幾何模型
——解題教學(xué)研究的新途徑

☉浙江省嘉善高級(jí)中學(xué) 楊月榮

☉浙江省嘉興市第一中學(xué)沈新權(quán)

幾何模型
——解題教學(xué)研究的新途徑

☉浙江省嘉善高級(jí)中學(xué) 楊月榮

☉浙江省嘉興市第一中學(xué)沈新權(quán)

一、引言

隨著新一輪深化普通高中課程改革的推行，學(xué)校將課程學(xué)習(xí)選擇權(quán)交給了學(xué)生，把課程開發(fā)權(quán)交給了教師，其最大的特點(diǎn)就是“選擇”二字．而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和思考往往比掌握知識(shí)本身更重要．因此，本次課改不僅打開了高中辦學(xué)特色的新局面，也賦予了我們一線教師的新思考．

1.解題教學(xué)中“學(xué)”的缺失

現(xiàn)今的數(shù)學(xué)解題教學(xué)主要是以高考為指揮棒，把“高考考什么”作為開展課堂教學(xué)的依據(jù)，在課堂中進(jìn)行著“類型+解法”的整理，而對(duì)學(xué)生的“想學(xué)什么”、“怎樣去學(xué)”等問題卻顧及甚少．這是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“學(xué)”的缺失，這種“學(xué)”不僅僅指學(xué)的內(nèi)容，更重要的是學(xué)的方式．

2.解題教學(xué)中“題”的漠視

弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》“致讀者”中呼吁：“應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)這樣一種對(duì)待習(xí)題的態(tài)度，即：把習(xí)題看做是精密研究的對(duì)象，而把解答習(xí)題看做是設(shè)計(jì)和發(fā)明的目標(biāo)．”同時(shí)指出學(xué)生解題“不開竅”的一個(gè)基本原因是“獲得答案”之后沒有繼續(xù)暴露數(shù)學(xué)解題的思維過程．可見，數(shù)學(xué)解題教學(xué)中“解”過于“題”，把解出答案作為解題教學(xué)的目標(biāo)，而對(duì)題目本身所包含的教育功能卻視而不見．

二、幾何模型下的解題教學(xué)

高中數(shù)學(xué)中有著豐富的幾何模型，如斜率、距離、圓錐曲線、空間幾何體等．無論是直線還是曲線，是平面圖形還是空間幾何體，每一幾何模型都隱含著動(dòng)態(tài)的變化規(guī)律或靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系．而在幾何模型下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)是將題設(shè)中的關(guān)系設(shè)想在某個(gè)幾何模型中，通過幾何模型來呈現(xiàn)問題的幾何背景或幾何意義，將抽象關(guān)系具體化，靜態(tài)關(guān)系動(dòng)態(tài)化，為學(xué)生提供便于觀察或探究動(dòng)態(tài)變化規(guī)律的問題背景，從而直觀地找到解決問題的突破口．

正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非．”幾何模型下的解題教學(xué)不只是通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，來達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的，更是為了優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提升學(xué)生的探究能力，讓學(xué)生以最飽滿的參與熱情獲取最深刻的理解．

1.在幾何模型下優(yōu)化求解過程

解題化簡論認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的過程就是在合乎邏輯的前提下，連續(xù)地把原題轉(zhuǎn)化為一個(gè)能用基礎(chǔ)知識(shí)解決的問題．可見問題的轉(zhuǎn)化是學(xué)生理解和解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，因此，我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)解題研究時(shí)要力爭尋求最佳的轉(zhuǎn)化方向，讓學(xué)生在轉(zhuǎn)化的過程中選擇最佳的解題方案．

例1如圖1，將一個(gè)水平放置的正方形ABCD繞直線AB向上旋轉(zhuǎn)45°得到正方形ABC1D1，再將所得的正方形ABC1D1繞直線BC1向上旋轉(zhuǎn)45°到正方形A2BC1D2，則平面A2BC1D2與平面ABCD所成二面角的正弦值等于________．

該題的呈現(xiàn)方式簡潔、立意新穎，其中的“水平放置的正方形”嚴(yán)重束縛了學(xué)生的思維與想象，使得學(xué)生無從下手．其難點(diǎn)有三：其一是已知條件的運(yùn)用；其二是二面角棱的確定；其三是二面角的求解．于是，筆者將圖1設(shè)想在如圖2所示的幾何體中，將正方形ABC1D1所在的平面水平放置，構(gòu)建了上下兩個(gè)棱長相等的正方體，讓學(xué)生在幾何模型下探究思考．

學(xué)生1：延長DA與D2A2，令DA∩D2A2=K，連接BK，則直線BK為平面A2BC1D2與平面ABCD所成二面角的棱，故可由垂面法求得平面A2BC1D2與平面ABCD所成二面角的正弦值．

圖1

圖2

圖3

在幾何模型的啟發(fā)下，學(xué)生打破了習(xí)慣性思維的束縛，將已知條件轉(zhuǎn)化為長方體中的兩個(gè)平面的二面角問題，突破了“已知條件的運(yùn)用”和“二面角棱的確定”兩大難點(diǎn)；在幾何模型的啟發(fā)下，讓學(xué)生的想象與思考保持了延續(xù)性并綻放了創(chuàng)造性思維的火花，將二面角轉(zhuǎn)化為兩條異面直線所成的角，破解了“二面角的求解”的運(yùn)算難點(diǎn)，既簡化了求解運(yùn)算，又優(yōu)化了求解過程.

2.在幾何模型下拓展解題視角

浙江省中學(xué)特級(jí)教師黃宗巧老師曾說：“通法是雪中送炭，柳暗花明；巧法是出奇制勝，錦上添花；巧法是更高層次的通法！通性通法固然是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的主旋律，倘若在通性通法的基礎(chǔ)上變換問題思考角度，勢(shì)必會(huì)拓展學(xué)生的解題視角、開闊學(xué)生的解題視野、優(yōu)化學(xué)生的解題思維，讓學(xué)生解決問題的方法更具‘選擇性’.”

即t2-10t+16≤0，故2≤x+y≤8，所以M+m=10.

盡管像這樣典型的二元條件最值問題的求解方法還有很多，但遺憾的是這些解法中常常疏忽了對(duì)問題的整體化認(rèn)識(shí)，缺乏了對(duì)問題的動(dòng)態(tài)化解決.于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)該題中將“方程”轉(zhuǎn)化為“不等式”的關(guān)鍵是即問題可從整體入手將其轉(zhuǎn)化為“A+B=10，A·B≥16”型問題，從而進(jìn)一步得到如下解法.

圖4

圖5

視角7：（構(gòu)建模型）如圖5所示，構(gòu)建橢圓幾何模型，將μ，v看作是橢上一點(diǎn)M到兩個(gè)焦點(diǎn)F1（-c，0）、F2（c，0）的距離，故當(dāng)點(diǎn)M在頂點(diǎn)A或B處時(shí)有2a=10，（a+c）（a-c）=16，則有橢圓C的方程為，從而可直觀地判斷出2≤ μ≤8，故M+m=10.

這樣的幾何模型，突出了數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，豐富了數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，拓展了數(shù)學(xué)的解題視角；這樣的幾何模型，讓數(shù)學(xué)課堂中既有“形”的分析又有“數(shù)”的論證；這樣的幾何模型，讓數(shù)學(xué)解題既有“數(shù)”與“形”的有效轉(zhuǎn)換，又有“代數(shù)”與“幾何”的相互滲透.我們的數(shù)學(xué)解題教學(xué)需要這樣的新途徑，只有這樣才能讓“一花獨(dú)放不是春”的局面綻放為“百花爭艷春滿園”的場景．

3.在幾何模型下挖掘問題本質(zhì)

木有本，水有源，題有根．在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，探究命題立意、追溯問題根源是不可忽缺的環(huán)節(jié)之一．在探究命題立意、追溯問題根源的過程中尋找問題之間的聯(lián)系，加深對(duì)問題本質(zhì)的理解，提升研究問題的高度，發(fā)揮數(shù)學(xué)試題的育人功能，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變．

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0）.設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）滿足|PA|=λ|PB|（λ＞0，且λ≠1）．對(duì)λ的兩個(gè)不同取值λ1，λ2，記對(duì)應(yīng)的曲線為C1，C2．若λ2＞λ1＞1，判斷兩曲線的位置關(guān)系，并說明理由．

該題設(shè)計(jì)新穎，不落俗套，是一曲新詞，一杯清酒．那么，如何讓學(xué)生聽出曲中意，品出酒中味呢？筆者在學(xué)生解答的基礎(chǔ)上層層遞進(jìn)地提出了兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生探究問題的根源．

圖6

問題2：雖然圓的半徑在減小，但是圓心的位置也在變化，為何就一定有曲線C2內(nèi)含于曲線C1呢？能否從幾何的角度加以解釋呢？

圖7

兩次提問，兩個(gè)幾何模型，將問題的研究從感性判斷引向了理性分析，既探求了問題的命題立意，又呈現(xiàn)了問題的幾何本質(zhì)．這樣的解題過程不只是解決了問題，更多的是為了優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)怎樣研究試題．

4.在幾何模型下激活學(xué)生思維

英國哲學(xué)家羅素說過：“凡是你教的東西，要教得徹底．”在我們的數(shù)學(xué)課堂中，從不缺少令人拍案叫絕的精彩呈現(xiàn)，也不稀罕另辟蹊徑的解題技巧，但關(guān)鍵的是要有學(xué)生能解的思路分析，要有學(xué)生欣然理解的思維呈現(xiàn)，要有能激活學(xué)生思維的解題體驗(yàn)．

例4已知函數(shù)（fx）=ln（x+1），g（x）=ex-1．對(duì)于任意的x2＞x1＞0，試比較（fx2）-（fx1）與g（x2-x1）的大小，并說明理由．

該題中的“（fx2）-（fx1）=ln（x2+1）-ln（x1+1），g（x2-x1）=1”．面對(duì)題中所涉及的兩個(gè)變量，教師通常會(huì)給出以下解法.

解法1：令G（x）=g（x）-（fx）=ex-1-ln（x+1），由G′（x）=來判斷函數(shù)G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而有g(shù)（x2-x1）＞f（x2-x1），即ex2-x1-1＞ln（x2-x1+1）＞ln（x2+1）-ln（x1+1）.

解法2：令h（x2）=ex2-x1-ln（x2+1）+ln（x1+1）-1（x1為參數(shù)，定義域?yàn)椋▁1，+∞）），通過h（x2）在（x1，+∞）上單調(diào)遞增，得到h（x2）＞h（x1）=0，從而有g(shù)（x2-x1）＞f（x2）-f（x1）．

解題方法固然很好，但是解法1中較難“判斷G′（x）的正負(fù)”與“判斷l(xiāng)n（x2-x1+1）＞ln（x2+1）-ln（x1+1）”，解法2中的“構(gòu)建函數(shù)h（x2）”對(duì)學(xué)生來說都是“莫名其妙”的．同時(shí)，該題的本質(zhì)是什么？讓學(xué)生學(xué)到了什么？結(jié)果也是不言而喻的．為了“要教得徹底”，珍惜一次在“曲折”中構(gòu)思解題方案的機(jī)會(huì)，筆者將問題的解決回到了已知函數(shù)f（x）= ln（x+1）和g（x）=ex-1的圖像上．通過構(gòu)建如圖8所示的直線斜率模型，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，x＞0時(shí)，有kAB＜得解題思路：其一證明k（x）=x-ln（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；其二證明不等式ex＞x+1在（0，+∞）上恒成立．

圖8

在幾何模型下探究發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，就像給予了學(xué)生一把開啟思維之門的金鑰匙，讓學(xué)生在“有圖有真相”的問題分析中，一切思維都是水到渠成的．正是因?yàn)樵趲缀文Ｐ偷闹敢拢瑢W(xué)生備受啟發(fā)．

學(xué)生6：當(dāng)x＞y＞0時(shí)，證明：ex-ey＞ln（x-y）．

從學(xué)生提出的解法可見學(xué)生明白了設(shè)問的立意所在，并在幾何模型的引導(dǎo)下思維得到了啟發(fā)，不僅提出了更好的解法，更能發(fā)現(xiàn)提出有價(jià)值的新問題．

三、結(jié)束語

幾何模型下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)是基于對(duì)優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)方式和拓寬問題解決途徑的思考而需要重新認(rèn)識(shí)的解題教學(xué)模式，是培養(yǎng)學(xué)生簡化問題、多角度審視問題、挖掘問題本質(zhì)及探究發(fā)現(xiàn)新問題等能力的無二選擇．它是一種理解題意的視角，也是一種優(yōu)化解題的方法，更是一種發(fā)現(xiàn)新問題的途徑，抑或是一本學(xué)生喜愛的選修課程．這樣的解題教學(xué)一方面符合了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，通過解題過程中“數(shù)”與“形”的關(guān)系，將數(shù)學(xué)三角、函數(shù)與幾何等內(nèi)容滲透在一起；另一方面也尊重了數(shù)學(xué)問題的本身，讓抽象的問題具體化，靜態(tài)的問題動(dòng)態(tài)化，更好地凸顯了問題的內(nèi)在聯(lián)系、揭示了問題的本質(zhì)特征；更重要的是滿足了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，隱性地激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，優(yōu)化了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式．

1.張豐.課程改革聚焦轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式［N］.浙江教育報(bào)，2013-04-17（3）.

2.曹寶龍.課程改革的核心任務(wù)：課程變革［N］.浙江教育報(bào)，2013-03-06（3）.

3.沈新權(quán)，顧乙.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)推廣意識(shí)的策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（6）.FH