例談?wù)w思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

山東省德州市陵城區(qū)前孫鎮(zhèn)初級中學(xué) 劉玉新

整體思想，即從問題的“整體”出發(fā)，根據(jù)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式或幾個(gè)圖像看做一個(gè)整體，從而使用常規(guī)解法不宜求解的問題得到解決。運(yùn)用整體思想解題可提高我們的觀察、分析和解決問題的能力，并使解題過程簡捷迅速，且不易出錯(cuò)。

1. 代數(shù)式中的整體思想

例1.如果代數(shù)式－2a＋3b＋8的值為18，那么代數(shù)式9b－6a＋2的值等于（ ）

A.28 B.-28 C.32 D.-32

分析：由-2a＋3b＋8的值為18，求a、b的值，無法求出。若將3b－2a看做一個(gè)整體，將3b－2a的值整體帶入，則問題可化難為易。

解：因?yàn)?2a＋3b＋8=18，所以3b－2a=10，所以9b－6a＋2=3(3b－2a)＋2＝3×10＋2＝32。故選c。

點(diǎn)評：求多項(xiàng)式的值，常常把一個(gè)式子看做一個(gè)整體，通過觀察已知式與目標(biāo)式系數(shù)的關(guān)系，巧妙運(yùn)用整體帶入就可求得相應(yīng)代數(shù)式的值。

例2.先化簡，再求值

（2x－5y）2－（5y＋2x）2其中x＝2014，y＝-1/2014

分析：可把（2x－5y）和（5 y＋2x）都看做一個(gè)整體，利用平方差公式化簡。也可

利用完全平方公式分別將（2x－5y）2和（5y＋2x）2展開后化簡。

解法1：原式＝（2x－5y＋5y＋2x）（2x－5y－5y－2x）

＝4x（-10y）＝-40xy

當(dāng)x＝2014，y＝-1/2014時(shí)，原式＝-40xy＝-40×2014×（-1/2014）＝40

解法2：原式＝4x2－20xy＋25y2－25y2－20xy－4x2＝-40 xy

當(dāng)x＝2014，y＝-1/2014時(shí)，原式＝-40×2014×（-1/2014）＝40

2. 整體思想在幾何圖形中的應(yīng)用

例3.如圖1,∠AOB＝90°,∠AOC＝30°,ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線，求∠MON的度數(shù)。若∠AOC是任意一個(gè)銳角，其他條件不變，則∠MON的度數(shù)是否發(fā)生變化？請說明理由。

解：∵ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線。

∴∠NOC＝1/2∠AOC＝1/2×30°＝15°

∠MOC＝1/2∠BOC＝1/2（∠AOB＋∠AOC）＝1/2×（90°＋30°）＝60°

∴∠MON＝∠MOC－∠NO C＝60°－15°＝45°

若∠AOC是任意一個(gè)銳角，其他條件不變，則∠MON的度數(shù)不發(fā)生變化。理由如下：

∠MON＝∠MOC－∠NOC＝1/2∠BOC－1/2∠AOC

＝1/2（∠BOC－∠AOC）

＝1/2∠AOB

＝1/2×90°

＝45°

例4. 已知直角三角形的周長為12，斜邊上的中線長為2.5，求直角三角形的面積。

分析：若直接求兩直角邊a與b的值，要用到二次方程，求解較繁，但由a＋b和a2＋b2聯(lián)想到運(yùn)用整體思想（將ab視為一個(gè)整體），問題便可以順利獲解。

解：∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，可設(shè)斜邊長為c，兩直角邊長為a，b。

則c＝5，a＋b＝12－5＝7，由勾股定理得c2=a2+b2＝（a＋b）2－2ab，ab＝（a＋b）2/2－c2/2＝72/2－52/2＝12

∴面積S＝1/2ab＝1/2×12＝6，故直角三角形的面積為6.

例7.（湖北十堰中學(xué)）如圖3所示，已知梯形ABCD的中位線為E F，且△AEF的面積為6cm2，則梯形ABCD的面積為（ ）

A.12cm2B.18cm2C.24cm2D.30cm2

解析：設(shè)△AEF中A點(diǎn)到EF的距離為h，則有1/2EF.h＝6，因?yàn)镋F為中位線，所以AD＋BC＝2EF，易得梯形高為2h，所以S梯形ABCD＝1/2（AD＋BC）.2h＝1/2×2EF×2h＝2EF×h，而S△AEF＝EF.h＝6cm2，所以，EF.h＝12cm2 所以，S梯形ABCD＝2×12＝24cm2

3.整體思想在方程（組）中的應(yīng)用

例8 解方程組

分析：方程①中的x，y的系數(shù)都為1，可以用代入消元法解方程組。但我們看到方程②中含有x＋y整體。這樣我們把①作為一個(gè)整體直接代入方程②中，得3×9＋2x＝33，于是更方便解出x＝3

解：把①代入②，得3×9＋2x＝33，解得x＝3，把x＝3代入①中，得y＝6

所以，原方程組的解是

通過以上例子可以看出，教師在日常教學(xué)中，有意識地滲透“整體思想”，將有利于拓寬學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的思維，促進(jìn)思維的嚴(yán)密性和深刻性，從而提高教學(xué)效率。