“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”
——2014年高考福建卷數(shù)學(xué)壓軸題另解與思考

☉福建省福州華僑中學(xué) 李文明

“技巧”舞出的是“玄妙”“通俗”演繹的是“精彩”
——2014年高考福建卷數(shù)學(xué)壓軸題另解與思考

☉福建省福州華僑中學(xué) 李文明

數(shù)學(xué)解題彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)解題的根本所在，無技巧就是最好的技巧；解題方法追求渾然一體，而不是突發(fā)奇想，順勢而為，水到渠成.2014年福建高考數(shù)學(xué)壓軸題解法雖然多樣，但是每一種方法中都夾雜了解題者“超然”的“智慧”，令考生望塵莫及，望而生畏.到底有沒有解決問題的“通俗”方法呢？值得探究，值得挖掘.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）=ex-ax（a為常數(shù)）的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線的斜率為-1.

（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex；

（Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

二、命題目的

本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想.

三、官方解答

解法1：（Ⅰ）f′（x）=ex-a.

由f′（0）=1-a=-1，得a=2.

所以f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2.

令f′（x）=0，得x=ln2.

當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）取得極小值，且極小值為f（ln2）=2-ln4，無極大值.

（Ⅱ）令g（x）=ex-x2，則g′（x）=ex-2x.

由（Ⅰ）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，因此，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex.

（Ⅲ）①若c≥1，則ex≤cex.

由（Ⅱ）知：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex，則當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜cex.

取x0=0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，取x0=16k＞16，所以h（x）在（x0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

h（x0）=16k-2ln（16k）-lnk=8（k-ln2）+3（k-lnk）+5k.

易知k＞ln2，k＞lnk，5k＞0，所以h（x0）＞0，即存在x0=當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

綜上所述，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

解法2：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法1.

由（Ⅱ）知當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex，所以

當(dāng)x＞x0時(shí)，

因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

解法3：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法1.

由（Ⅱ）知：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex，從而h′（x）＜0，則h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，所以h（x）＜h（0）=-1＜0，即

當(dāng)x＞x0時(shí)，有

因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

四、剖析點(diǎn)評

1.點(diǎn)評

作為高考試題的壓軸題的第三問，毫無疑問是本卷最難的問題，具有極強(qiáng)的區(qū)分度和效度，最能體現(xiàn)高考的選拔功能，官方給出問題的三種解法，而且每一種解法都要借助于問題（Ⅱ）的結(jié)論，真的一定要如此進(jìn)行嗎？難道問題（Ⅱ）是必經(jīng)之路嗎？三種解法中，x0選取了三個不同的特殊值，它們之間有何關(guān)系？為什么要選取這樣三個不同的值？為什么這樣的特殊值就能夠達(dá)到證明目的？耐人尋味，發(fā)人深??！

2.剖析

要使不等式x2＜cex成立，只要2lnx＜lnc+x成立.設(shè)h（x）

當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）＞0.

所以h（x）min=h（2）=2-2ln2+lnc.

當(dāng)c≥1時(shí)，h（x）min=h（2）≥2-2ln2＞0，即當(dāng)x＞0時(shí)，恒有x2＜cex，于是命題（Ⅱ）得證.

因?yàn)閔（x）min=h（2）≥2-2ln2＞0，所以h（x0）＞0，因此，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0恒成立，即有x2＜cex.

五、創(chuàng)新再解

令y=c（c＞0，c是常數(shù)）.

當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得極小值g（0）=0；當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取得極大值因此g（x）的值域是［0，+∞），如圖1所示.

圖1

圖2

所以當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex，即問題（Ⅱ）得證.

圖3

兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、2（x1＜2）.

令x0≥2，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

圖4

三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1＜x2＜x0（x1＜0，0＜x2＜2，x0＞2）.

綜上所述，當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex；對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex.

六、感悟反思

（1）《2014年高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試福建考試說明》中明確指出了數(shù)學(xué)高考命題所要考查的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限思想、必然與或然思想這7個重要的數(shù)學(xué)思想方法，由此可見這道理科數(shù)學(xué)壓軸題所要承載的使命是沉重的，令人費(fèi)解的是本題考查了7種數(shù)學(xué)思想中的5種之多，沒有考查必然與或然數(shù)學(xué)思想在情理之中，但是函數(shù)問題不考查數(shù)形結(jié)合思想實(shí)屬罕見.數(shù)形結(jié)合思想不僅是非常重要的數(shù)學(xué)思想，更是解決函數(shù)問題的利器！函數(shù)的解析式與函數(shù)圖像是函數(shù)問題的兩個最重要的支撐，是“數(shù)”與“形”和諧統(tǒng)一的重要標(biāo)志，函數(shù)、方程、不等式三者關(guān)系中，函數(shù)是“根”，函數(shù)是“魂”，函數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界客觀事物不斷運(yùn)動變化規(guī)律的高度概括與抽象，而方程、不等式只是函數(shù)的兩種特殊狀態(tài)！我們解決問題不能舍本求末，更不要本末倒置.恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，起到了化繁為簡，化難為易的作用.數(shù)學(xué)解題最重要的是彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，因勢利導(dǎo)，順勢而為，不能虛張聲勢，更不能欲蓋彌彰，尤其是高考標(biāo)準(zhǔn)答案更應(yīng)有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

（2）《2014年高等學(xué)校全國統(tǒng)一考試福建考試說明》中明確闡述了高考試題的命題指導(dǎo)思想是：貫徹課程理念推進(jìn)素質(zhì)教育，立足基礎(chǔ)知識注重整體設(shè)計(jì)，淡化特殊技巧強(qiáng)調(diào)思想方法，彰顯能力立意突出問題解決，堅(jiān)持學(xué)以致用強(qiáng)化應(yīng)用意識，倡導(dǎo)開放探索關(guān)注創(chuàng)新意識，體現(xiàn)層次要求控制試卷難度這7個重要的指導(dǎo)思想，這7種思想是一個有機(jī)的整體，要真正貫徹落實(shí)到高考命題和“參考答案”制定的每一個環(huán)節(jié).高考命題是“提出問題”的過程，而“參考答案”是“解決問題”的過程.高考試題所承載的命題目的和命題思想主要是通過“問題解決”才能得到落實(shí)和展現(xiàn)！說的好不如做得好，要淡化特殊技巧強(qiáng)調(diào)思想方法，數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中．因此，對數(shù)學(xué)思想和方法的考查必然要與數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合進(jìn)行，通過對數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想、方法的理解和掌握程度．考查時(shí)，要從學(xué)科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度．我們的數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)教學(xué)并不反對“數(shù)學(xué)技巧”的運(yùn)用，但是我們不能有意或無意地過分夸張和渲染“技巧”的作用.數(shù)學(xué)教育教學(xué)要返璞歸真，數(shù)學(xué)教育教學(xué)要回歸自然.高考數(shù)學(xué)題的“參考答案”理應(yīng)是數(shù)學(xué)解題的典范，我們的數(shù)學(xué)解題決不能為解題而解題，一定要在問題的引領(lǐng)下，幫助學(xué)生開拓思維空間，使我們的不懈努力豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧.通過問題探究與解決，為學(xué)生開啟解決同類問題的一道門戶，開辟通往數(shù)學(xué)美妙世界的一個通道，盡可能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決過程中享受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔之美，自然之美，和諧之美，“盡可能少用“技巧”舞弄“玄妙”，多用“通俗”演繹“精彩”.

1.蔡小雄.啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（8）.

2.李文明.問非所答答非所問［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（2）.

3.李文明.同源三省壓軸題通法再解顧大局［J］.（廣東）中學(xué)數(shù)學(xué)研究（高中版），2014（9）.