“二用”一道課本例題的心路歷程

☉浙江省紹興市高級中學(xué) 阮偉強

“二用”一道課本例題的心路歷程

☉浙江省紹興市高級中學(xué) 阮偉強

一、問題的提出

古希臘哲學(xué)家赫拉克里特曾說過：“人不可能兩次踏進(jìn)同一條河流.”借用此名言，我們是否可以這樣說：“一個數(shù)學(xué)教師不可能兩次用相同的方式教同一個例題，因為學(xué)生在變，教師的教學(xué)理念在變.”就此，筆者在“二用”一道課本例題時，有著深刻的體會與感受，期間，更由于章建躍教授的“意外”參與，收獲了“別樣”的精彩.故將“二用”一道課本例題的心路歷程記載下來，和大家分享.因行文所需，先將課本例題及第（1）問的解答摘錄如下.

題目（人教A版《選修2-1》第109頁例4）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.

（1）求證：PA∥平面EDB；

（2）求證：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小.

解析：如圖2所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點D為坐標(biāo)原點，設(shè)DC=1.

圖1

圖2

（1）連接AC，AC交BD于點G，連接EG.依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），因為底面ABCD是正方形，所以點G是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為，即PA∥EG.而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，因此PA∥平面EDB.

二、“一用”

“一用”的時間是2009年的11月，對象是使用人教A版教材的第一屆學(xué)生（高二年級）.參考《選修2-1教師教學(xué)用書》的建議，采用一個課時來完成例題的教學(xué).

1.課堂簡錄

當(dāng)筆者按課本證法講解第（1）問時，學(xué)生中發(fā)出了一陣嬉笑聲，追問何故？竟異口同聲說：“多此一舉！”理由是：既然在平面EDB內(nèi)作出了直線EG，且在△PAC中，由中位線性質(zhì)易得PA∥EG，直接可推證出線面平行.這里，光用向量的坐標(biāo)運算證線線（PA與EG）平行，體現(xiàn)不出坐標(biāo)法證線面平行的優(yōu)勢和魅力.面對學(xué)生的質(zhì)疑，筆者心中一陣竊喜，在充分肯定學(xué)生想法的同時，要求學(xué)生說說自己的證法.馬上，有學(xué)生給出了下列“向量味”十足的兩個證法：一是證P→A與平面EDB的法向量垂直；二是證P→A與平面EDB共面.

證法1：設(shè)平面EDB的一個法向量為n=（x，y，z），由z=0，x+y=0.令z=1得y=-1，x= 1，故n=（1，-1，1）.因為PA?平面EDB，因此PA∥平面EDB.

接下來，當(dāng)完成第（2）、（3）問的解答后，學(xué)生也提出了一個想法：從兩問的解答來看，第（2）問的設(shè)置是為第（3）問服務(wù)的，呈現(xiàn)出了所求二面角的一個平面角，這樣，求二面角的大小就直接轉(zhuǎn)化為求的夾角.事實上，沒有第（2）問的鋪墊，也就是不作出二面角的平面角，可利用法向量直接求二面角的大小.

解析：設(shè)平面PBC的一個法向量為n1=（x，y，z），由n1·可得x=0，-y+z=0.令z=1得y=1，則n1=（0，1，1）.同理可得平面PDB的一個法向量為n2=（-1，1，0）.因為cos＜n1，所以二面角C-PB-D的大小為60°.同時，有學(xué)生看出了直線AC、DE分別是平面PDB、PBC的垂線，從而問題可化歸為求的夾角.

2.課后反思

面對學(xué)生對例題第（1）問解法的質(zhì)疑和解法的再探究，筆者覺得有必要對教材關(guān)于例題解法及問題的設(shè)置提出下列修改建議：

①第（1）問適宜直接呈現(xiàn)上述證法1，為學(xué)生提供利用向量，特別是借助平面的法向量，證諸如線面平行、面面平行（包括垂直）的范例，以彌補教材（第104頁）雖給出了用法向量判定線面位置關(guān)系的結(jié)論，而無相應(yīng)配套例題的缺陷，從而確保教材的可讀性和工具的示范作用.同時，適宜用旁白的形式給出思考題：你還有其他用向量證線面平行的方法嗎？你能用綜合法證明嗎？

②當(dāng)完成第（3）問的解答后，適宜用旁白形式給出思考題：如果不作出二面角的平面角，你能用向量的方法求二面角的大小嗎？試說明用向量法求空間角大小的最大優(yōu)勢在哪里？

基于這樣的修改后，學(xué)生也許能較清晰地回答課本第110頁提出的思考題：解決立體幾何中的問題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法.你能說出它們各自的特點嗎？也更符合課標(biāo)的要求：能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量法在研究幾何問題中的作用.

3.專家回應(yīng)

在2010年的2月，筆者利用寒假，將上述課堂簡錄及反思整理成文，以《一道課本例題解法的質(zhì)疑與探究》為題，投寄給《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（高中）雜志社.不久，文章在當(dāng)年的第6期上發(fā)表.感到特別欣慰的是，雜志主編章建躍教授還就文中的“反思”，專門撰寫了《必須關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的變革》一文（編后漫筆）.該文中指出：“人教A版給出的解法并不是地道的向量法，有‘為向量而向量’的嫌疑.難怪學(xué)生會有‘多此一舉’的質(zhì)疑.阮老師的教學(xué)處理有機智，在學(xué)生有質(zhì)疑時，讓他們自己給出‘向量味’十足的證法.只是，在他的教材修改建議中，又提議用旁白等形式提醒學(xué)生用綜合法證明.這種表現(xiàn)很有代表性.事實上，很多老師由于對立體幾何課程改革的敏感性不夠，導(dǎo)致對向量法態(tài)度上的舉棋不定，有的甚至認(rèn)為中學(xué)應(yīng)取消向量法.當(dāng)然，這種狀況‘教材和教參的編寫者要負(fù)相當(dāng)大的責(zé)任’.”并進(jìn)而指出：“立體幾何課程改革中，應(yīng)強調(diào)解析方法……從幾何學(xué)的發(fā)展角度看，研究方法的進(jìn)步是標(biāo)志……另外，高中以學(xué)習(xí)向量幾何為主已是世界潮流……”最后，指出：“綜上，高中幾何應(yīng)以向量幾何為主，綜合法應(yīng)在初中平面幾何中得到更好的訓(xùn)練.目前的問題是大家對向量法的優(yōu)美和力量注意不夠，需要我們加強研究，改變習(xí)慣思維和做法，使向量幾何真正融入高中數(shù)學(xué)，成為主角.”

三、“二用”

讀罷章教授的“編后漫筆”，筆者有醍醐灌頂之感.為此，在2012年11月，當(dāng)面對施用人教A版教材的第二屆學(xué)生時，就課本例題的教學(xué)做了全新的設(shè)計.總體思路是：分兩個課時來完成例題的教學(xué)，第一課時側(cè)重于原問題的探究與適度的改變、拓展；第二課時突出例題的變式探究（基于圖形的變化）.而所有問題的解決，則立足坐標(biāo)法，結(jié)合向量運算來完成.

1.第一課時的設(shè)計

首先，將例題的題干“剪輯”為：如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點.

然后，設(shè)置下列4個問題：

（1）求證：PA∥平面EDB；

（2）求證：PB⊥DE；

（3）求直線PB與平面EDB所成角的余弦值；

（4）求二面角C-PB-D的大小.

意圖：通過圖形的“簡化”，設(shè)置更利于用向量法來解決的空間問題，從而讓學(xué)生充分感受向量法的優(yōu)美與力量.

教學(xué)流程（簡述）：第（1）問采用“一用”中的兩個證法.第（2）問除了利用坐標(biāo)法來證明P→B·D→E=0外，有學(xué)生提出：不建坐標(biāo)系，直接利用向量運算來證也十分簡潔.

圖3

解法2：如圖4，分別過C、D作CF、DG垂直PB于F、G.設(shè)點F的坐標(biāo)為（x，y，z），由得（x，y，z-1）= λ（1，1，-1），即x=λ，y=λ，z=1-λ.

圖4

完成上述兩個解法后，教師要求比較各自的特點，學(xué)生認(rèn)為：解法1較之解法2運算更簡潔些，但解法2中兩向量的夾角必為二面角的大小，而解法1有一個缺憾，就是兩法向量的夾角與二面角的大小是相等或互補的關(guān)系，需做進(jìn)一步的判斷，才能得到正確的答案.接著，教師問學(xué)生：當(dāng)較難作出空間所成角時，用坐標(biāo)法再結(jié)合向量運算來解決，怎么樣？學(xué)生回答：威力無窮?。ń滩牡呐宰ⅲ?/p>

最后，筆者向?qū)W生布置了一個“開放性”的課外作業(yè)：要求從例題出發(fā)，提出至少4個有關(guān)空間位置關(guān)系判斷，或求空間角大小的問題，并給出相應(yīng)的證明過程及答案.

2.第二課時的設(shè)計

從例題出發(fā)展開“變式”教學(xué)，充分發(fā)揮例題潛在的價值與功能.限于篇幅，下面只給出變式問題，具體的解答過程不再給出.

變式1：如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=a（a＞0）.

（1）求直線PA與平面PBC的夾角的取值范圍；

（2）當(dāng)a為何值時，二面角A-PB-C的大小為120°；（3）設(shè)二面角C-PA-D的大小為θ，直線BP與平面ABCD所成的角為φ，若cosθ=sinφ，求a的值.

意圖：通過側(cè)棱PD的長可變，讓學(xué)生體會坐標(biāo)法處理動態(tài)幾何問題的優(yōu)勢，掌握含“參數(shù)”的向量運算下，解決空間問題的規(guī)律和注意點.

圖5

變式2：如圖6，在四棱錐PABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的菱形，且∠ADC=60°.

（1）求證：AC⊥平面PBD；

（2）若PD=DA，求PA與BD所成角的余弦值；

（3）當(dāng)平面PAB與平面PCB垂直時，求PD的長.

意圖：將底面正方形變?yōu)榱庑危荚谠黾咏ㄏ档碾y度，讓學(xué)生積累靈活建系的經(jīng)驗與對策，提高不規(guī)則坐標(biāo)系下，處理幾何問題的能力.

變式3：如圖7，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD菱形，BD= 2，PD=2，E是PB上的一點，PE=2EB.

圖6

（1）求證：PB⊥平面ACE；

圖7

（2）設(shè)二面角D-PA-B為直角，求PC與平面PAB所成角的大小.

意圖：通過底面菱形的一條對角線AC長可變，進(jìn)一步強化靈活建系的能力，提高處理動態(tài)幾何問題的能力，尤其是含“參數(shù)”的運算能力.

課外作業(yè)：從變式2、3出發(fā)，提出值得研究的問題，并給出答案.

四、結(jié)束語

“二用”一個課本例題，筆者認(rèn)識到：從學(xué)生的學(xué)習(xí)需求出發(fā)，加上專家的引領(lǐng)，才能更好地去理解教材，并較好地把握“用教材教”的“度”.總之，鉆研教材，就是要先“入”教材，再“出”教材.沒有對教材的“深入”，也就沒有對教材的“淺出”，更沒有對教材的“超越”.因此，我們有理由相信：隨著自我學(xué)習(xí)與研究的不斷深入，對課改理念的理解與領(lǐng)悟會更加到位、精確與清晰，屆時，“三用”例題時，定會呈現(xiàn)出又一番亮麗的景色！

1.章建躍.必須關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的變革［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2010（6）.

2.阮偉強.一道課本例題解法的質(zhì)疑與探究［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2010（6）.

3.高敏，王安成.試論數(shù)學(xué)教師的創(chuàng)造力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（5）.

4.林生，邱美艷.善為道者微妙玄通——以《數(shù)學(xué)歸納法》為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（1）.FH