlA=0,即rl=B/A,則前沿組合為(15), 組合前沿為

(21)

(3)若B-rlA>0,即rl

組合前沿為

(22)

上述三種情形下的組合前沿在(σp,rp)平面上分別如圖1、圖2和圖3所示。

圖1 rl>BA的情形

圖2 rl=BA的情形

圖3 rl

1.2 存在無風(fēng)險借款的情形

對模型(3)的求解,可構(gòu)造Lagrange函數(shù)

類似地,Kuhn-Tucker條件為

(23)

(24)

1-ω′1<0

(25)

λ1≤0

(26)

λ1(ω′1-1)=0

(27)

由(25)和(27)知λ1=0。由(23)和(24)可得矩陣方程

其中ηb=μ-rb1。類似地,上述矩陣方程的解為

(28)

(29)

類似地,對B-rbA分三種情況討論,便可得到如下的結(jié)論：

(2)若B-rbA=0,即rb=B/A,此時不等式(29)不成立。

組合前沿在(σp,rp)平面上如圖4和圖5所示，圖中的實線部分為組合前沿,為切點組合。

圖4 rb>BA的情形 圖5 rb

1.3 存在無風(fēng)險借貸的情形

根據(jù)上述分析,需對模型(2)和模型(3)的組合風(fēng)險進行比較。類似于文獻[11],可分如下幾種情況：

(1)若B/A

組合前沿為

組合前沿在(σp,rp)平面上分別如圖6所示。

(2)若B/A=rl

組合前沿為

組合前沿在(σp,rp)平面上分別如圖7所示.

(3a)當(dāng)rb-B/A

組合前沿為

組合前沿為

上述兩種情形下的組合前沿在(σp,rp)平面上分別見圖8和圖9中的實線部分。

(4)若rl

組合前沿為

組合前沿在(σp,rp)平面上如圖10中的實線部分。

圖8 rb-BA

圖9 rb-BA>BA-rl的情形

圖10 rl

2 數(shù)值算例

本節(jié)給出一個算例.設(shè)rb=0.08,rl=0.02,另有6種風(fēng)險證券,其協(xié)方差陣和期望收益率向量為

利用Matlab可以發(fā)現(xiàn)rank(V)=3,因此為奇異陣.計算可得

A=300.03,B=9.29,C=1.04,D=225.22,B/A=0.031

不難驗證rb-B/A>B/A-rl,假設(shè)目標(biāo)收益率rp=0.05,那么由2.3節(jié)的計算方法,可得如下結(jié)果

表1 前沿組合計算結(jié)果

這里ei為單位矩陣的第i列,組合前沿及其在(σp,rp)平面上的圖形如下所示,圖中點實線為組合前沿。

圖11 不同借貸利率下證券組合的組合前沿

3 結(jié)語

在投資組合選擇模型中,傳統(tǒng)的均值-方差分析都是在協(xié)方差陣為正定條件下進行的,這在資產(chǎn)種類較少時一般是成立的,但是考慮大規(guī)模投資組合或考慮包含衍生產(chǎn)品的投資組合問題時,或者當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的觀測區(qū)間較短時,那么就可能會出現(xiàn)奇異協(xié)方差陣的情形。本文在允許賣空并存在不同借貸利率的條件下得到了前沿組合和組合前沿的解析表示,推廣了文獻[11]的結(jié)果.特別地,當(dāng)V可逆時本文的結(jié)果與文獻[11]是一致的。與他們的結(jié)果不同的是,當(dāng)協(xié)方差陣奇異時,前沿組合的解不唯一,這是因為在前沿組合的通解中含有可取為任意實數(shù)向量的項。盡管如此,組合前沿的解析表示仍然是唯一的,并且其性質(zhì)與前沿組合解的唯一性無關(guān),這說明該任意項對組合前沿未做任何貢獻.不過需要指出的是,根據(jù)蔣春福和戴永隆[13],該任意項對證券組合有效子集的研究是有啟發(fā)意義的,也就是說,可以通過該任意項的不同取值來調(diào)整證券的投資比例,使得某些證券的投資比例為零,那么這些證券自然就成了冗余證券。

[1] Fan J, Zhang J, Yu K. Vast portfolio selection with gross-exposure constraints[J]. Journal of the American Statistical Association, 2012, 107(498): 592- 606.

[2] Buser S A. Mean-variance portfolio selection with either a singular or nonsingular variance-covariance matrix[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1977, 12(3): 347-361.

[3] Ryan P J, Lefoll J. A comment on mean-variance portfolio selection with either a singular or nonsingular variance-covariance matrix[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1981, 16(3): 389-395.

[4] Szeg? G P. Portfolio theory: with application to bank asset management[M]. New York: Academic Press, 1980.

[5] V?R?S J. The explicit derivation of the efficient portfolio frontier in the case of degeneracy and general singularity[J]. European Journal of Operational Research, 1987, 32(2): 302-310.

[6] Korki B, Turtle H J. A note on the analytics and geometry of limiting mean-variance investment opportunity sets[J]. Review of Quantitative Finance and Accounting, 1997, 9(3): 289-300.

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[8] 姚海祥,易建新,李仲飛.奇異方差-協(xié)方差矩陣的n種風(fēng)險資產(chǎn)有效邊界的特征[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究,2005,22(1):107-113.

[9] 蘇咪咪,葉中行.協(xié)方差矩陣奇異情況下的最優(yōu)投資組合[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2005,21(3):244-248.

[10] 蔣春福,戴永隆.奇異協(xié)方差陣下有效前沿及有效組合的解析解[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2008,28(9):1134-1147.

[11] Zhang S M, Wang S Y, Deng X T. Portfolio selection theory with different interest rates for borrowing and lending[J]. Journal of Global Optimization, 2004, 28(1): 67-95.

[12] Dunne T T, Stone M. Downdating the moore-penrose generalized inverse for cross-validation of centred least squares prediction[J]. Journal of the Royal Statistical Society: SeriesB, 1993, 55(2): 369-375.

[13] 蔣春福,戴永隆.奇異協(xié)方差陣下證券組合的有效子集[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計,2008,24(5):484- 492.

Analytic Solutions of Mean-Variance Model with Singular Covariance Matrix and Different Interest Rates for Borrowing and Lending

JIANG Chun-fu1, PENG Hong-yi2

(1.CollegeofMathematicsandComputationalScience,ShenzhenUniversity,Shenzhen518060,China; 2.CollegeofScience,SouthChinaAgriculturalUniversity,Guangzhou510642,China)

In the mean-variance portfolio model, the covariance matrix is likely to be singular since the multi-collinearity and correlation can arise from the increase of financial assets, especially when considering a large-scale portfolio. In view of this situation, we reconsider the mean-variance portfolio problem under singular covariance matrix. A new approach based on generalized inverse matrix is proposed as a remedy for the deficiency of conventional methods in which covariance matrix is constrained to be invertible. The analytic solutions of frontier portfolio and portfolio frontier are derived with different interest rates for borrowing and lending, which extending successfully the classic Markowitz portfolio model.

financial engineering; portfolio; moore-penrose generalized inverse; different interest rates for borrowing and lending

2011- 05-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(71101095)；廣東省自然科學(xué)基金資助項目(2008276)

蔣春福(1977-)，男，湖南永州人，博士，副教授，研究方向：投資組合，金融風(fēng)險管理。

F224;O212

A

1007-3221(2015)02- 0192- 09