函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題中的模型與方法

李紅春 吳彤

應(yīng)用題是高考解答題的重要組成部分，主要考查考乍運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干和核心知識(shí)，以函數(shù)知識(shí)為背景的應(yīng)用題一直活躍在高考的舞臺(tái)，引人關(guān)注。隨著知識(shí)的更新，函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題中的模型也越來(lái)越新穎?，F(xiàn)擷取高中階段函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題中的熱點(diǎn)模型，并結(jié)合最新實(shí)例加以分析，旨在展示解題規(guī)律，揭示解題方法，希望能對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、二次函數(shù)型

例1 有一家公司準(zhǔn)備裁減人員。已知這家公司現(xiàn)有職員2m（160<2m<630，且m為偶數(shù)）人，每人每年呵創(chuàng)利n（n>0）萬(wàn)元。據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.02n萬(wàn)元，但公司需付給下崗人員每人每年0.8n萬(wàn)元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員數(shù)的3/4。為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？

解析：設(shè)應(yīng)裁員x人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬(wàn)元。

y=（2m-x（n+0.02nx）-0.8nx.

整理得。

二次函數(shù)，的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=m-45。由，得：當(dāng)xm-45時(shí)，y單調(diào)遞減。

由該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員數(shù)的，得，則

由m為偶數(shù)，得m/2為整數(shù)。

由160<2m<630，得80

解析：（1）當(dāng)x≥7時(shí)，f（x+l）-f（x）=

當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y=（x-3）（x-4）單調(diào)遞增，且（r-3）（r-4）>0，則f（x+l）-f（x）單調(diào)遞減，故當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f（x+1）-f（x）總是下降。

（2）由題意知

整理得

解得

123.0∈（121，127]，由此可知該學(xué)科是乙學(xué)科。

點(diǎn)評(píng)：高中階段涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題不多，本題背景新穎，將生活與數(shù)學(xué)問(wèn)題有機(jī)結(jié)合起來(lái)，解題時(shí)要將所求結(jié)果準(zhǔn)確回歸到應(yīng)用問(wèn)題中去。

五、分段函數(shù)型

例5 在淘寶網(wǎng)上，某店鋪專(zhuān)賣(mài)某地某種特產(chǎn)。以往的經(jīng)驗(yàn)表明，不考慮其他因素，該特產(chǎn)每日的銷(xiāo)售量y（單位：kg）與銷(xiāo)售價(jià)格x（單位：元/kg，l（1）求a、b的值，并確定y關(guān)于x的函數(shù)解析式。

（2）若該特產(chǎn)的銷(xiāo)售成本為1元/kg，試確定銷(xiāo)售價(jià)格z的值，使店鋪每日銷(xiāo)售該特產(chǎn)所獲利潤(rùn)廠(chǎng)（x）最大（x精確到O.O1元/kg）。

解析：（l）因?yàn)閤=2時(shí)，y=700；x=3時(shí)，y=150，所以a+b=700，b/2=150，解得a=400，b=300。

（2）①當(dāng)l

（2）如圖2，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，且鋪設(shè)電纜的線(xiàn)路為（CE、EA、EB。若），試用θ表示出總施工費(fèi)用y（萬(wàn)元）的解析式，并求y的最小值。

解析：（l）由已知可得△ABC為等邊三角形。

由CD⊥AD，得水下電纜的最短線(xiàn)路為CD。

如圖3，過(guò)D作DF⊥AB于F，可知地下電纜的最短線(xiàn)路為DF、AB。

易得，AB=2，故該方案的總施工費(fèi)用為（萬(wàn)元）。

（2）因?yàn)?，所以CE=EB

則

令。易得

由，得

記

當(dāng)，即o≤θ<θ。時(shí)，g'（θ）<0；當(dāng)，即時(shí)，

所以，等號(hào)成立時(shí)，

因此總施工費(fèi)用的最小值為（）萬(wàn)元，其中。

點(diǎn)評(píng)：和傳統(tǒng)的y=Asin（ωx+ψ）型三角函數(shù)應(yīng)用模型不同，越來(lái)越多的函數(shù)表達(dá)式涉及正弦、余弦、正切函數(shù)，這些函數(shù)最值或范圍的解決通常需要借助導(dǎo)數(shù)，本題就是一例。高考特別注重在知識(shí)的交匯處命題，一個(gè)題目往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考查考生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。以上問(wèn)題涉及三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等諸多知識(shí)，綜合性強(qiáng)，需要大家提升綜合解決問(wèn)題的能力。

九、含有max或min的函數(shù)型

例9 某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A、B、C三種部件的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2、2、1（單位：件）。已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件。該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）。設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x。

（l）分別寫(xiě)出完成A、B、C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間。

（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開(kāi)工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案。

解析：（l）設(shè)完成A、B、C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間（單位：天）分別為T(mén)1（x）、T2（x）、T3（x）。

由題意得，其中（1+k）x均為l到200之間的正整數(shù)。

（2）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}.

由O易知T1（x）、T2（x）為減函數(shù)，T3（x）為增函數(shù)。

①當(dāng)k=2時(shí)，T1（x）=T2（x），此時(shí)f（x）=

由函數(shù)T1（x）、T3（x）的單調(diào)性，知：當(dāng)時(shí)，f（x）取得最小值，解得。由于而。，故當(dāng)x=44時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為。

②當(dāng)k>2時(shí)，T1（x）>T2（x）。由k為正整數(shù)，得k≥3，則

由函數(shù)T1（x）、T（x）的單調(diào)性，知：當(dāng)時(shí)，ψ（x）取得最小值，解得由于，而，所以此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于。

③當(dāng)k<2時(shí)，T1（x）

3.某書(shū)商為提高某套叢書(shū)的銷(xiāo)量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷(xiāo)會(huì)。據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書(shū)售價(jià)定為z元時(shí)，銷(xiāo)售量可達(dá)到15-0.lx萬(wàn)套。現(xiàn)出版社為配合該書(shū)商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書(shū)的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為30元，浮動(dòng)價(jià)格（單位：元）與銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)套）成反比，比例系數(shù)為10。假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷(xiāo)售每套叢書(shū)的利潤(rùn)一售價(jià)一供貨價(jià)格。

（l）每套從書(shū)售價(jià)定為100元時(shí)，書(shū)商能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

（2）每套叢書(shū)售價(jià)定為多少元時(shí)，單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大？

參考答案：（1）每套叢書(shū)售價(jià)定為100元時(shí)，銷(xiāo)售量為15-0.1×100=5（萬(wàn)套），此時(shí)每套供貨價(jià)格為（元），書(shū)商所獲得的總利潤(rùn)為5×（100-32）=340（萬(wàn)元）。

（2）每套叢書(shū)售價(jià)定為140元時(shí)，單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大，為lOO元。

4.某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖5，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖6（注：利潤(rùn)與投資單位：萬(wàn)元）。

（l）分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資z（萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式。

（2）該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

參考答案：（l）設(shè)投資x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f（x）萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g（x）萬(wàn)元。

（2）當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元、B產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，為萬(wàn)元。

5.如圖7，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一質(zhì)點(diǎn)從AB邊上的點(diǎn)Po出發(fā)，沿與AB

的夾角為θ的方向射到邊BC 上的點(diǎn)Pl后，依次反射（入射 角與反射角相等）到邊CD、

DA和AB上的P2、P3、P4處。

（l）若P4與Po重合，求tanθ的值。

（2）若P4落在A、Po兩點(diǎn)之間，且APo=2，設(shè)tanθ=t，將五邊形PoP1P2P3P4的面積S表示為t的函數(shù)，并求S的最大值。

參考答案：（1）

（2）的最大值為。

6.某企業(yè)擬建造如圖8所示m器c不計(jì)厚度，長(zhǎng)度 單位：m），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求，容器的體積為，且ι≥2r。假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)。已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c（c>3）千元。設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元。

（1）寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域。

（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r。

參考答案：（1）

（2）當(dāng)時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=2；當(dāng)c>9/2時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)