用“公式法”解一元二次方程教學(xué)案例

廣東省佛山市順德區(qū)沙滘初級(jí)中學(xué)(528315) 黃金雄

活動(dòng)設(shè)計(jì)

1、課程標(biāo)準(zhǔn)要求

(1)會(huì)用公式法解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

(2)理解一元二次方程解法的基本思想.

(3)結(jié)合實(shí)踐與探索,經(jīng)歷探究性學(xué)習(xí)的過(guò)程,從根本上改變學(xué)習(xí)方式,發(fā)展思維,提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作交流兩方面的能力.

2、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能:

(1)在教師的指導(dǎo)下,學(xué)生能夠正確的導(dǎo)出一元二次方程的求根公式,并在探求過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和合情推理能力.

(2)能夠根據(jù)方程的系數(shù),理解公式中的條件,判斷出方程的根的情況,在此過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察和總結(jié)的能力.

(3)通過(guò)正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程,提高學(xué)生的綜合運(yùn)算能力.

過(guò)程與方法:

(1)參與對(duì)一元二次方程解法的探索與研究,體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.

(2)對(duì)結(jié)果比較、驗(yàn)證、歸納,實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方式,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

情感態(tài)度與價(jià)值觀:在實(shí)踐中,通過(guò)在探求公式過(guò)程中同學(xué)間的理解、交流、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著創(chuàng)造和樂(lè)趣,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識(shí)和能力

3、學(xué)生分析

學(xué)生通過(guò)前幾節(jié)課的學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a?0),并且已經(jīng)能夠熟練地將一元二次方程化成它們的一般形式;在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上,大部分學(xué)生能夠利用配方法解一元二次方程,但仍有一部分認(rèn)知較慢、運(yùn)算不扎實(shí)的同學(xué)不能夠熟練使用配方法解一元二次方程.

學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ):學(xué)生已經(jīng)具備利用配方法解一元二次方程的經(jīng)驗(yàn);學(xué)生通過(guò)《規(guī)律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函數(shù)的圖像》中一次函數(shù)增減性的總結(jié)等章節(jié)的學(xué)習(xí),已經(jīng)逐漸形成對(duì)于一些規(guī)律性的問(wèn)題,用公式加以歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)建模意識(shí),并且已經(jīng)具備本節(jié)課所需要的推理技能和邏輯思維能力

4、實(shí)施目標(biāo)的方法

注意及時(shí)復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí),并在實(shí)踐中加深對(duì)知識(shí)的理解,培養(yǎng)和提高獲取知識(shí)的能力.

5、教學(xué)資源

多媒體課件.

方案設(shè)想

本節(jié)課一定要體現(xiàn)新課改精神,一定要體現(xiàn)以學(xué)生為主體的理念,一定要體現(xiàn)“自主嘗試,先學(xué)后教”課堂模式.

首先要明確知識(shí)是從哪里來(lái)?知識(shí)是怎樣形成的?

課堂教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)一定要落到實(shí)處,從問(wèn)題的設(shè)計(jì),教師的演示,課堂的預(yù)設(shè),學(xué)生的操作,學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá),指導(dǎo)觀察,指導(dǎo)比較,小結(jié)歸納都要從“實(shí)”出發(fā),絕不要“蜻蜓點(diǎn)水”.

其次怎樣組織課堂?怎樣調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣?

課堂應(yīng)該是充滿生機(jī)的地方.課堂教學(xué)“沉悶”怎么辦?課堂沒(méi)有生機(jī)怎么辦?學(xué)生發(fā)言不積極怎樣調(diào)動(dòng)?教師應(yīng)該善于調(diào)控自己的激情,發(fā)揮語(yǔ)言激勵(lì)評(píng)價(jià)作用,以自己的激情去感染熏陶學(xué)生,讓學(xué)生“動(dòng)”起來(lái),營(yíng)造一種活力四射充滿生氣的課堂.

教學(xué)的實(shí)質(zhì)是以教材中提供的素材為載體,通過(guò)一系列探究互動(dòng)過(guò)程,達(dá)到學(xué)生知識(shí)的構(gòu)建、能力的培養(yǎng)、情感的陶冶、意識(shí)的創(chuàng)新.為此,就《用公式法解一元二次方程的解法》這一課題,我將就以下幾方面作相關(guān)的教學(xué)解說(shuō).

1、要充分認(rèn)識(shí)本節(jié)課在整個(gè)初中教材中的作用與地位

“一元二次方程的解法”是初中數(shù)與式的“方程”中的一個(gè)重要內(nèi)容之一,是在學(xué)完一元一次方程、因式分解、數(shù)的開(kāi)方和直接開(kāi)方法、配方法解一元二次方程和推導(dǎo)求根公式的基礎(chǔ)上,掌握用求根公式解一元二次方程,進(jìn)一步熟練解一元二次方程的方法,會(huì)選擇合適的方法解一元二次方程.

2、要充分理解本節(jié)課的目的與要求

公式法實(shí)際上是配方法的一般化和程式化,然后再利用總結(jié)出來(lái)的公式更加便利地求解一元二次方程.所以首先要夯實(shí)上節(jié)課的配方法,在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行一般規(guī)律性的探求——推導(dǎo)求根公式,最后,用公式法解一元二次方程.

其中,引導(dǎo)學(xué)生自主的探索,正確地導(dǎo)出一元二次方程的求根公式是本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)之一;正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程,提高學(xué)生的綜合運(yùn)算能力是本節(jié)課的另一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).

為此,本節(jié)課的教學(xué)目的與要求是:

(1)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

一元二次方程求根公式的推導(dǎo)

利用公式法解一元二次方程

(2)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過(guò)配方法解一元二次方程的過(guò)程,進(jìn)一步加強(qiáng)推理技能訓(xùn)練,同時(shí)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力.

(3)德育滲透點(diǎn)

向?qū)W生滲透由特殊到一般的唯物辯證法思想.

3、教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn):能夠用求根公式熟練地解一元二次方程

(2)教學(xué)難點(diǎn):一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過(guò)程,理解公式中的條件b2?4ac≥0,判斷出方程的根的情況

(3)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn):

掌握配方法的基本步驟

確定求根公式中a、b、c的值

4、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/h3>

要讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程很有必要的,也是不可缺少的一個(gè)重要內(nèi)容.培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的解題思想.所以在講解過(guò)程中,講清如何運(yùn)用求根公式解一元二次方程,并比較前面學(xué)的的幾種方法.在講解過(guò)程中我用啟發(fā)式教學(xué)和借助多媒體教學(xué)以豐富課堂教學(xué).

5、要安排好教學(xué)過(guò)程中的幾個(gè)重要環(huán)節(jié)

分成以下幾個(gè)步驟:

一、提出問(wèn)題:兩個(gè)問(wèn)題首先是對(duì)直接開(kāi)平方法、配方法和求根公式的復(fù)習(xí);(多媒體展示)其次通過(guò)兩種解法對(duì)比得出用平方法、配方法解繁雜的一元二次方程,很困難,需要一種更簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決問(wèn)題.

二、分析問(wèn)題:依照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律引導(dǎo)學(xué)生從從簡(jiǎn)單的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,突出本節(jié)課的重點(diǎn).由此引出新課用公式法解一元二次方程.達(dá)到本課的第一個(gè)教學(xué)目的.對(duì)于用公式法解一元二次方程以開(kāi)門(mén)見(jiàn)山的方式直接給出.但要注意運(yùn)用公式法解一元二次方程時(shí),要先判斷方程是否有解,其解的情況分三種.

三、解決問(wèn)題:在熟悉用公式法解一元二次方程后,接著通過(guò)例題用不同的方法解一元二次方程,在歸納、比較中對(duì)不同難度的一元二次方程尋找最合適的方法來(lái)解.在訓(xùn)練內(nèi)容的選擇上考慮到學(xué)生接受新舊知識(shí)結(jié)合的能力:一是以方法為主,采用一題多解,層層遞進(jìn)的方式,二是以基本技能為主,而不追求繁難的一元二次方程的解題特殊技巧.在運(yùn)用不同的方法解一元二次方程時(shí),要具體問(wèn)題具體分析選擇最佳方法合理解題.在精心設(shè)計(jì)的練習(xí)過(guò)程中抓住學(xué)生問(wèn)題的癥結(jié),培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析、理解能力和思考解決問(wèn)題的能力,提高解題技巧.

四、總結(jié)問(wèn)題:采用學(xué)生小結(jié)教師補(bǔ)充的方式來(lái)概括本節(jié)課的知識(shí).回答學(xué)生在學(xué)完本課后發(fā)現(xiàn)的未能解決的問(wèn)題及創(chuàng)新性問(wèn)題,給學(xué)生自由思考的空間.

活動(dòng)過(guò)程

第一環(huán)節(jié);嘗試準(zhǔn)備

活動(dòng)內(nèi)容

1、用配方法解下列方程:

(1)2x2+3=7x;(2)3x2+2x+1=0.

學(xué)生總結(jié)用配方法解方程的一般方法:

(1)2x2+3=7x

解將方程化成一般形式:2x2?7x+3=0,兩邊都除以一次項(xiàng)系數(shù)2,得配方,即加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,得即所以兩邊開(kāi)平方取“±”得所以所以方程的根為

(2)3x2+2x+1=0

解兩邊都除以一次項(xiàng)系數(shù)3,得配方,即加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,得因?yàn)樗栽匠虩o(wú)解.

完成后小組內(nèi)進(jìn)行交流,并進(jìn)行反饋矯正.

學(xué)生:總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟

教師板書(shū):(1)移項(xiàng);(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1;

(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方;

(4)原方程變形為(x+m)2=n的形式;

(5)如果右邊是非負(fù)數(shù),就可以直接開(kāi)平方求出方程的解,如果右邊是負(fù)數(shù),則一元二次方程無(wú)解.

教師:通過(guò)以上兩個(gè)方程的求解,你能試著猜想一下上述問(wèn)題的求解的一般規(guī)律嗎?

設(shè)計(jì)意圖

(1)進(jìn)一步務(wù)實(shí)用配方法解方程的一班步驟.在這里相對(duì)于書(shū)上的解題方法作了小小的改動(dòng):沒(méi)有把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊,而是在方程的左邊直接加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,這樣做的目的是為了與以后二次函數(shù)一般式化頂點(diǎn)式保持一致.

(2)選擇了一個(gè)沒(méi)有解的方程,讓學(xué)生切實(shí)感受并不是所有的一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有解.

活動(dòng)的實(shí)際效果:通過(guò)對(duì)舊知識(shí)的回顧,學(xué)生再次經(jīng)歷了配方法解方程的全過(guò)程,由于是舊知識(shí),學(xué)生容易做出正確答案,并獲得成功的喜悅,調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,喚醒學(xué)生的思維,為后面的探索奠定了良好的基礎(chǔ).

第二環(huán)節(jié)自主探究學(xué)習(xí):公式的推導(dǎo)

活動(dòng)內(nèi)容

提出問(wèn)題解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0)

學(xué)生在學(xué)案上自主推導(dǎo)、并針對(duì)自己推導(dǎo)過(guò)程中預(yù)見(jiàn)的問(wèn)題在小組內(nèi)自由研討.最后由師生共同歸納、總結(jié),得出求根公式.

解方程兩邊都作以a,得移項(xiàng),得配方,得即因?yàn)閍0,所以 4a2＞0,當(dāng)b2?4ac≥0時(shí),得所以

一般地,對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0),當(dāng)b2?4ac≥0時(shí),它的根是

注意:當(dāng)b2?4ac＜0時(shí),一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

公式法:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生能否自主推導(dǎo)出來(lái)并不重要,重要的是由學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程,只有經(jīng)歷了這一過(guò)程,他們才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、汲取教訓(xùn)、總結(jié)經(jīng)驗(yàn),形成自己的認(rèn)識(shí).在集體交流的時(shí)候,才能有感而發(fā).

活動(dòng)的實(shí)際效果

學(xué)生的主要問(wèn)題通常出現(xiàn)在這樣的幾個(gè)地方:

(1)運(yùn)算的符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤和通分出現(xiàn)錯(cuò)誤

(2)不能主動(dòng)意識(shí)到只有當(dāng)b2?4ac≥0時(shí),兩邊才能開(kāi)平方

(3)兩邊開(kāi)平方,忽略取“±”.大部分學(xué)生需要在教師的幫助下,才能完善公式的推導(dǎo).

第三環(huán)節(jié):例題學(xué)習(xí)、做達(dá)標(biāo)練習(xí)

例x2?7x=18

解先將方程化成一般形式:x2?7x?18=0.確定a,b,c的值:a=1,B=7,c=?18.判斷方程是否有根:b2?4ac=(?7)2?4×1×(?18)=121＞0,所以,即方程的根為

教師:用公式法解一元二次方程的一般步驟是什么?

學(xué)生總結(jié):

(1)先將方程化為ax2+bx+c=0(a?0)的一般形式.

(2)確定a、b、c的值,(注意a、b、c的確定應(yīng)包括各自的符號(hào))

(3)求解b2?4ac的值,如果b2?4ac≥0

(4)代入公式,即可求出一元二次方程的根.

教師強(qiáng)調(diào):解一元二次方程的五個(gè)注意點(diǎn):

1、注意化方程為一般形式;

2、注意方程有實(shí)數(shù)根的前提條件是b2?4ac≥0;

3、注意a、b、c的確定應(yīng)包括各自的符號(hào);

4、注意一元二次方程如果有根,應(yīng)有兩個(gè);

5、求解出的根應(yīng)注意適當(dāng)化簡(jiǎn)

達(dá)標(biāo)練習(xí)用公式法解下列方程

(1)2x2?9x+8=0;(2)9x2+6x+1=0;

(3)16x2+8x=3.

設(shè)計(jì)意圖及時(shí)對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行練習(xí),孝查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況.題目設(shè)計(jì)由淺至深,符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)梯度,激發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步探索欲望.

第四環(huán)節(jié):交流體會(huì),歸納總結(jié).

本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)?在本節(jié)課中你有什么體會(huì)?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生從知識(shí)上、方法上,學(xué)習(xí)情況上進(jìn)行反思、評(píng)價(jià).

第五環(huán)節(jié)、作業(yè)布置

(1)學(xué)案作業(yè).目的是通過(guò)練習(xí),強(qiáng)化基本技能訓(xùn)練.

(2)自主嘗試學(xué)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生良好的自學(xué)習(xí)慣.

教學(xué)反思

1、本課從形式和內(nèi)容上都體現(xiàn)了新課程改革的特征.本節(jié)課始終以如何用求根公式解一元二次方程為主線串連起來(lái),知識(shí)、技能、過(guò)程、方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等三維目標(biāo)的達(dá)成都達(dá)到了比較理想的程度.結(jié)構(gòu)上,全課營(yíng)造的學(xué)習(xí)氛圍比較輕松活潑;內(nèi)容上,新舊知識(shí)的前后聯(lián)系,多種解法的數(shù)學(xué)知識(shí)綜合.課堂上學(xué)生學(xué)得了新的知識(shí),還體驗(yàn)到了成功的快樂(lè).教學(xué)中對(duì)隨機(jī)生成性教學(xué)資源的恰當(dāng)處理是本課的一個(gè)亮點(diǎn),充分讓學(xué)生動(dòng)起來(lái).

2、充分利用教材,在練習(xí)題與例題的編排上打破常規(guī),讓學(xué)生先用配方法解兩個(gè)一元二次方程,通過(guò)“自主嘗試、先學(xué)后教”探導(dǎo)出公式法,再讓學(xué)生用公式法解這個(gè)ax2+bx+c=0(a0)方程,在授課過(guò)程中,教師給學(xué)生留下了很大的思維空間,通過(guò)自己的親自操作,運(yùn)用自主嘗試探索發(fā)現(xiàn)法,讓學(xué)生積極參與自主探究,合作交流,把主體地位返還給學(xué)生.無(wú)論是公式的推導(dǎo),還是公式的應(yīng)用,都是在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生自己完成的,教師這樣做,重視了知識(shí)的形成過(guò)程,在應(yīng)用中又開(kāi)拓了學(xué)生的視野,使學(xué)生的發(fā)散思維與應(yīng)用技巧得到了鍛煉.

3、《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)以學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)力求從學(xué)生熟悉的生活情境與童話世界出發(fā)提出有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題,使學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系.基于此認(rèn)識(shí),本課教學(xué)時(shí)注重活化教材,注重強(qiáng)化學(xué)生自主嘗試體驗(yàn),注重深化應(yīng)用.讓學(xué)生在愉悅的氛圍中邊解決問(wèn)題邊體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè).

附學(xué)案中作業(yè)錯(cuò)題點(diǎn)擊:

用公式法解一元二次方程2x2?5x+3=0

評(píng)析在用公式法解題時(shí),學(xué)生常會(huì)的錯(cuò)誤是在確定系數(shù)的時(shí)候常會(huì)漏了系數(shù)的性質(zhì)符號(hào);在代入中特別是代入負(fù)數(shù)時(shí)漏了括號(hào);除此之外在應(yīng)用公式時(shí)常會(huì)將公式中的?b的負(fù)號(hào)忘記.

評(píng)析在用公式法解題時(shí)容易忘記有根的前提是b2?4ac≥0.