帶有積分型邊值條件的奇異的n階邊值問題無窮多正解的存在性

武 晨

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學院南京分院，江蘇 南京 210019）

0 引言

近年來，帶有積分型邊值條件的邊值問題在熱傳導、半導體以及流體力學等領(lǐng)域有著越來越重要的應用（見［1-2］），并且隨著研究的深入也取得了一系列重要成果（見［3-7］）.文獻［7］研究了一個二階奇異的帶有積分型邊值條件的邊值問題：，作者通過利用復合單調(diào)算子理論證明了上述邊值問題的解是存在唯一的.文獻［8］考慮了如下的一個奇異的n階m點邊值問題：，應用不動點指數(shù)理論證明了其正解的存在性.我們知道積分型邊值條件包含了多點邊值這一特殊情況，事實上，如果我，其中k≥1 是一個正整數(shù)，ai,bi∈[0,+∞)是一個(0,1)中的有限點列，χ(s)是[0,+∞)上的特征函數(shù)，即：則邊值條件（2）就退化為：

受以上文獻的啟發(fā)，筆者研究在(0,1)區(qū)間上一個帶有積分型邊值條件的奇異的n階邊值問題：

無窮多正解的存在性.其中，n≥2,ξ(s),η(s)非減，a(t)∈Lp[0,1](p≥1)，并且a(t)在中有可數(shù)多個奇異點，邊值條件中的積分是Riemann-Stieltjes 型積分，邊值問題（1）（2）的正解是指存在函數(shù)u∈C1[0,1]?Cn(0,1)，使得當t∈(0,1)時有u(t)＞0 成立，且滿足（1）（2）.

在本文中，我們假設(shè)以下條件成立：

H1：存在序列

H2：存在H＞ 0，使得當t∈[t*,1-t*]時有a(t)≥H成立；

H3：存在p≥1，使得a(t)∈Lp[0,1]；

H4：f∈C([0,+∞),[0,+∞))；

另外，由ξ(s),η(s)非減可知，

1 一些引理和定義

引理1設(shè)E是一個Banach空間，P是E中的錐，假設(shè)Ω1,Ω2是E中滿足的兩個開子集，且是一個全連續(xù)算子，滿足：（i）‖Tu‖≤‖u‖，u∈P??Ω1，且‖Tu‖≥‖u‖，u∈P??Ω2；或者（ii）‖Tu‖≥‖u‖，u∈P??Ω1，且‖Tu‖≤‖u‖，u∈P??Ω2；則T在中至少有一個不動點.

引理2［9］

且格林函數(shù)G(t,s)滿足：

（i）G(t,s)≥0 在 [0,1]×[0,1]上連續(xù)；

（ii）G(t,s)≥G(θ1(s),s)(t,s∈(0,1)),?τ∈，存在常數(shù)，使得

觀察組護理后收縮壓為(141.3±13.1)mm Hg、舒張壓為(83.4±7.8)mm Hg、總膽固醇為(5.1±0.7)mmol/L、甘油三酯為(2.7±0.3)mmol/L、纖維蛋白原為(3.2±0.8)g/L;對照組護理后收縮壓為(159.7±14.2)mm Hg、舒張壓為(94.6±8.4)mm Hg、總膽固醇為(6.7±0.9)mmol/L、甘油三酯為(4.5±0.8)mmol/L、纖維蛋白原為(3.5±0.9)g/L,觀察組各項指標改善情況優(yōu)于對照組(P<0.05)。

其中

為了方便，我們記G(θ1(s),s)=G1(s).

引理3設(shè)g∈L(0,1)，則方程u(n)(t)+g(t)=0,t∈(0,1)對應于邊值問題（2）的唯一解為：

為了應用（4），我們定義一個特殊的錐，設(shè)E=C[0,1]，賦予范數(shù)則E是一個 Banach 空間，對任意固定的，定義錐：

其中

定義算子T:

顯然，u(t)是邊值問題（1）（2）的解當且僅當u(t)是算子T的不動點.

引理4，算子T:Pτ→Pτ，并且T全連續(xù).

證明由條件顯然可知Tu(t)≥0，

令u∈Pτ，?t′∈[0,1]，由（4）（7）有：

2 主要結(jié)論

為了方便，給出以下記號：

定理1假設(shè)(H1)-(H5)成立，設(shè)滿 足tk+1＜τk＜tk,k=1,2,…, 令滿足：Rk+1＜γτkrk＜rk＜Rk，Mrk＜LRk,k=1,2,…，其中M∈(λ1,+∞)，L∈(0 ,λ2)，更進一步，對每個自然數(shù)k，假設(shè)f滿足如下的增長性條件：H6：f(u)≤LRk,u∈[0,Rk]；H7：f(u)≥Mrk,u∈[γτkrk,rk].則，邊值問題（1）（2）有無窮多個正解，滿足rk≤ ‖uk‖≤Rk,k=1,2,….

證明定義E中的開子集：Ω1,k={u∈E|‖u‖≤Rk}，Ω2,k={u∈E|‖u‖≤rk}如上面假設(shè)，令，定義錐，固定k，對任意的u∈Pk??Ω2,k,s∈[τk,1-τk]，有，由H2、H5和H7可知：

令u∈Pk??Ω1,k，則u(s)≤‖u‖≤Rk.由H5、H6有：

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