基于分形方法的水力壓裂起裂模型的研究

李統(tǒng)中，樊軍

(新疆大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047)

基于分形方法的水力壓裂起裂模型的研究

李統(tǒng)中，樊軍

(新疆大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047)

水力壓裂是油井增產(chǎn)通常采用的一種措施，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)壓裂井的破裂壓力是水力壓裂成功實(shí)施的關(guān)鍵所在。利用分形理論對(duì)勻質(zhì)地層的破裂壓力進(jìn)行了重新推導(dǎo)，建立了分形理論下的破裂壓力計(jì)算模型，并借助Matlab，結(jié)合分形相關(guān)理論推導(dǎo)并分析了沿分形裂紋與直線(xiàn)裂紋斷裂的巖石斷裂韌性之間的關(guān)系。理論分析表明，考慮裂紋分形擴(kuò)展后巖石的斷裂韌性大于沿直線(xiàn)模型擴(kuò)展的斷裂韌性，從理論上證實(shí)了目前水力壓裂作業(yè)中理論計(jì)算值常低于施工壓力的結(jié)論，說(shuō)明計(jì)算模型更接近實(shí)際情況。

巖石力學(xué)；起裂壓力；分形裂紋；斷裂韌性；水力壓裂

0 引言

通常在水力壓裂的工程計(jì)算中，壓裂縫的幾何形態(tài)都是以光滑的直線(xiàn)或曲線(xiàn)來(lái)考慮的，但通過(guò)實(shí)際觀察可知，壓裂裂縫破裂延伸時(shí)，裂紋幾何形狀往往是很復(fù)雜的和不規(guī)則的。近年來(lái)，隨著分形幾何的引入，使得斷裂力學(xué)的研究展現(xiàn)出新的前景，這一問(wèn)題也就變得不再那么棘手，現(xiàn)使用分形幾何來(lái)表征巖石斷裂表面已發(fā)展成為對(duì)巖石斷裂裂縫定量分析的一種新方法[1-3]，文中從基礎(chǔ)理論出發(fā)，討論了巖石破裂模型的分形效應(yīng)。

1 巖石斷裂韌性的分形幾何描述

由于實(shí)際地下巖石水力壓裂裂縫的斷裂表面是凹凸不平的，裂紋擴(kuò)展路徑是不規(guī)則的，彎彎曲曲的，如圖1所示。

圖1 水力壓裂裂紋擴(kuò)展的分形模型

在分形幾何中，用式(1)近似估計(jì)裂紋的曲線(xiàn)長(zhǎng)度：

(1)

式中：r為自相似比，L0為裂紋路徑的直線(xiàn)長(zhǎng)度，m；σ為碼尺；D為不規(guī)則擴(kuò)展路徑的分形維數(shù)。

水力壓裂中多應(yīng)用張開(kāi)型裂紋來(lái)建立裂縫的延伸準(zhǔn)則，由斷裂力學(xué)原理可知張開(kāi)型應(yīng)力強(qiáng)度因子k1與斷裂能Ge之間的關(guān)系為：

(2)

E為巖石彈性模量；μ為巖石的泊松比.

根據(jù)文獻(xiàn)[4]可知裂紋不規(guī)則擴(kuò)展下臨界斷裂能可表示為：

(3)

由式(2)和式(3)可推導(dǎo)出如下關(guān)系：

(4)

式中：k1D為沿分形裂紋斷裂的巖石強(qiáng)度因子，它反應(yīng)了裂紋尖端應(yīng)力奇異性的強(qiáng)度，與材料和裂縫的尺寸及所受載荷有關(guān),MPa·m1/2。

2 裸眼井井壁巖石起裂準(zhǔn)則

使用最大拉應(yīng)力理論為基礎(chǔ)的拉伸破裂準(zhǔn)則作為裂縫的起裂模型[4-6]，產(chǎn)生的裂紋垂直于地層最小主應(yīng)力。首先假設(shè)巖石為均勻各向同性彈性介質(zhì)，無(wú)滲透，遠(yuǎn)場(chǎng)作用著最小和最大水平地應(yīng)力σh和σH，鉆井液液柱壓力為pw，地層孔隙壓力為pp，若以壓應(yīng)力為正，根據(jù)彈性力學(xué)則裸眼直井井壁處的應(yīng)力狀態(tài)如圖2所示[7-8]。

圖2 用矩形平板模擬進(jìn)壁周?chē)鷳?yīng)力的平面圖

(5)

式中，σr,σθ,σz,τrθ,τθz,τrz分別為柱坐標(biāo)下的應(yīng)力分量，MPa；θ為矢徑與最大水平主應(yīng)力的夾角(°)。

井壁上的最大拉升應(yīng)力為：

(6)

將式(5)帶入式(6)得：

σmax=σθ

(7)

將式(7)對(duì)θ求導(dǎo)數(shù)，得：

(8)

2.1 起裂位置

2.2 起裂壓力

考慮地層孔隙壓力的影響[9-10]，引入有效應(yīng)力的概念，所以有效的周向應(yīng)力

σθe=σθ-αpp=3σh-σH-pw-αpp

式中：α為有效應(yīng)力系數(shù)；pp為地層孔隙壓力，依據(jù)拉升破裂準(zhǔn)則，此時(shí)，

σθe=-σt,可求得破裂壓力：

pf=3σh-σH-pw-αpp+σT

(9)

由以上模型可知：在不考慮井筒壓力以及流體滲入地層帶來(lái)的附加應(yīng)力影響，鉆開(kāi)地層后，原始的應(yīng)力狀態(tài)受到破壞，井壁附加出現(xiàn)周向應(yīng)力集中，此時(shí)

σθ=(σ+σh)-2(σH-σh)cos2θ

當(dāng)θ=0或θ=π時(shí)，周向應(yīng)力出現(xiàn)最小值：

σθ=3σh-σH

所以，1) 當(dāng)σθ3σh-σH+σTpw時(shí)，井壁在水平最大主應(yīng)力方向產(chǎn)生新的裂紋。

3 起裂壓力的分形模型

由斷裂力學(xué)可知，斷裂韌性與巖石的抗拉強(qiáng)度關(guān)系為：

(10)

式中，ac為巖石的長(zhǎng)度級(jí)特征(如缺陷或巖石顆粒尺寸)，m。

把式(10)帶入式(4)得：

(11)

將式(11)帶入式(9)得，裂縫的破裂壓力為 ：

(12)

巖石裂紋擴(kuò)展過(guò)程隨機(jī)性比較大，裂紋形態(tài)千差萬(wàn)別，若把裂紋的彎折段看作裂紋擴(kuò)展的生成元，可用圖3所示模型來(lái)描述裂紋的擴(kuò)展。

圖3 擴(kuò)展裂紋的分形模型

根據(jù)孫麗鳳[11]等對(duì)該分形裂紋模型的有效性做了證明，由此可以計(jì)算出裂紋分形擴(kuò)展的分形維數(shù)為：

(13)

帶入式(12)可得：

(14)

4 式(9)與式(14)的分析比較：

基于上述分析可知，影響破裂壓力pf的主要因素是σT的不同，而兩種模型中影響σT的因素是斷裂因子K，對(duì)此作出分析。

將式(13)帶入式(4)得：

圖4 彎折角θ的函數(shù)關(guān)系式

參數(shù)分析：

1) 由圖4可知分形理論下的巖石強(qiáng)度因子要大于常規(guī)理論下的巖石斷裂因子，從而考慮分形裂紋下的井壁起裂壓力自然大一點(diǎn)。

2) 可以看出隨著偏折角的增大，分形理論下的斷裂因子呈指數(shù)增加，由此可知，壓裂形成的裂紋越是粗糙、彎曲，擴(kuò)展的裂縫會(huì)消耗更多的巖石斷裂能，使得巖石破裂更加困難。所以說(shuō)用分析方法分析巖石的斷裂模型是符合巖石斷裂的本質(zhì)特點(diǎn)的，而且引入分形方法有助于提高計(jì)算的準(zhǔn)確性。

5 結(jié)語(yǔ)

1) 當(dāng)σθ

2) 當(dāng)pw>3σh-σH+σT時(shí)，井壁在水平最大主應(yīng)力方向上產(chǎn)生新的裂紋；

3) 壓裂巖石的分形裂紋擴(kuò)展下需要的裂縫內(nèi)壓力比直線(xiàn)型大，自然斷裂的巖石比直線(xiàn)假設(shè)情況下要消耗更多的能量；

(4)基于分形裂紋的巖石斷裂韌性模型體現(xiàn)了巖石斷裂裂紋的自身的特點(diǎn)，提高了巖石斷裂韌性的實(shí)際測(cè)試精度。

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Study of Hydrofracture Initiation Model Based on Fractal Method

LI Tongzhong, FAN Jun

(School of Mechanical Engineering, Xinjiang University，Urumqi 830047, China)

Hydraulic fracturing is a measure used to increase oil production. To accurately predict the pressure of fracturing, which is the key of the successful implementation of the hydraulic fracturing. Through deriving the burst pressure of homogeneous formation again based on the fractal theory, the breakdown pressure calculation model is established. Based on Fractal theory, this paper analyzes the relationship between fracture toughness of rock along the fractal crack and straight crack with the help of matlab. The theoretical analysis shows that the fracture extending toughness of rock along the fractal crack is greater than that of the straight line model. that’s why the current theory calculation value of hydraulic fracturing construction pressure is always less than one of the actual construction of pressure. Furthermore, it’s also proved that the computational model is closer to the actual situation in this paper.

rock mechanics; initiation pressure; fractal crack; fracture toughness; hydraulic fracturing

李統(tǒng)中(1987-)，男，甘肅通渭人，碩士研究生，研究方向：制造業(yè)信息化工程。

TH12

A

1671-5276(2015)05-0062-03

2014-03-12