GeoGebra：輔助函數(shù)教學的利器

司業(yè)佳

[摘 要] 對基本概念理解不準確、對圖像變化規(guī)律不明晰、對函數(shù)模型應用不敏感是學生學習函數(shù)的慣性困境.高中教師在教學實踐中應當立足于函數(shù)的整體性，使用GeoGebra輔助教學，化解學生函數(shù)學習中的慣性困境，彌補傳統(tǒng)函數(shù)教學的效果缺位，涵育學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 核心素養(yǎng)；信息技術；函數(shù)；GeoGebra

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，是解決實際問題的重要工具.學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)在函數(shù)的學習中有效創(chuàng)生. 但在教學實踐中，學生學習函數(shù)存在諸多慣性困境. 例如，由于初高中函數(shù)的概念跨度很大，學生對函數(shù)的概念理解不準確；函數(shù)圖像變換過于抽象，學生對圖像變化規(guī)律不明晰；對函數(shù)模型應用不敏感……

造成這種慣性困境的誘因在于教師沒有把握好函數(shù)教學的整體性，學生在局部的、零散的學習中，自然難以全面地掌握.信息技術與數(shù)學課程的深度融合是培育數(shù)學核心素養(yǎng)的有效路徑，如果有效地運用現(xiàn)代教學技術，以培育數(shù)學核心素養(yǎng)為教學主線，引導學生在變量間的依賴關系中數(shù)學地抽象出對應關系（數(shù)學抽象素養(yǎng)）、借助圖像的直觀刻畫函數(shù)的性質(zhì)（直觀想象素養(yǎng)）、用模型搭建現(xiàn)實問題與函數(shù)的橋梁（數(shù)學建模素養(yǎng)）……函數(shù)的內(nèi)容就成為整體的、聯(lián)系的主題，現(xiàn)有的教學困境將逐個擊破.

GeoGebra作為結合幾何、代數(shù)、微積分的動態(tài)軟件，不僅具有幾何畫板、超級畫板的所有功能，還兼具“集合”“函數(shù)”“圖表”等功能，容易操作. 教師可以利用GeoGebra這些特性，將其作為函數(shù)教學的利器，能夠突破教學困境，使數(shù)學核心素養(yǎng)在函數(shù)教學中“落地生根”. 筆者結合函數(shù)教學中的教學困境，分析GeoGebra輔助函數(shù)教學的施力域.

GeoGebra使函數(shù)的概念教學更形象

初中將函數(shù)定義為變量間的依賴關系，高中將其定義為變量間的對應關系.對應關系對學生來說是很抽象的. 教師可以先列舉學生熟悉的案例，再利用GeoGebra，通過用對應關系來刻畫函數(shù)，并揭示兩種定義的差異，感悟函數(shù)進一步抽象的必要性，提升學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

案例1：用“箭頭圖”表示函數(shù)變量的對應關系.

（1）情境：我國常通過調(diào)查往年人口來分析其變化趨勢.現(xiàn)有1954—1999年每5年的人口數(shù)（百萬），讓學生說出人口變化情況.

（2）分析：學生可能回答“人口數(shù)隨年份的增加而增加”. 教師可進一步提問“具體的變化關系”引導學生用集合語言來闡述，用“箭頭圖”（如圖1）揭示年份與人口數(shù)的對應關系.

（3）成效：用學生熟悉的情境導入，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，理解抽象的函數(shù)概念，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

GeoGebra使函數(shù)的圖像教學更明晰

函數(shù)圖像的學習中處處蘊含著直觀想象的核心素養(yǎng). 教師要避免把函數(shù)的圖像和性質(zhì)當成兩個分離的部分，要把握二者的關系，可借助GeoGebra將傳統(tǒng)教學說不清道不明的圖像及其動態(tài)變化過程生動地呈現(xiàn)在學生面前，用形的直觀進一步研究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì). 此外，函數(shù)圖像的學習還建立了形與數(shù)的聯(lián)系，進一步體現(xiàn)數(shù)形結合的思想.

案例2：用單位圓的對稱性推導三角函數(shù)的誘導公式.

（1）情境：角的終邊除了重合，還可能有其他特殊的關系，如關于x軸/y軸/原點對稱、相差90°等. 對于這些終邊有特殊關系的角的同一三角函數(shù)，我們能否發(fā)現(xiàn)它們的關系？

（2）分析：學生常會混淆三角函數(shù)的幾個誘導公式，這說明學生并沒有真正理解.因此，教師應當通過改善教學幫助學生理解.從三角函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)與單位圓有密切的關系.事實上，誘導公式也可由單位圓的對稱性推出. 以“α與-α的誘導公式”為例，教師用GeoGebra在單位圓中作一個任意角α的終邊（如圖2），通過對稱變換作-α的終邊，演示α的動態(tài)變化，讓學生猜想α與-α的三角函數(shù)的關系，教師再加以總結.

（3）成效：用單位圓的對稱性推導三角函數(shù)誘導公式，提升邏輯推理的核心素養(yǎng). 學生使用公式時也會再次想象這一推導過程，提升直觀想象的核心素養(yǎng).

案例3：研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像.

（1）情境：許多實際問題中常遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，那它的圖像是怎樣的呢？

（2）分析：對于多變量問題，學生已經(jīng)掌握了控制變量的活動經(jīng)驗.這里可以先設置ω，A均為1并保持不變，通過移動滑竿改變φ的值（如圖3），讓學生觀察并找出規(guī)律，再分別改變ω，A的值重復上述過程.

（3）成效：用粉筆畫函數(shù)圖像并不精確，且難以呈現(xiàn)動態(tài)過程. GeoGebra軟件克服了這些困難，讓圖像真正動起來. 教師還可以讓學生操作，增加學習興趣.在圖像隨參數(shù)改變而變化的過程中，讓學生猜想變化的規(guī)律，提升學生邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng).

GeoGebra使函數(shù)的應用教學更生動

掌握函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)后，還要用函數(shù)解決問題.如用函數(shù)的零點判斷方程根的個數(shù)；用二分法求方程近似解；用三角函數(shù)模型刻畫簡諧振動、交變電流的周期變化；用指數(shù)函數(shù)模型刻畫三角鋼琴的輪廓曲線；用二次函數(shù)模型刻畫拋物運動的規(guī)律.

案例4：澳洲“談兔色變”現(xiàn)象：兔子的指數(shù)爆炸繁殖.

（1）情境：英國人把一些兔子帶到了澳洲，但沒想到兔子的繁殖速度特別快，以至于破壞了澳洲的生態(tài)平衡，導致澳洲人“談兔色變”. 研究發(fā)現(xiàn)，“從一對初生的兔子開始，第1個月到第12個月兔子的對數(shù)滿足斐波那契增長：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…”，這可近似為指數(shù)增長的數(shù)列：y≈0.447214×1.61803n. 請同學們根據(jù)這個公式計算y剛超過10000時n的值n0，然后把底數(shù)換為0.6，計算n0對應的y的近似值（可用計算工具）；再借助GeoGebra，比較指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的增長速度.

（2）分析：先通過數(shù)學運算初步體會這個情境中指數(shù)函數(shù)的“爆炸性”增長；再選取更一般的指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)，如y=3x，y=log2x，y=x1.5，用GeoGebra畫出它們的圖像（如圖4），比較三者的增長速度，進一步體會指數(shù)函數(shù)的“爆炸性”增長.

（3）成效：用函數(shù)解決現(xiàn)實問題，體現(xiàn)數(shù)學建模的核心素養(yǎng). 從形的角度猜想指數(shù)函數(shù)的“爆炸”增長，從數(shù)的角度通過運算加以驗證，數(shù)形結合，提升邏輯推理的核心素養(yǎng). 用軟件畫函數(shù)圖像，為學生比較函數(shù)的增長速度提供直觀，提升直觀想象的核心素養(yǎng).

總結

用GeoGebra輔助函數(shù)教學，為師生交流、生生交流、人機交流搭建平臺，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生主動地參與學習. 用GeoGebra繪制箭頭圖，讓學生用集合語言和對應關系理解抽象的函數(shù)概念，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng). 通過繪制精確的函數(shù)圖像、設置滑竿進行圖像變換，將傳統(tǒng)教學說不清道不明的圖像動態(tài)呈現(xiàn)在學生面前，為研究函數(shù)的性質(zhì)建立形的直觀，提升直觀想象的核心素養(yǎng).同時還用它的計算功能驗證學生的猜想，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).此外，GeoGebra建立了形與數(shù)之間的關系，有利于函數(shù)教學整體性的把握.