思維能力提高題精選

趙成

一、選擇題

1.設(shè)全集U=R，集合，則

2.已知直線ι、m，平面α、β，且ι⊥α，，給出四個(gè)命題：①若α∥β，則ι⊥m；②若ι⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則ι∥m；④若ι∥m，則α⊥β。其中真命題的個(gè)數(shù)是（）。

A.l

B.2

C.3

D.4

3.已知a為銳角，且tan（π+a）+6sin（π+β）=，則sina的值是（）。

4.一個(gè)多面體是由正方體割去兩個(gè)三棱錐得到的，其正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均是邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖1所示，則該多面體的表面積是（）。 5.若f（x）是奇函數(shù)，且x。是的一個(gè)零點(diǎn)，則，一定是下列某個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，該函數(shù)是（）。

6.函數(shù)f（x）=Asin（ωχ+ψ9）（A、ω、ψ是常數(shù)，A>0，ω>0）的部分圖像如圖2所示，有下列結(jié)論：①最小正周期為π；②將f（x）的圖像向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)；③f（0）=1；④；⑤

其中正確的是（）。

A.①②③

B.②③④

C.①④⑤

D.②③⑤

7.圖3是某算法的程序框圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是（）。

A.8

B.9

D.11

8.函數(shù)的圖像與直線y=x恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）。

A.[-1，2）

B.[-l，2]

C.[2，+∞） D.（-∞，1]

二、填空題

9.已知實(shí)數(shù)a、b分別滿足，則a+b的值為_(kāi)____。

10.在平面直角坐標(biāo)系x○y中，已知點(diǎn)A（O，2），直線ι：x+y-4=0。點(diǎn)B（x，y）是圓2x-I=O上的動(dòng)點(diǎn)，AD⊥ι，BE⊥ι.垂足分別為D、E，則線段DE的長(zhǎng)度的最大值是_____。

ll.y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，2是其一個(gè)周期，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[O，1]時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)___。

12.如圖4，A、B、C是直線ι上三點(diǎn)，P是直線ι外一點(diǎn)，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，則_____。（用a表示）

三、解答題

13.已知向量a=（2，sinθ），b=（1，cosθ），θ為銳角。

（1）若，求sinθ+cosθ的值。

（2）若a∥b，求的值。

14.如圖5，點(diǎn)P是單位圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，0）、B（O，-1），PA與y軸交于點(diǎn)N，PB與x軸交于點(diǎn)M，設(shè)P（cosθ，sinθ）。

（1）求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)。（用θ表示）

（2）求x+y的取值范圍。

15.在平面直角坐標(biāo)系x○y中，已知圓，圓Ol與圓0相交，圓心為01（9，O），且圓O1上的點(diǎn)與圓0上的點(diǎn)之間的最大距離為21。

（l）求圓O1的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）過(guò)定點(diǎn)P（a，6）作動(dòng)直線ι與圓0、圓O1都相交，且直線ι被圓0、圓Ol截得的弦長(zhǎng)分別為d、d1。若d與d1的比值總等于同一常數(shù)λ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及λ的值。

參考答案與提示

1.D 提示：A={y|y≥-2），B={x|x<3），則

2.B提示：①④正確，②③錯(cuò)誤。

3.C 提示：可得tana-6sinβ=1，-2tana+3sinβ+5=0，解得tana=3，則

4.A 提示：由三視圖可得多面體如圖6所示，其表面積為S一

5.C 提示：可得f（xo）一，則。又f（x）是奇函數(shù)，故，從而一定是函數(shù)的零點(diǎn)。

6.C提示：由圖易得

最小正周期為，①正確。，②不正確。，③不正確。

因?yàn)閒（x）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且是f（x）的最大值，所以，④正確。

設(shè)（x，f（x））為函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，其關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上，即，⑤正確。

7.C提示：第一次循環(huán)：n=2；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：此時(shí)S>9，則輸出的S的值為10。

8.A提示：根據(jù)題意，直線y=x與射線y=2（x>m）有一個(gè)交點(diǎn)A（2，2），并且直線y=x與拋物線上的部分有兩個(gè)交點(diǎn)B、C。

聯(lián)立y=x和，解得B（-l，-1）、C（-2，-2）。

拋物線在（-∞，m]上的部分必須包含B、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（2，2）一定在射線y=2（x>m）上，則-1≤m<2。

9.2提示：將已知等式變形為

構(gòu)造函數(shù)，這是一個(gè)單調(diào)遞增的奇函數(shù)。因?yàn)閒（a-l）=-2，f（b-l）=2，所以f（a-l）=-f（6-1）=f（1-b），則a-l=l-b，故a+b=2。

10.提示：線段DE的長(zhǎng)度的最大值等于圓心（1，0）到直線AD：x-y+2=0的距離加半徑。

11.8 提示：數(shù)形結(jié)合，作出y=f（x）與y=logs|x|在y軸右邊的圖像，有4個(gè)交點(diǎn)。又兩個(gè)函數(shù)均為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，在y軸左邊也有4個(gè)交點(diǎn)。

12.提示：如圖7，過(guò)點(diǎn)c作直線AP的垂線，垂足為D，則△PDC為等腰直角三角形，PB為△ADC的中位線，故。根據(jù)2PB=CD=PD=PA，在△APB中用勾股定理求出PA，進(jìn)而求出PC。

13.（1）由a·6=2+，得

又θ為銳角，則sinθ+cosθ=

（2）由a∥6，得tanθ=2。

14.（1）設(shè)N（O，t）。由于P、N、A三點(diǎn)共線，可設(shè)

。代入①，得1=λ（cosθ+1），t=λsinθ。

由點(diǎn)P是單位圓在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，得cosθ>0，sinθ>O，且，則，此時(shí)

同理，可得M

（2）

代入中，得：

聯(lián)立②和③，得

由，知，則，故x+y∈，即x+y的取值范圍為

15.（1）設(shè)圓Ol的半徑為r。由題意得8+9十r=21，則r=4。

故圓01的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）當(dāng)直線ι的斜率存在時(shí)，設(shè)直線ι：y-b=k（x-a），即y-kx+ka-b=0。

點(diǎn)0、O，到直線ι的距離分別為

則得整理得

由題意得上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)k恒成立。

則

①如果b=0，則，解得λ=2（舍去負(fù)值），故a=6或a=18。

所以λ=2，點(diǎn)P（6，O）、P（18，0）。

②如果，顯然a=9不滿足，則，故，即43a+192=0。

，因此該方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）時(shí)，若直線ι的斜率不存在，則，所以，滿足題意。

綜上所述，滿足題意的λ=2，點(diǎn)P有2個(gè)，坐標(biāo)分別為（6，0）和（18，O）。