2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題創(chuàng)新特色探析

田祥高

綜觀2014年全國(guó)37套高考數(shù)學(xué)試卷可知，盡管每份試卷80%左右的試題是考查基本知識(shí)、基本技能和基本方法的常規(guī)題型，剩下的為數(shù)不多的試題才是創(chuàng)新試題，但是，由于創(chuàng)新試題具有立意新穎、背景深刻、情境生動(dòng)、設(shè)問(wèn)巧妙等特點(diǎn)，富含思維價(jià)值，符合課程改革理念和發(fā)展方向，是檢測(cè)考生個(gè)體理性思維廣度、深度和學(xué)習(xí)潛能的良好載體，它既有利于高校創(chuàng)新人才的選拔，更有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注重提高學(xué)生的思維能力、發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)、課程改革的有效實(shí)施和深入推進(jìn)，創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

1 新定義

新定義問(wèn)題通過(guò)給出新定義，讓考生在全新的情景下分析解決問(wèn)題，既體現(xiàn)了試題的公平性，更有利于考查考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，以及創(chuàng)新意識(shí)和分析解決問(wèn)題的綜合能力，從而有效地選拔出人才。這類試題按其難易程度可以分為以下幾類。

1.1 簡(jiǎn)單的新定義問(wèn)題

【例1】廣東卷文科第10題：對(duì)任意復(fù)數(shù) ω1，ω2，定義 ω1*ω2=ω1，其中是 ω2的共軛復(fù)數(shù)，對(duì)任意復(fù)數(shù)z1,z2,z3，有如下四個(gè)命題：

則真命題的個(gè)數(shù)是

A.1 B.2 C.3 D.4

解決這類簡(jiǎn)單的新定義問(wèn)題的基本方法是“化新為舊”，也就是將新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊知，利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)分析解決問(wèn)題。如本例，只需依據(jù)新定義將它轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算，對(duì)四個(gè)命題一一驗(yàn)證即知①②正確，故選B。

1.2 需要轉(zhuǎn)化的新定義問(wèn)題

【例2】山東卷理科第15題：已知函數(shù) y=f(x)(x∈R)。對(duì)函數(shù) y=g(x)(x∈I)，定義 g(x)關(guān)于 f(x)的“對(duì)稱函數(shù)”為y=h(x)(x∈I)，y=h(x)滿足：對(duì)任意x∈I，兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x))，(x,g(x))關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱。若h(x)是g(x)=關(guān)于 f(x)=3x+b的“對(duì)稱函數(shù)”，且h(x)＞g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是___ _。

山東卷文科第9題：對(duì)于函數(shù) f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有 f(x)=f(2a-x)，則稱 f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是

1.3 需要探究的新定義問(wèn)題

【例3】安徽卷文科第14題：(i)若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：直線l在點(diǎn)P(x0,y0)處與曲線 C相切；(ii)曲線C在P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C。下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號(hào)）

①直線l:y=0在點(diǎn)P(0 ,0)處“切過(guò)”曲線C：y=x2

②直線l:x=-1在點(diǎn)P(- 1,0)處“切過(guò)”曲線C：y=(x+1)2

③直線l:y=x在點(diǎn)P(0 ,0)處“切過(guò)”曲線C：y=sinx

由新定義知，兩點(diǎn)P1P2間的“L-距離”實(shí)際上是折線P1PP2長(zhǎng)（如圖1所示）。于是：當(dāng)點(diǎn)P在線段F1F2的正上方（下方）時(shí)，P到F1,F2的“L-距離”為定值（當(dāng)

④直線l:y=x在點(diǎn)P(0 ,0)處“切過(guò)”曲線C：y=tanx

⑤直線l:y=x-1在點(diǎn)P(1 , 0)處“切過(guò)”曲線C：y=lnx

本題是一道暴露目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的新定義題，是命題專家對(duì)中學(xué)“切線”教學(xué)或理解中出現(xiàn)的一些問(wèn)題而精心設(shè)計(jì)的一道好題！通過(guò)定義“切過(guò)”，讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)理解定義，了解其幾何意義，較全面地通過(guò)圖形特征考查了高中階段一些重要而基礎(chǔ)的函數(shù)知識(shí)。本題若直接求解（即先求切線方程，再驗(yàn)證是否在直線兩側(cè)），則其計(jì)算量相當(dāng)大，而勾畫其函數(shù)圖像，觀察其圖像即可得到正確答案為①③④。[1]

【例4】福建卷文科第12題：在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的“L-距離”定義為則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1,F2的“L-距離”之和等于定值（大于的點(diǎn)的軌跡可以是（ ）。P在與F1F2平行線段上時(shí)）（如圖2所示）；當(dāng)點(diǎn)P在線段F1F2的外側(cè)（如圖3所示）時(shí)，P到F1,F2的“L-距離”和為為定值，與上面的定值相等。故選A。

圖1

圖2

圖3

由此可見(jiàn)，解決這類需要探究的新定義問(wèn)題關(guān)鍵在于：在準(zhǔn)確理解新定義的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行探究，若探究的難度過(guò)大，則應(yīng)按難易程度將問(wèn)題肢解成幾個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行探究（如本例）。

2 新情景

這類創(chuàng)新試題以新穎的情景為背景，考查考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能以及分析解決問(wèn)題的綜合能力。按不同情景為載體，又可以分為以下幾類。

2.1 以數(shù)學(xué)史料為背景

【例5】湖北卷理科第8題（文科第10題）：《算數(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也。又以高乘之，三十六成一。該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3。那么，近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為 。

本題以數(shù)學(xué)史為背景，凸顯了湖北的地方傳統(tǒng)文化，考查了圓錐體積公式，更考查合情推理能力。解決這類以數(shù)學(xué)史為背景的試題，不要被描述數(shù)學(xué)史的一大段文字所嚇倒，而應(yīng)靜下心來(lái)，事實(shí)上這類試題相當(dāng)簡(jiǎn)單，只要仔細(xì)審題，從中尋找與數(shù)學(xué)有關(guān)的信息，就能找到解決問(wèn)題的突破口，問(wèn)題就能輕松解決。

【例6】湖北卷理科第13題：設(shè)a是一個(gè)各位數(shù)字都不是0且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。將組成a的3個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為I(a)，按從大到小排成的三位數(shù)記為D(a)（例如a=815，則 I(a)=158，D(a)=851）。閱讀如圖4所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè)a，輸出的結(jié)果b= _____。

圖4

本題是以數(shù)學(xué)史中的“自復(fù)制數(shù)”為背景的條件開(kāi)放的創(chuàng)新試題。只要任取一個(gè)三位數(shù)a，依題意依次計(jì)算，最多不超過(guò)6次即可得到答案。如取a=815，則b=851-158=693，則b=963-369=594，則b=954-495=495，則 b=954-495=495=a，故 答 案 為495。本題還有進(jìn)一步探究的價(jià)值，如對(duì)于一般的三位數(shù)a最多需要經(jīng)過(guò)多少次計(jì)算能得到答案，最少呢？對(duì)于二位數(shù)、四位數(shù)、……有無(wú)這樣的“自復(fù)制數(shù)”呢？等等。解決這類以隱性的數(shù)學(xué)史為背景的試題，只要認(rèn)真審題，依據(jù)題意分析解決問(wèn)題即可；解決這類條件開(kāi)放的填空題，注意到填空題結(jié)論的唯一性，只要任取其中一個(gè)或兩個(gè)特例試試，即可“途殊歸一”。

2.2 以實(shí)際問(wèn)題為背景

【例7】四川卷理科第17題：一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分（獲得-200分）。設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立。

（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；

（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少？

（3）玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了。請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因。

本題以一款擊鼓游戲?yàn)楸尘霸O(shè)置問(wèn)題情境，考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，特別是第（Ⅲ）題要求運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析并說(shuō)明若干盤游戲后積分減少的原因，引導(dǎo)考生用數(shù)學(xué)的眼光審視游戲過(guò)程，通過(guò)概率和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，對(duì)游戲及其規(guī)則進(jìn)行理性分析，真切體會(huì)“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”的統(tǒng)計(jì)思想方法。解決這類以實(shí)際問(wèn)題為背景的創(chuàng)新試題，應(yīng)認(rèn)真理解題意，聯(lián)想數(shù)學(xué)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并靈活地運(yùn)用它分析解決問(wèn)題。

2.3 以邏輯推理為背景

【例8】全國(guó)卷Ⅰ理科第14題：甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一個(gè)城市。由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)___。

本題是以邏輯推理為背景的創(chuàng)新試題，“沒(méi)有公式，沒(méi)有原理，沒(méi)有運(yùn)算，只考查推理能力”考試中心數(shù)學(xué)命題專家說(shuō)，因此命制以邏輯推理為背景的創(chuàng)新試題是高考的趨勢(shì)。解決這類試題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題意，從中尋找解決問(wèn)題的突破口。本例中，由丙知，乙至少到過(guò)一個(gè)城市，由甲知，甲到過(guò)A、C，而乙沒(méi)有到過(guò)C，且乙與甲到過(guò)同一城市，故乙只到過(guò)A城市。再如下面的變式題，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解“A比B成績(jī)好”與“沒(méi)有一人比另一個(gè)成績(jī)好”的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系。

【例9】北京卷理科第8題：有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種。若A同學(xué)每科成績(jī)不低于B同學(xué)，且至少有一科成績(jī)比-1高，則稱A同學(xué)比B同學(xué)成績(jī)好。”現(xiàn)有若干同學(xué)，他們之間沒(méi)有一個(gè)人比另一個(gè)成績(jī)好，且沒(méi)有任意兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣，數(shù)學(xué)成績(jī)也一樣的。問(wèn)滿足條件的最多有多少學(xué)生（ ）。[2]

（A）2 （B）3

（C）4 （D）5

2.4 以非常規(guī)考點(diǎn)為背景

【例10】上海卷理科第16題：如圖5所示，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi(i=1,2,...,8)是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則·i(i=1,2,...,8)的不同值的個(gè)數(shù)為（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8

本題以空間數(shù)量積為背景設(shè)置試題，開(kāi)放的條件使試題立意深刻，富含思維價(jià)值，能有效考查考生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。注意到向量在的投影為定值1，故·的不同值個(gè)數(shù)為1。突破這類以不?？嫉睦潼c(diǎn)為背景的試題的有效備考是：其一，備考時(shí)，必須“到邊到角”，不留死角。其二，要善于聯(lián)想，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。如本例中，對(duì)于空間向量數(shù)量積，聯(lián)想平面向量數(shù)量積的幾何意義——投影，于是問(wèn)題輕松解決。其三，要善于轉(zhuǎn)化。如下面的變式題，對(duì)于這類空間幾何體內(nèi)的反射問(wèn)題，考生從未見(jiàn)過(guò)，但冷靜分析后，不難分析發(fā)現(xiàn)它實(shí)質(zhì)是平面反射問(wèn)題，化生為熟，問(wèn)題自然而然地解決。

【例11】江西卷理科第10題：如圖6所示，在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12，一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)b1，遇長(zhǎng)方體的面反射（反射服從光的反射原理），將i-1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為L(zhǎng)i（i=2，3，4），Li=AE將線段L1，L2，L3，L4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（ ）。

2.5 背景材料十分簡(jiǎn)單

【例12】福建卷理科第15題：若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四個(gè)關(guān)系：① a=1；② b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是_________。

本題背景材料相當(dāng)簡(jiǎn)單，僅涉及較少的數(shù)學(xué)知識(shí)（最原始的數(shù)學(xué)概念），卻對(duì)考生的能力提出了較高的要求。[3]有效的考查了考生的理性思維、邏輯推理、創(chuàng)新意識(shí)和探究能力。若a=1，則①②均正確，與有且只有一個(gè)正確矛盾，故a≠1；若b≠1，則(a,b,c,d)為 (3,2,1,4)或 (2,3,1,4)；若 c=2，則(a,b,c,d)為 (3,1,2,4)；若 d≠4,則 (a,b,c,d)為(2,1,4,3)或(3,1,4,2)或(4,1,3,2)。故(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是6。解決這類背景材料相當(dāng)簡(jiǎn)單，卻對(duì)邏輯推理能力要求較高的試題，關(guān)鍵在于平時(shí)對(duì)思維的縝密性和嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。分類討論時(shí)要全面不遺漏，推理時(shí)應(yīng)注意它的嚴(yán)謹(jǐn)性。類似地可解決下面的變式1，而解決變式2的突破口仍在邏輯推理上，即可知有序數(shù)組的5個(gè)數(shù)中僅1個(gè)數(shù)為±1、或僅2個(gè)數(shù)為±1、或僅3個(gè)數(shù)為±1，由計(jì)數(shù)原理及組合知識(shí)可知其數(shù)組(x1,x2,x3,x4,x5)的不同組數(shù)為

【例13】福建卷文科第16題：已知集合{a ,b,c}={0 ,1,2}，且下列三個(gè)關(guān)系：①a≠2②b=2③c≠0有且只有一個(gè)正確，則100a+10b+c= __。

A.60 B.90 C.120 D.130

本題背景材料十分簡(jiǎn)單,僅有一個(gè)不等式,卻對(duì)考生能力提出較高的要求。本題的解決既可對(duì)不等式進(jìn)行分類討論，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1且0≤y≤1時(shí)不等式才成立，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。也可以由含絕對(duì)值不等式性質(zhì)入手，即由等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x與x-1異號(hào)，即 x(x-1)≤0即0≤x≤1時(shí)成立。同理轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題。由此可見(jiàn)，解決這類條件十分簡(jiǎn)單的創(chuàng)新試題，關(guān)鍵在于思維的縝密與嚴(yán)謹(jǐn)，還要善于聯(lián)想，運(yùn)用發(fā)散思維將問(wèn)題擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，再運(yùn)用收斂思維分析出問(wèn)題關(guān)鍵所在，然后靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題。

3 新交匯

A.(- ∞,-6 )∪(6 ,∞ ) B.(- ∞,-4 )∪(4 ,∞)

C.(- ∞,-2 )∪(2 ,∞ ) D.(- ∞,-1) ∪(4 ,∞)本題融函數(shù)的極值、三角函數(shù)的圖像性質(zhì)與不等式的能成立問(wèn)題于一體，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，設(shè)計(jì)巧妙，背景新穎。注意到 f(x)=m2，解得 |m |＞2。故選C。

p1：?(x,y)∈D,x+2y≥-2，

p2：?(x,y)∈D,x+2y≥2,

P3：?(x,y)∈D,x+2y≤3，

p4：?(x,y)∈D,x+2y≤-1。

其中真命題是（ ）。

A.p2，P3B.p1，p4

C.p1，p2D.p1，P3

本題把線性規(guī)劃問(wèn)題融入到全稱命題和特稱命題的真假判斷之中，讓人耳目一新，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯處命題的重要思路。先勾畫出不等式組所表示的可行域，則?(x,y)∈D不等式恒成立?可行域是不等式所表示平面區(qū)域的子集，?(x,y)∈D不等式成立?可行域與不等式所表示平面區(qū)域的交集非空，于是 p1，p2為真命題。

【例17】陜西卷理科第18題：在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn) A(1,1),B(2,3),C(3,2)，點(diǎn)P(x,y)在ΔABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，

本題將線性規(guī)劃融于平面向量之中，開(kāi)交匯之先河。解決本題的關(guān)鍵在于有平面向量知識(shí)用x,y表示m,n，即=m+n-所以(x,y)=m(1,2)+n(2,1),即x=m+2n,y=2m+n。解得m-n=y-x。

解決這類新交匯的創(chuàng)新試題的關(guān)鍵在于膽大心細(xì)。首先在心理上要相信自己，盡管試題新穎但肯定不難，相信一定能解決。其次要善于各個(gè)擊破，即涉及哪一部分內(nèi)容，就利用相關(guān)知識(shí)盡量對(duì)其條件和結(jié)論向前多推幾步，最終就能轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題。

4 新解法

【例18】（1）湖北卷理科第10題：已知函數(shù) f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) x≥0時(shí)，f(x)=( |x-a2|+|x-2a2|-3 a2)。若?x∈R，f(x-1)≤ f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）。

（2）湖南卷理科第16題：如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn) A(-1,0),B(0,3),C（3 0）動(dòng)點(diǎn)D滿足

（3）遼寧卷理科第16題：對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足 4a2-2ab+4b2-c=0 ，且使|2a+b|最大時(shí)，

（1）本題可用分類討論方法解決，但計(jì)算量偏大，若勾畫y=f(x)圖像如圖7所示，由圖7可知對(duì)于x∈R ，恒有 f(x-1)≤f(x)，所以函數(shù) y=f(x-1)的圖像在函數(shù)y=f(x)圖像的下方，從而有1-3a2≥3a2，解得

（2）本題若用坐標(biāo)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化代數(shù)問(wèn)題，則計(jì)算較大。如圖8所示,不妨設(shè)D點(diǎn)在以C為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，故

（3）對(duì)大部分考生來(lái)說(shuō)，可能連題都看不懂。因?yàn)閺念}干上看，比較難發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目到底考的是什么知識(shí)點(diǎn)。從求最小值的表達(dá)式可以聯(lián)想到把三元問(wèn)題一元化，轉(zhuǎn)化的依據(jù)應(yīng)該是|2a+b|取得最大值時(shí)a,b滿足的條件，這樣可以根據(jù)已知條件將其轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題。解題關(guān)鍵是如何找到a,b滿足的條件，如果想不到把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題，則條件很難找到。將已知轉(zhuǎn)化為換元后的圓的（需要較高的恒等變形能力），即可轉(zhuǎn)化為直線系中的截距的絕對(duì)值最大問(wèn)題（相切），進(jìn)而可得到a,b的關(guān)系，最后可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的最小值問(wèn)題。

圖8

解決這類解法全新（一般的“題海”中從未見(jiàn)過(guò)）的試題，關(guān)鍵在于冷靜分析，有效轉(zhuǎn)化。如本例（1）利用數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得到有效轉(zhuǎn)化；本例（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Q到圓C上的點(diǎn)距離的最值問(wèn)題就十分簡(jiǎn)單；而本例（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題就能找到解題的有效突破口。

5 新探究

5.1 探究一般規(guī)律

【例19】安徽卷理科第15題：已知兩個(gè)不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成。記S=x1y1+x2`y2+x3`y3+x4y4+x5`y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值。則下列命題正確的是____（寫出所有正確命題的編號(hào)）。①S有5個(gè)不同的值；②若a⊥b，則Smin與

5.2 運(yùn)用合情推理探究

【例20】湖北卷理科第14題：設(shè) f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù)，且 f(x)＞0。對(duì)任意 a＞0，b＞0，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a, f(a))，(b, -f(b))的直線與x軸的交點(diǎn)為(c, 0)，則稱c為a,b關(guān)于函數(shù) f(x)的平均數(shù)，記為Mf(a,b)。例如，當(dāng) f(x)=1 (x＞0)時(shí)，可得Mf(a,b)=，即M(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù)。f

（Ⅰ）當(dāng) f(x)= __(x＞0)時(shí)，Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù)；

（Ⅱ）當(dāng) f(x)= __(x＞0)時(shí)，Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)

（以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）

[1] 朱恒元，金建軍.接天蓮葉無(wú)窮碧 映日荷花別樣紅——2014年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)卷的命題特點(diǎn)和復(fù)習(xí)建議[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2014（8）：2-10.

[2] 戈峰，徐睿，徐潔.2014年高考新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)試題評(píng)析[J].新課程教學(xué)（電子版），2014（7）：17-21.

[3] 楊蒼洲，陳中峰.2014年高考“立體幾何”專題分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2014（8）：76-85.