提煉教學主線，讓數(shù)學學習從無痕走向有痕*

☉江蘇省南通市教育科學研究中心 曾榮

提煉教學主線，讓數(shù)學學習從無痕走向有痕*

☉江蘇省南通市教育科學研究中心 曾榮

“數(shù)學是思維的體操”，學生思維能力的形成、提升，以及數(shù)學認知結構的建構過程往往是潛移默化的，是無痕的.然而，正是這種“無痕”，使學生對學習數(shù)學產(chǎn)生了畏懼心理.對于思維能力正在不斷提升的中學生來說，教師在教學時，若能將體現(xiàn)思維過程的思維鏈“有痕”地展示給學生，無疑會對學生思維能力的提高起到很大的幫助作用［1］.而要實現(xiàn)這種從無痕到有痕的轉變，教師最有效的方式便是善于提煉教學主線，圍繞主線進行教學.本文結合不同課型，重點介紹課堂教學中如何進行教學主線的提煉.

一、新授課中提煉主線，讓新知自然生成

學生數(shù)學能力的提升主要表現(xiàn)為以下三方面：掌握基本的知識技能、形成科學的思想方法、培養(yǎng)探究創(chuàng)新的意識和能力.其中知識技能是從事一切數(shù)學活動的源頭活水，學生的知識技能主要是在新授課中開始形成的.在新授課中，教師要善于結合知識的自然生成過程、探究方法的類比遷移提煉主線，引導學生獲取新知.

1.以知識的自然生成過程為主線

“數(shù)學認知結構是存在于學生頭腦里的數(shù)學知識結構與認識結構有機結合而成的心理結構”［2］.學生頭腦里的數(shù)學知識結構是課程教材里的數(shù)學知識結構和老師的數(shù)學知識結構在學生頭腦里的反映.而教師良好的數(shù)學知識結構的呈現(xiàn)則表現(xiàn)為：教師善于整合教材，根據(jù)知識的自然生成過程提煉課堂教學主線，并圍繞主線精心設計教學的各個環(huán)節(jié)，幫助學生整體建構，不斷提升學生的思維能力.以“向量的概念及表示”［3］為例進行說明.

“向量的概念及表示”是一節(jié)概念講解課，涉及的基本概念有向量、單位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量、共線向量等.這些概念看似零碎，但這些概念都扣緊了大小和方向兩個關鍵詞.教材編寫者在編寫時充分考慮到學生的認知規(guī)律和知識間存在的嚴格的邏輯順序.在認知規(guī)律方面，整體按“建構模型—研究模型—應用模型”順序，局部按“概念—表示法—概念間的關系”順序編排；在知識編排方面，緊扣向量的兩要素，從大小和方向兩個角度進行研究.從大小角度出發(fā)，如向量的模是一個單位，則得出單位向量的概念；如向量的模是零，則得出零向量的概念.從方向角度出發(fā)，如兩向量方向相同或相反，則得出平行向量的概念；若平行向量的模相等，則得出相等向量、相反向量的概念.理解了教材編寫者的意圖，我們確定了如下的教學主線（也是教師最后完整地呈現(xiàn)給學生的板書設計）.

圖1

2.以探究方法的類比遷移為主線

新課程強調“自主、合作、探究”，數(shù)學新知的獲取正是在探究活動中逐漸生成、廓清和發(fā)展的.教師在組織學生進行探究的過程中，應重視類比、歸納、綜合、概括、猜測、預見等探究方法的滲透.教師從學生實際的探究意識和探究能力出發(fā)，以探究方法的類比遷移為主線，將有利于學生探究能力的培養(yǎng).以“拋物線的標準方程”為例進行說明.

學生在學習拋物線的標準方程前，已有了學習橢圓、雙曲線的標準方程及其性質的經(jīng)驗.這種經(jīng)驗，不應該僅僅體現(xiàn)在知識層面的類比，更應該體現(xiàn)在探究方法層面的遷移.教師要善于類比遷移原有的探究方法，并用它引領學生學習拋物線的標準方程.這樣做，不僅有利于拋物線的學習，更有利于讓學生進一步感受解析幾何的研究方法，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想.具體的操作流程是這樣的：整體回顧橢圓的研究思路（圖2）—類比確定拋物線的研究思路（圖3）—幾何畫板演示拋物線的生成——建構拋物線的定義—建系推導標準方程—簡單運用標準方程.

圖2

圖3

二、習題課中緊扣主線，讓思維有效提升

習題課教學中，教師精致的教學設計、合理的變式流程、清晰的方法比較、精當?shù)目偨Y提升，將有效地提高學生的數(shù)學解題能力和思維能力.為此，在新授課中，教師要善于將變式的生成過程、方法的比較提煉作為教學主線，組織學生開展對習題的研究.

1.以變式的生成過程為主線

習題課教學中經(jīng)常需要對問題進行變式，變式教學是數(shù)學教學中常用的一種手段.合理地進行變式教學，不但可以鞏固雙基，還可以提高學生的數(shù)學思維能力.通過不斷地把題目的條件和結論適當改變得出新題目，可使學生時時處在一種愉快的探索知識的狀態(tài)中，從而充分調動學生的積極性，啟發(fā)學生的思維，提高學生的解題能力和探索能力.教師的這種變式訓練，應重視思維層次的不斷提升，演變要體現(xiàn)出思維變化的過程.筆者在執(zhí)教“由數(shù)列遞推關系求通項公式”［4］時，對問題變式設計了如下教學主線：在數(shù)列｛an｝中，已知a1=2，試結合下列遞推關系求通項公式.

圖4

通過這一教學主線，將變式演變的思維過程層層深入地展示在學生面前，同時自然地將各種題型概括給學生，學生在豐富的變化中掌握了方法，訓練了思維，提高了能力.

2.以方法的比較提煉為主線

解題教學時，常常需要進行一題多解訓練.這種一題多解教學，不能簡單地停留在方法的堆積層面，要善于進行方法的比較.通過比較，理解每種方法的出發(fā)點，發(fā)現(xiàn)各種方法的優(yōu)劣、方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而達到一題多解、多解歸一的目的.筆者在執(zhí)教“數(shù)形結合法在直線與圓位置關系中的運用”時，以方法的比較提煉作為教學主線，取得了較好的效果.

例題已知直線l：x-y+m=0和圓x2+y2=1，求實數(shù)m的取值范圍，使得直線和圓分別有兩個、一個、零個交點.

對于以上例題，筆者在教學時讓學生分別從形和數(shù)兩個角度進行求解，并在學生交流總結的基礎上，引導學生用如下的流程圖（圖5、6）進行提煉.通過兩種方法的比較，讓學生體驗數(shù)與形的關系，感悟數(shù)形結合思想的重要性.在比較提煉的基礎上，再將數(shù)與形的關系用圖7表示出來.有了這樣的理性思考，后續(xù)的研究也就水到渠成了.

圖5

圖6

圖7

三、復習課中狠抓主線，讓知識有效建構

定期有效的復習，對于幫助學生建構知識網(wǎng)絡、提升思維品質，有著極其重要的作用.在復習課中，教師要善于將知識建構的螺旋上升、理性思維的升華發(fā)展作為教學主線，組織學生復習、梳理.

1.以知識建構的螺旋上升為主線

數(shù)學知識具有極強的系統(tǒng)性，講究思維的連貫性和延續(xù)性.現(xiàn)行各種版本的數(shù)學教材都非常注重知識的演繹過程.為此，編者在編寫教材時，通常按照一定的主線層層推進，或注意知識的銜接，前后呼應，螺旋上升.筆者在執(zhí)教高三復習課“平面向量及空間向量”［1］時，根據(jù)知識建構的螺旋上升線索設計了如下主線.

圖8

2.以理性思維的升華發(fā)展為主線

通過復習課，教師要幫助學生達到融會貫通的目的.而這種融會貫通，除了解題能力得到提高以外，更重要的是學生對數(shù)學本質的認識能力不斷增強.所以教師要善于以理性思維的升華發(fā)展為主線組織教學.在進行“函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應用”的教學時.為了讓學生明白該課題的研究背景，筆者設計了如下問題.

問題1：試研究三角函數(shù)與一般函數(shù)的關系.

（2）個性：___________________________________.

為了讓學生更感性地認識三角函數(shù)與一般函數(shù)的關系，筆者設計了如下問題.

問題2：利用函數(shù)的觀點認識誘導公式.

以上兩個問題使學生從理性層面充分認識到三角函數(shù)與一般函數(shù)的關系，使“函數(shù)與方程思想在三角函數(shù)中的應用”成為可能.接下來再研究具體的數(shù)學問題便順理成章了.

四、試卷講評課中明晰主線，讓評講有序開展

試卷講評課由于受試卷類型、學生答題情況、試卷難易程度等多種因素限制，所以講解的方式往往較多樣，下面介紹三種常用方式.

1.以知識點的分類為主線

如果試卷是單元測試類試卷，知識點較集中、聯(lián)系較密切，那么教師在講解時可以所考查的知識點的分類為主線進行講評.教師可以將單元所學內(nèi)容根據(jù)知識體系進行分類，以表格的形式進行展示，然后將試卷中的試題對號入座，對于同一類題可以選擇具有代表性的進行講解，對于具有一定綜合性的題可以放在最后講解，達到融會貫通的目的.

2.以學生的錯誤分類為主線

如果學生答題情況比較理想，錯誤率不高，教師可以對學生的錯誤進行分類，選擇具有代表性的錯誤進行講解.當然，這種以學生的錯誤為主線的講解方式不能停留在錯誤本身，要對問題進行挖掘、變式，使學生明白錯誤原因，徹底糾正錯誤.

3.以數(shù)學思維提升為主線

試卷中的試題難易程度不同，學生答題情況也各不相同，為了幫助學生通過試卷講評達到優(yōu)化解題思路、規(guī)范解題過程、突破重點和難點的目的，我們可以數(shù)學思維提升為主線組織教學.具體可以分為以下三步.

（1）會而要優(yōu)，提高效率.試卷中正確率較高的題并非完全沒有講解的價值，對于這些題重在講解最優(yōu)化的解題方法，幫助學生提高效率.

（2）會而要全，嚴密規(guī)范.對于那些學生思路較清晰的題，除了要幫助學生找到最優(yōu)化的解法，還要注意展示嚴密、規(guī)范的解題過程，幫助學生完整周全地進行解答.

（3）善于挖掘，巧找切口.試卷講解的重點當然是那些學生思維受阻的題，對于這類題，不能簡單地展示解題過程，關鍵在于幫助學生尋找癥結所在，找到解決問題的切口.

“教學過程是一個系統(tǒng)，要求在整體感知教材，理解教材的過程中，盡快找到解決某一類問題的方法和規(guī)律，做到舉一反三，提高學習效率”［5］.緊扣主線進行教學，有利于學生整體建構，提高教學質量.

1.曾榮.展示“有痕”的思維鏈——例談數(shù)學教學的板書設計［J］.中學數(shù)學月刊，2009（1）.

2.涂榮豹.數(shù)學教學認識論［M］.南京：南京師范大學出版社，2003.

3.曾榮.深挖教材提煉主線精心設計不斷提升——《向量的概念及表示》教學設計評析［J］.考試·數(shù)學版，2010（3-4）.

4.曾榮.回歸高三數(shù)學復習的基點——以“由數(shù)列的遞推關系求通項公式”為例［J］.中國數(shù)學教育，2011（9）.

5.王敏勤.整體建構是和諧教學的基本原則［J］.中國教育報，2005（6）.

Y

*本文是江蘇省“十二五”教育科學規(guī)劃課題《高中數(shù)學“閱讀·引導·提煉·探究”教學范式的實踐研究》（C-c/2013/02/028）的成果之一.