挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)滲透數(shù)學(xué)思想
——2014年浙江高考數(shù)學(xué)文科第16題解法探究

☉浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽(yáng)

挖掘代數(shù)結(jié)構(gòu)滲透數(shù)學(xué)思想
——2014年浙江高考數(shù)學(xué)文科第16題解法探究

☉浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽(yáng)

題不在大，有“神”則靈.試題的“神”體現(xiàn)在試題的結(jié)構(gòu)上，體現(xiàn)在蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想上，體現(xiàn)在知識(shí)的背景上，體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)思想方法合情合理的要求上.2014年浙江省高考數(shù)學(xué)文科第16題以其獨(dú)特的代數(shù)結(jié)構(gòu)，豐富的知識(shí)內(nèi)涵，可以多方面檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的掌握情況.根據(jù)試題條件與結(jié)論之間代數(shù)結(jié)構(gòu)的挖掘，多角度切入，全方位探究，可以得到多種不同的解法，從而培養(yǎng)或提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

題目：已知實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為_(kāi)________.

一、在消元思想支配下求解

解法1（主元法：構(gòu)造為方程）：由a+b+c=0，得b+c= -a①.

將條件a2+b2+c2=1配方，得a2+（b+c）2-2bc=1.將①代

解法2（主元法：轉(zhuǎn)化為方程）：由a+b+c=0，得c=-（a+ b），代入a2+b2+c2=1，得

評(píng)析：此題最明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)是變量多，而多變量問(wèn)題通?？紤]“多變一”，選定一個(gè)變量作為主元，通過(guò)減元轉(zhuǎn)化.解法1中，轉(zhuǎn)化成韋達(dá)定理的形式，構(gòu)造含a的一元二次方程，進(jìn)而由判別式可得結(jié)果.解法2直接消去c后，得到a、b的二元形式，把它看成關(guān)于實(shí)數(shù)b的一元二次方程，再利用判別式也可得結(jié)果.

二、構(gòu)造不等式思想支配下求解

因?yàn)椋╞+c）2≤2（b2+c2），所以a

解法4（利用不等式：基本不等式2）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

解法5（利用不等式：基本不等式3）：由a+b+c=0，a2+ b2+c2=1，得a=-b-c，1-a2=b2+c2≥

解法6（利用不等式：基本不等式4）：a2+b2+c2=（a+b+ c）2-2（ab+bc+ca）=-2（ab+bc+ca）=1?ab+bc+ca

解法7（利用不等式：基本不等式5）：實(shí)數(shù)a的最大值必然大于0.

利用不等式（x+y）2≤2（x2+y2），得：

解法8（利用不等式：柯西不等式）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

令a=x+y，b=x-y，則6x2+2y2=1.

評(píng)析：此題的條件中兩個(gè)等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，可以利用基本不等式、柯西不等式來(lái)處理最值問(wèn)題.如何充分挖掘題設(shè)條件，分析式子的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，并合理利用基本不等式或柯西不等式得出等號(hào)成立的充要條件，是完成在“不等”中挖掘“等”這一解題模式的關(guān)鍵.

三、在變換思想支配下求解

解法9（代換：三角代換1）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+b2+c2=1，得

解法10（代換：三角代換2）：由a2+b2+c2=1，得b2+c2= 1-a2.

評(píng)析：1-a2=b2+c2，視點(diǎn)（b，c）在以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓上，為三角變換打下基礎(chǔ).利用三角換元是處理多元問(wèn)題的常用手段，但解答本題過(guò)程較煩瑣，這也警示我們：在解題方法上不能墨守成規(guī)，應(yīng)因地制宜選擇最佳解題方法，培養(yǎng)思維的敏捷性和靈活性.

四、在配方思想支配下求解

解法11（配方法）：由a+b+c=0，得c=-（a+b），代入a2+

五、在數(shù)列構(gòu)造思想支配下求解

解法12（構(gòu)造等差數(shù)列）：由a+b+c=0，可得-a=b+c，此式說(shuō)明d，代入a2+b2+c2=1中，整理得0，則a

六、在解析幾何思想支配下求解

解法13（解析幾何思想）：令b=x，c=y，則x+y=-a，x2+ y2=1-a2.

評(píng)析：把條件a+b+c=0、a2+b2+c2=1中的b、c看成變量x、y，則是直線(xiàn)與圓的關(guān)系問(wèn)題.聯(lián)想到圓心到直線(xiàn)的距離不大于半徑，能得到關(guān)于a的不等式，就可以求得a的最大值.這也需要有敏銳的眼光和解析幾何的功底，才能從式子中看出其特征.

七、在邏輯分析思想支配下求解

解法14（邏輯分析思想）：因a+b+c=0，所以a取最大值的必要條件是a＞0，故當(dāng)且僅當(dāng)b=c＜0時(shí)，a取最大值，

評(píng)析：由條件a+b+c=0及目標(biāo)的挖掘，可知a取最大值的必要條件是a＞0，當(dāng)且僅當(dāng)b=c＜0時(shí)，a取得最大值，這需要應(yīng)試者具有較好的邏輯思維能力，正是應(yīng)用邏輯分析思想，使得原本的三變?cè)獑?wèn)題化歸到二元方程求解，求解思維巧妙而深刻.

從試題的結(jié)構(gòu)、背景、解法等方面進(jìn)行探索，我們可以在高觀點(diǎn)下更透徹地理解高考數(shù)學(xué)試題的命題意圖，從一道題可以看到一類(lèi)題；通過(guò)對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的多角度的分析，可以溝通方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何、邏輯等知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題的規(guī)律，探求出解決它們的常用方法，從而形成解題模式，進(jìn)而可達(dá)到快速“模式識(shí)別”.反思本題的多種解法，其思維是充分發(fā)散的，但問(wèn)題的本質(zhì)和結(jié)果卻高度聚焦，折射出試題的豐富內(nèi)涵和數(shù)學(xué)本質(zhì)！多種解法，揭示的仍是通性通法，以及其思維產(chǎn)生、發(fā)展和深化的過(guò)程，能歸納解題的方法、技巧、規(guī)律，從中領(lǐng)悟基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想、基本方法的應(yīng)用.

G.波利亞說(shuō)得好：沒(méi)有任何一道題是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做，在充分進(jìn)行研究和洞察后，我們可以將解題方法不斷加以改進(jìn)，深化對(duì)答案的理解和感受，期待涌現(xiàn)出更多、更優(yōu)、更美的解法.