離散橢球分布下兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)利潤優(yōu)化模型及應(yīng)用

高 歡， 童小嬌, 張海斌

(1.衡陽師范學(xué)院，湖南 衡陽 421002； 2.北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院, 北京 100124； 3.湖南第一師范學(xué)院,湖南 長沙 410205)

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離散橢球分布下兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)利潤優(yōu)化模型及應(yīng)用

高 歡1,2， 童小嬌3, 張海斌2

(1.衡陽師范學(xué)院，湖南 衡陽 421002； 2.北京工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)理學(xué)院, 北京 100124； 3.湖南第一師范學(xué)院,湖南 長沙 410205)

本文研究隨機(jī)變量非完全分布下的兩階段風(fēng)險(xiǎn)-利潤優(yōu)化問題。采用最壞情況下條件風(fēng)險(xiǎn)(Worst-case Conditional Value-at-Risk:WCVaR) 度量指標(biāo)，在離散橢球分布下建立了兩階段WCVaR 約束下利潤期望最大優(yōu)化模型，運(yùn)用優(yōu)化對偶方法將復(fù)雜的Max-Min 結(jié)構(gòu)化簡，理論上證明了簡化模型和原模型的同解性，以發(fā)電商電能分配組合優(yōu)化為數(shù)值實(shí)例，驗(yàn)證了模型和計(jì)算方法的有效性。

最壞情況下條件風(fēng)險(xiǎn)(WCVaR)；兩階段風(fēng)險(xiǎn)-利潤優(yōu)化；離散橢球分布；對偶方法；組合優(yōu)化

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)值VaR(Value at risk)[1]作為風(fēng)險(xiǎn)度量方法在金融領(lǐng)域中已有廣泛的應(yīng)用,但由于VaR方法缺乏次可加性,不滿足一致性公理等缺點(diǎn),從而導(dǎo)致在投資組合優(yōu)化上的應(yīng)用存在不足[2]。為克服VaR的不足,Duffie和Pan[3]提出CVaR(Condition VaR),Artzner[4]證明了CVaR具有次可加性和凸性,因此被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域[5,6]。CVaR方法要求隨機(jī)變量信息。分布完全已知,但絕大多數(shù)情況下,隨機(jī)變量的可能性分布不能完全確定(比如電力市場),這就意味著CVaR方法不能精確地描述其風(fēng)險(xiǎn)。Zhu和Fukushima[7]提出了WCVaR (Worst-Case VaR)理論就解決了這一問題。

風(fēng)險(xiǎn)度量WCVaR的分析都是建立在單時段的情況,雖然單時段的連續(xù)度量方法可以處理多時段決策問題,但很多情況常常導(dǎo)致一些錯誤的結(jié)論?；诖?國內(nèi)外許多學(xué)者對多時段CVaR進(jìn)行了大量研究,如1973年P(guān)rekopa[8]提出了帶有概率約束且約束中有條件期望約束的兩階段模型,并證明了該模型的有效性。Fabian[9]建立了兩階段CVaR優(yōu)化和約束的隨機(jī)模型,并對目標(biāo)函數(shù)與約束條件進(jìn)行分解及采用L-shaped方法進(jìn)行求解。張興平、陳玲[10]建立了加權(quán)CVaR下的發(fā)電商多時段投標(biāo)組合模型,根據(jù)這一模型發(fā)電商可在不同時段、不同市場分配電量比例來使期望收益最大且風(fēng)險(xiǎn)最小.基于以上各文思路及童小嬌和劉青[11]一文考慮能否研究離散橢球分布下兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)利潤優(yōu)化模型及其應(yīng)用是本文研究動機(jī)。

本文以電力市場為應(yīng)用背景,以WCVaR為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo),建立離散橢球分布下兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大化模型。由于該模型具有復(fù)雜的Max-Min結(jié)構(gòu),采用對偶理論化為常規(guī)的線性規(guī)劃問題,最后數(shù)值仿真表明該模型的有效性。

1 WCVaR魯棒優(yōu)化模型及其簡化

1.1 WCVaR風(fēng)險(xiǎn)度量方法

設(shè)決策變量x∈χ?Rn，且χ為閉凸集。隨機(jī)變量y?Rs的分布為p(·),損失函數(shù)為f(x,y)。對于給定的x∈χ，VaR的定義為在一定的置信水平β下，損失函數(shù)f(x,y)不超過α的概率大于β的閥值:

(1)

根據(jù)Rockafellar-Uryasev[12,13]定義的條件風(fēng)險(xiǎn)(CVaR)為其損失函數(shù)超過風(fēng)險(xiǎn)Varβ(x)的條件期望值即

(2)

由上述表達(dá)式直接計(jì)算CVaRβ(x)非常難,因此Rockafellar-Uryasev在文獻(xiàn)[13]中構(gòu)造一個關(guān)于α的連續(xù)可微凸函數(shù)Fβ(x,α)來計(jì)算CVaRβ(x),其中

(3)

和[t]+=max{t,0}，而且有以下結(jié)果[7]

φβ(x)=CVaRβ(x)=minα∈RFβ(x,α)

(4)

在實(shí)際應(yīng)用中,y的概率密度p(y)一般采用樣本點(diǎn)的近似方法,則Fβ(x,α)可近似為

(5)

CVaR模型應(yīng)用于隨機(jī)變量y分布信息完全已知的情形,對于隨機(jī)變量y只有部分信息已知時(如已知p(·)∈PE,PE為某分布集合),最壞情況下的條件風(fēng)險(xiǎn)(WCVaR)[7]被提出。

定義1 設(shè)隨機(jī)變量y的分布p(·)∈PE,對于任意x∈χ的WCVaR定義為:

WCVaRβ(x)=supp(·)∈PCVaRβ(x)

(6)

將(4)式代入(6)式從而得到:

WCVaRβ(x)=supp(·)∈Pminα∈RFβ(x,α)

(7)

假設(shè)PE為閉凸緊集,對于給定置信水平β和任意p(·)∈PE,記

(8)

其中

(9)

從而有:

(10)

(10)式中最后一個等式利用文獻(xiàn)[7]的引理1可以得到。

1.2 單時段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)-利潤魯棒優(yōu)化模型

基于此建立單時段WCVaR的風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大優(yōu)化模型即:

(11)

1.3 兩時段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)-利潤魯棒優(yōu)化模型

假定n有市場,r0表示投資初始資產(chǎn)，ωB為預(yù)期期望得到的最后資產(chǎn)，由決策者確定。

y1=(y11,…,yi1,…yn1)T為第一階段的收益率,是一個已知分布的隨機(jī)變量,且的每個元素都是非負(fù),yi1表示第i市場第一階段的市場收益率。

r1=y1Tx1表示所有市場第一階段末的資產(chǎn)；x2=(x12,…,xi2,…xn2)T表示發(fā)電商在第i個市場第二階段所選擇的投資組合,且是一個決策變量,可行的投資組合用x2∈χ表示,分量xi2表示發(fā)電商的年度總電量在第i個市場第二階段的資產(chǎn)值,滿足1Tx2=r1。

y2=(y12,…,yi2,…yn2)T為第二階段的收益率,是一個隨機(jī)變量,y2的每個元素都是非負(fù),yi2表示第i市場第二階段的市場收益率,且隨機(jī)變量y1,y2的聯(lián)合分布是已知。

考慮最后時刻的風(fēng)險(xiǎn)和利潤，建立兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)-利潤優(yōu)化模型

(12)

2 離散橢球分布下兩階段WCVaR的利潤-風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化模型

本文主要考慮兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大化模型即式(12),該模型具有高維復(fù)雜的min-max結(jié)構(gòu),本節(jié)將考慮離散橢球約束分布下的非完全信息分布,應(yīng)用對偶理論將其化簡為min優(yōu)化模型。

進(jìn)一步，若其離散點(diǎn)的概率滿足

(13)

(14)

證明 對模型(12)化簡，其中離散橢球分布為

(15)

化簡模型(12)的目標(biāo)函數(shù)

(16)

考慮函數(shù)

(17)

利用對偶理論原問題(17)式等價于

(18)

‖ε(jt)‖≤‖ξ(j)‖,λ(jk)≥0,z(j)∈R

從而模型(12)目標(biāo)函數(shù)等價于

(19)

對模型(12)約束條件化解

(20)

采用類似模型(12)目標(biāo)函數(shù)方法考慮上述max部分

(21)

通過計(jì)算上述問題等價于

(22)

‖ι(jt)‖≤‖δ(j)‖,τ(jk)≥0

從而約束條件等價于

(23)

綜述所述，模型(12)等價于以下問題

(24)

證畢。

由于(24)式的約束中含有極小化問題,為使問題更簡便分別記

(25)

U=(x,ξ,z,λ,ε,α,τ,δ,ι,σ),V=(x,ξ,z,λ,ε)

(24)式去掉約束中min后的表達(dá)式為

(26)

以下定理2表明優(yōu)化問題(24)和(26)同解。

(27)

的解。Ω(x)定義參考式(25)。

先證明約束條件的可行性。記

(28)

從而

(29)

(30)

所以

(31)

(32)

3 基于離散橢球分布下兩時段WCVaR的發(fā)電資產(chǎn)組合計(jì)算

一個完整的電力市場一般包括日前交易市場(現(xiàn)貨交易市場),遠(yuǎn)期合約市場,實(shí)時交易(平衡)市場和輔助服務(wù)交易市場。遠(yuǎn)期合約市場和輔助服務(wù)交易市場電價波動小風(fēng)險(xiǎn)相對小,收益也相對偏低;現(xiàn)貨交易市場和實(shí)時交易市場電價波動大風(fēng)險(xiǎn)相對大,收益也相對高。由于現(xiàn)貨市場和和合約市場是電力市場的主要交易類型,占電力交易的90%,因此本文只考慮現(xiàn)貨市場、遠(yuǎn)期合約市場的影響,本文將采用離散橢球分布下兩時段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下期望收益最大化模型研究電力資產(chǎn)的分配問題，決策變量x表示兩市場的資產(chǎn)分配所占比列，隨機(jī)變量y表示兩市場的年度利潤。隨機(jī)變量y采用Monto-Carlo方法取點(diǎn),由于經(jīng)濟(jì)學(xué)中損失一般用數(shù)量表示,從而取WCVaR中的ωB=0。

本文數(shù)值實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)來源文獻(xiàn)[14],樣本點(diǎn)取50個,離散橢球分布A可采用randn產(chǎn)生，特別地A=In×n，計(jì)算環(huán)境為Pentium(R) Dual-Core CPU T4400@2.20GHZ,2.19GHZ,1.99GB的內(nèi)存，Microsoft Windows XP Professional Operating System。

3.1 模型計(jì)算結(jié)果分析

根據(jù)簡化模型(26)的計(jì)算結(jié)果分析結(jié)果如圖1。

(i)圖(1)可知,隨著兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)水平或利潤的增大,遠(yuǎn)期合約市場所占比例越來越小,相應(yīng)的現(xiàn)貨市場所占的比例越來越大,這是因?yàn)樵诂F(xiàn)貨市場的利潤波動性較大,其面臨的風(fēng)險(xiǎn)也越大.這說明愛好風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)電商將選擇增大現(xiàn)貨市場比例以期望獲得更大利潤,而厭惡風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)電商將選擇加大遠(yuǎn)期合約市場所占比例.當(dāng)分配比例全部分配到現(xiàn)貨市場時期望收益可能為最大,但此時兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值也趨向于無限大。從以上可知，投資者在進(jìn)行決策時要充分考慮收益與風(fēng)險(xiǎn)兩方面,片面追求利潤最大只會使?jié)撛诘膿p失無限增大。這符合實(shí)際的市場行為。

(ii)圖(2)中的3條效率前沿曲線都是單調(diào)遞增,這表明隨著期望值收益增大,兩階段的WCVaR風(fēng)險(xiǎn)值也逐漸增加。反之亦然,這符合實(shí)際的市場行為.同時從可以看到,期望收益有一個大致范圍,因此發(fā)電商在一定置信水平β下,確定投標(biāo)策略時期望收益不能太高也不能太低。當(dāng)置信水平β越大,效率前沿曲線向右移,在相同的期望收益下,得到的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)值越大,意味著發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大,趨向于采取保守投資策略；反之,當(dāng)置信水平β越小,效率前沿曲線向左移,在相同的期望收益下,得到的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)值越小,意味著發(fā)電商的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越小,趨向于采取激進(jìn)投資策略。

圖1 現(xiàn)貨與期貨最優(yōu)配置

圖2 兩階段模型的效率前沿

4 結(jié)論與展望

本文以WCVaR為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，在離散橢球分布下建立兩階段WCVaR風(fēng)險(xiǎn)約束下的期望收益最大化模型，運(yùn)用對偶理論將復(fù)雜的優(yōu)化模型化簡為易算的線性規(guī)劃問題，數(shù)值試驗(yàn)表明該模型的有效性。該模型能在部分信息已知下計(jì)算出風(fēng)險(xiǎn)-利潤值，且對參數(shù)變化敏感度不高，因此可以應(yīng)用于對市場有高穩(wěn)定性要求的市場管理。

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Two Stages WCVaR Risk-profit Optimization Model under the Ellipsoidal Discrete Distribution and Application

GAO Huan1,2, TONG Xiao-jiao3, ZHANG Hai-bin2

(1.HengyangNormalUniversity,Hengyang421002,China; 2.BeijingUniversityofTechnology,CollegeofAppliedSciences,Beijing100124,China; 3.HunanFirstNormalUniversity,Changsha410205,China)

This paper presents two-stage risk-profit optimization problem under the know part information of random variable. Taking worst-case Conditional Value-at-Risk (WCVaR) as a measuring index, we establish two-stage profit expectation maximization model under WCVaR constraint. By means of the dual method, the complex structure of the Max-Min becomes simple. The optimal solution between the original problem and the reduced optimization problem is proved to have the same solution. Taking optimal allocation of generation assets in power markets as numerical experiments, numerical results show the validity of the proposed model and computation method.

Worst-case Conditional Value-at-Risk(WCVaR);two-stage risk-profit optimization; ellipsoidal discrete distribution; dual method; portfolio optimization

2012- 05-28

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11171095,71371065,61179033)

高歡(1988-)，女，博士(在讀)， 主要研究方向：最優(yōu)化理論與方法，電力市場等；童小嬌(1962-)，女，教授，博士，主要研究方向：最優(yōu)化理論與方法，電力系統(tǒng)分析研究等； 張海斌(1965-)，男，教授，博士，主要研究方向：最優(yōu)化理論與方法，自動微分的研究等。

0224.2

A

1007-3221(2015)02- 0221- 08